Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 70
Текст из файла (страница 70)
2п (37) ~ "( ) При Т=-1 равенства (36) и (37) имеют вид ох~ (ы)=, ~„Кхг[г)е г"; с = — а~ Кхг[г) = 2п — ) Вхт(ы)ет Йо. гх т (38) — (39) Из равенства (24) следует, что спектральная 9 плотность Я(ы) дискретРис. 217 ного случайного процесса Х [пТ), соответствующего непрерывному случайному стационарному процессу Х (1) при 1=пТ равна сумме функций, полученных из спектральной плотности Ях (ы) случайного процесса Х (1) сдвигом на величину — А 2п т (й=О, -+.1, .+.
2, ...) (рис. 217). Отсюда следует, что если случайная функция Х(1) с непрерывными значениями аргумента 1 имеет спектральную плотность Ях(ы), отличную от нуля только на интервале ( — ы„гэ,), причем ~ ы, ~ ( —" (рис. 217, а), то спектральная плотность этого случайного процесса может быть восстановлена полностью по спектральной плотности Я (ы) дискретного случайного процесса Х [пТ) = Х (1), „т.
Действительно, при этих условиях спектральная плотность решетчатой случайной функции получается суммированием смещенных непере- 424 Взаимной спектральной плотностью Яхт(а) двух стационарно связанных дискретных случайных функций Х [пТ) и г'[тТ) называется выражение вида Ят(си)=Т „У, 'Кхг[гТ)е ' 'г.
(36) рывающих друг друга графиков спектральной плотности 5х(ы) случайной функции Х (~) (рис. 217, б) и поэтому спектральная плотность Ях (ы) может быть восстановлена из спектральной плотности решетчатой случайной функции Ях (в) с помощью равенства Ях(в) при ! !( т, ох(ы)= 0 при )в~= (40) Х(пТ)=тх+ )г Р(ы)е~~ тйо (41) где М1)' (в)1=0, М[У (а) У Я1= — 6 (ы — )) = Кт(оз, )).
(42) Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям в равенствах (21) — (24), получим СО ем+ ив т Х (пТ'1= тх+ ~~)' ~ У (а) е~""г Нв о = — со Л (2о — и— т =тх+ ~ ~' р(~1+ — ~е~"" йо1=тх+ ~ Р (а)ет"гам, (43) где (44) В выражении (43) интервал интегрирования есть ~- и, ~), поэтому случайную функцию г'*(в) достаточно определить на этом интервале. Функция Р(в) в равенствах (41) и (44) является белым шумом; при суммировании в равенстве (44) мы сдвигаем а этот белый шум всякий раз на 2п —, откуда следует, что при — — (ы.ч.—" слагаемые в сумме(44) некоррелированы.
В этом тч о(р. чеиадавова в. в в з В общем случае восстановить спектральную плотность случайного процесса с непрерывными значениями параметра 1 по известной спектральной плотности соответствующего ему дискретного процесса, как видно из рис. 217, е, невозможно. Представим стационарную случайную функцию Х (1) в виде (40) 5 66. При (=пТ имеем случае корреляционная функция суммы равна сумме корреляционных функций слагаемых. Из соотношений (44) и (42) имеем (45) Объединяя равенства (45) и (25), получим Кг* (в, Л) = — б (в — Л), 3' (в) (46) Х [пТ)= та+ ) У* (в) е1 гав, (4?) г де У (в)-белый шум, определенный в интервале ( — — ",, ~т ), причем М[У*(в)1=0, М[У*(в) Ъ'*(Л)1= —,~, ) )б(в — Л); 8~(в)— спектральная плотность дискретной случайной функции Х[пТ1 Интегрирование в равенствах (41), (43), (47) понимается в среднем квадратическом смысле.
В теории автоматического регулироьания часто рассматривают дискретную случайную функцию, представляющую последовательность независимых случайных величин Х[п)(п=О, ~-1, .+.2, ...) с математическим ожиданием, равным нулю. Корреляционная функция такого случайного процесса имеет вид Кх [пТ, тТ1 = М [Х [пТ)Х [тТ[1= г1 [и [б„ / й[пТ) при п=т, О при пФт, (48) где б„,~-символ Кронеккера; 4п1 = К„[пТ, пТ1 =Р [Х [п[1 В случае, когда дисперсия не зависит от номера члена последовательности, т. е. е([п)= д=сопз1, дискретная случайная функция Х [п) будет стационарной с корреляционной функцией вида О при г~О (г=п — т).
Иногда по аналогии с непрерывным белым шумом случайный стационарный дискретный процесс с независимыми значениями т. е. У*(в) на интервале (- —, — ) есть белый шум с интеи- 5* (в) с ивностью —. 2п Итак, показано, что стационарная дискретная случайная функция может быть представлена как предел суммы бесконечного числа неслучайных гармоник е~""г со случайной бесконечно малой амплитудой Уа(в) йв, т. е. ческим ожиданием и дисперсией д, изменяющиеся через одинаковые промежутки времени Т.
