Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 68
Текст из файла (страница 68)
И (50) Из равенства (50) следует, что спектральная плотность 3(/») стационарной случайной функции Х (1) есть среднее значение 410 математического ожидания квадрата модуля преобразования Фурье центрироваииой случайной функции Х'(1). Пример 1. Вычислить спектральную плотность белого шума с постоянной интенсивностью, равной сз. Согласно выраженшо (26) 4 66, корреляционная функция рассматриваемого белого шума есть К(т)=сзб(т). Из равенства (44) следует, что спектральная плотность белого шума равна Ю (ы) = с' ) 6 (т) е )мт г(т = сз. Таким образом, белый шум с интенсивностью, равной сч, можно определить как случайную функцию с постоянной на всех частотах спектральной плотностью о (ы).
Средняя энергия белого шума, которую можно вычислить по формуле (48), равна бесконечности, поэтому белый шум есть идеализированная случайная функция, реализовать которую невозможно. Пример 2. Вычислить спектральную плотность ателеграфного сигналаз с корреляционной функцией )т (т)=азе Вычислим спектральную плотность как преобразование Фурье от корреляционной функции. По формуле (44) имеем а ( ) ~ з — тк1т! — умт ( 4п~д Бхг(ш)= ~ Кхг(т)е ьчтйт.
(51) Кхг(т)=2— „~ Бхг(ш)е) (52) Покажем, что справедливо равенство охг (о') = огх (го). (53) Действительно„из выражения (51), учитывая, что Кхг(т) = = Кгх( — т), получим 5хг(ш) = ) Кхг (т)е ™йт= ~ Кгх( — т)е-унт йтмь Кгх(т)егв йт = ") Кгх(т)е-х~йт=Бгх(ш). 411 По аналогии со спектральной плотностью случайной стационарной функции вводится понятие взаимной спектральной плотности двух стационарно связанных случайных функций. Взаимной спектральной плотностью Зхг(ш) двух стационарно связанных случайных функций Х(г) и У(г) называется преобразование Фурье их взаимной корреляционной функции, т. е. й 67. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Оценка математического ожидания. В корреляционной теории случайная функция характеризуется моментами первого и второго порядков: математическим ожиданием и корреляционной функцией.
Математическое ожидание является средним значением по множеству реализаций случайной функции и определяется по формуле М(Х(1))= 1 хг (х, 1)г(х=тх(1). (1) Чтобы оценить математическое ожидание какой-либо случайной функции, необходимо выполнить большое число экспериментов, записать в каждом из них реализации случайной функции, а затем определить в каждом сечении 1 среднее значение случайной функции. Если рассматривать это среднее значение как функцию 1, то прн числе реализаций и — сс оно будет по вероятности сходиться к математическому ожиданию М(Х(1)]=та(1) случайной функции, Х(1) Действительно, пусть случайная функция 1'(1) определяется равенством „. Х,(г)+х,(п+...+Х„(б (2) где независимые функции Х,(1), ..., Х„(1) имеют одинаковые математические ожидания т(1) и дисперсии д(1).
При этом условии, учитывая равенства (51) и (54) 2 65, получим: М(У(1)) — 1 '(11+ 1 '()1+"'+ "(11 — (1 т(1) (3) ( ) ю(ха(111+Р(хр(111+...+В(х„(г)1 еУЩ н(1) ( ) ат л' а На основании формулы Чебышева имеем Р(1'г'(1) — т(1) )> а) < — ат — — — —,, в р'(г)1 и (й поэтому при увеличении числа и случайная функция Ъ'(1) стремится по вероятности к математическому ожиданию т(1), т. е. У(1) ~-т(1) при п-э-сс. (5) Обозначим У(1) случайную функцию, равную экспериментально определенному по множеству реализаций среднему значению т„(1), т. е. 1'(1) =т„(1), тогда, согласно выражению (5), имеем т„(1) ~ -~т(1) при и-+.сс.
Желательно определить статистические характеристики случайного процесса в результате не многих, а одного опыта. В большом числе практических случаев это оказывается 412 возможным. Найдем среднее значение по времени иь одной из реализаций случайной функции Х(() на отрезке [О, г] оси Ог: т и*= т Х(() а.