Такой процесс представляет последовательность равноотстоящих друг от друга импульсов, имеющих случайную высоту. Пусть момент возникновения первого импульса после начала отсчета времени является случайным и распределен по равномерному закону в пределах от 0 до Т. Возможные реализации этого случайного процесса приведены на рис. 218. ХК! Найдем вероятность р(т) измене»-ч ~ ~ ! ния значения случайного процесса Х(1) в промежутке от 1 до 1+т. Если ~ т ) ) Т, то очевидно, что р(т)=1. Вычислим теперь р(т) при ~ т~(Т.
Момент первого изменения Рис. 218 значения функции (после Г = 0) равномерно распределен в пределах от 0 до Т, поэтому получаем, что р (т) = — при ~ т ~ ~ Т, т. е. !т! „,(т) т — при !т~»-Т, С 1 при /т~)Т. Вычислим корреляционную функцию процесса Х((): Кх(т) =М(Х (1) Х (1+т)1= М1У41(1 — р(т)) = (51) !т! 0 при )т~) Т, д(1 — ~ ) рн 3 3~Т; (52) так как из вида рассматриваемою процесса следует, что его сече- ния для значений параметра 1, отличающихся на величину боль- шую, чем Т, независимы, а при ~т~(Т вероятность того, что значение процесса Х(1) не изменится, равна 1 — р(т). при различных значениях аргумента и нулевым математическим ожиданием называют дискретныл белым шумом.
Вычислим спектральную плотность дискретного белого шума. Из равенств (49) и (29) имеем Ях(а)=Т,Я Кх(гТ)е-~ 'г=г(Т. (50) Г= — »о Рассмотрим непрерывный случайный процесс Х(1), который принимает независимые случайные значения у', постоянные на интервале Т, с нулевым математи- х(г) 14» 427 Спектральная плотность рассматриваемого процесса согласно равенству 44 9 58 равна г аТ е мс— 3х(ю)=« ~ (1- т ')е "'"="Т т .
(53) — г 2 Графики корреляционной функции вида (52) и спектральной плотности вида (53) приведены на рис. 219. При малом значении Т спектральная плотность вида (53) примерно постоянна в достаточно широкой полосе частот и равна йТ. Этот факт используется для моделирования случайного процесса, близкого к белому шуму, на цифровых вычислительных машинах при анализе систем автоматического регулирования, работающих в условиях случайных возмущений и помех.
Процесс, близкий Рис. 219 к непрерывному белому шуму, моделируется с помощью последовательности независимых случайных чисел, т. е. аппроксимируется дискретным белым шумом. 4. Эр гади ческне дискретные случайные функции. Понятие эргодичности, которое рассматривалось для случайной функции Х(~), определенной для всех действительных значений аргумента, может быть распространено и на дискретную случайную функцию Х[п) Случайная дискретная функция Х[п) называется зргодической по отношению к математическому ожиданию, если среднее ее значение по аргументу и (оценка математического ожидания), равное т*= + ~~ Х[п), (54) а 0 при Ф-асс совпадает с ее математическим ожиданием. Оценка корреляционной функции для дискретной случайной функции Х [п1 может быть найдена как среднее значение по аргументу и по формуле КЪ и= +, «е Х'[и) Х'[и — 1. е=- — и (55) Дискретная случайная функция Х(п1 называется эргодичгской по отношению к норрессяцссонной функции, если при И-~со оценка (55) совпадает с корреляционной функцией.
Как и для случайной функции с непрерывными значениями аргумента ($ 67), для дискретной случайной функции оценки (54) и (55) являются несмещенными, а достаточным условием эргодичности дискретной и стационарной случайной функции как по отношению к математическому ожиданию, так и по отношению к корреляционной функции является выполнение равенства 1пп К(г)=0. (56) В этом случае оценки математического ожидания и корреляционной функции дискретной случайной функции Х1пТ1 могут быть найдены по одной реализации по формулам (54) и (55). й 69. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1. Прохождение случайного сигнала через линейную непрерывную систему.
При изучении характеристик, описывающих линейные звенья систем автоматического регулирования, в $16 было показано, что исчерпывающей характеристикой стационарного линейного звена с постоянными параметрами является весовая функция й (1 — т). Весовая функция определяет значение сигнала на выходе системы в любой момент времени 1, если на ее входе в момент времени 1= т прилажена дельта-функция. Сигнал х(с) на выходе линейного звена выражается через сигнал на его входе у(с) и весовую функцию при нулевых начальных условиях с помощью интеграла свертки вида х(1) = с)д(т) й(1 — с)с(т, (1) сн где сч — момент подачи на вход системы сигнала д(1).
Пусть ко входу системы приложено случайное воздействие б(1), тогда реакция системы на ее выходе будет описываться случайной функцией Х (с), причем с Х (1) = $0 (т) й (1 — т) с(т. (2) с. Вдесь интеграл понимается в среднем квадратическом смысле. Применив к равенству (2) операцию определения математического ожидания, получим математическое ожидание сигнала на выходе системы: Гс М(Х(гц=М~~6()й(г — )ЛТ1= ~ю~а()1й(1 т)лт. (5) с, с, 429 Вычитая равенство (3) из выражения (2), получим 7( (г) = ) О (т) й (( — ) (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