Величину и* называют оценкой математического ожидания и стационарной случайной функции Х(г). Оценка математического ожидания, которая является случайной величиной, должна быть достаточно близкой к самому математическому ожиданию. Желательно, чтобы математическое ожидание оценки совпадало с оцениваемой величиной, а разброс ее значений от среднего был бы мал, т. е. оценка и* должна иметь малую дисперсию. Если математическое ожидание оценки совпадает со значением оцениваемой величины, то такую оценку называют несмщенной. Если дисперсия оценки стремится к нулю, то оценку называют состоятельной. Вычислим математическое ожидание и дисперсию оценки математического ожидания (6): т т м~ 1-и[ — „')хвл)-„.' (мгхв1а-м~хв1- .
р~ о Таким образом, оценка и* является несмещенной оценкой математического ожидания и стационарного случайного процесса Х(г). Найдем дисперсию оценки и*. Принимая во внимание формулу (7), получим т т с! 1=ма — т1-и[ — '((~хь) — яхр~ — ~п,а~) о 6 т т т т = — '~ ~М(Х ((,)Х (г.)1а,й(,'= — „',~ ~К((,— (,)ж,йе,. (В) о о ю 4 Введем новые переменные т = г, — гт, т =т„при этом якобиан преобразования равен дй дй дт дт дй дй дт дт Области интегрирования по переменным („(, и т, т показаны на рис.
215. Учитывая четность корреляционной функции, можно записать т т т т — т В(и~~= — К (1т — (т) й(тй(а= — К (т) скейт= ! г г 2 Г =,— ')(~-ф)яма. в 413 Если дисперсия оценки математического ожидания при Т- со стремится к нулю, т. е. г И вЂ” '1(1 — т-)К()й =О, о (РО) то согласно равенству (9) имеем Иш 1л[т*1=0, г- т. е. оценка вида (6) математического ожидании стапионарной случайной функпии Х(1) будет состоятельной. Стационарные случайные функции, для которых при Т- со среднее по времени (6) совпадаег со средним значением случайной функции-по множеству (1), называются эргодическияи по отно- Рис. 215 шенню к математическому ожиданию.
Соотношение (10) является необходимым и достаточным условием эргодичности случайной функции. Выполнение условия эргодичности (10) не всегда легко проверить. Получим более простое достаточное (но не необходимое) условие эргодичности. Теорема 1. Для оюго чтобы птационарная случайная функция была эргодической, достаточно, чтобы ее корреляционная функция стремилась к нулю ари неограниченном возрастании т, т. е. должно выполняться равенство 1нп К(т) =О.
к сО (1!) Доказательство. Из условия теоремы следует, что найдется такое значение т=Т„что при т)Т, модуль корреляционной функции сколь угодно мал, т. е. К(т)(е, где е — произвольное положительное число. Оценим величину модуля интет грала — 4 (1 — — )К(т)йт. Пусть Т)Ть, тогда можно о 414 записать, что т т. — 1(~ — ,')кмк. —,'))! — —,'(~кю~кко т т, т +т ~~ т ~~К(~)~ -т ~К(™+ ет тк "т= т, о «к К(0) Та+ е(Т вЂ” Т,) Т Т В силу произвольности выбора числа а из равенств (12) и (1О) следует,' что если !пп К (т) =О, то СО т 1)п) Р[то]= 1)щ — ! (1 — — 1 К(т) к( =О, ,„Тг, Т, т.
е. случайная функция Х (1) эргодична. ° 2. Оценка корреляционной функции. Естественно предполо- жить, что в ряде случаев и момент второго порядка †корреля- ционную функцию стационарной случайной функции можно опре- делить не как среднее по множеству, а оценить эту функцию как среднее по времени произведения значений реализации случайной функции Х(1) в сечениях к и 1 — т, т. е, т К* (т) = 1 1 Х Я Х- (,) г)й (13) а Здесь через К*(т) обозначена оценка корреляционной функции К(т). Оценка Ко(т) является несмещенной.
Действительно, имеем т М[К*(т))=М т Х'(т)Х'(г — )Ж = т т --- ) е~х ~ах к — ой= т— )к ~ )й=к щ. а4~ о Для того чтобы проверить состоятельность оценки корреля- ционной фу.нкции вида (13), вычислим ее дисперсию. Учитывая равенство Р[Х)=сок — тх, получаем тт ар м~ м~-1[х ках и,— ах ках и,— акккк~-к*кк ао Изменяя порядок операций определения математического ожида, иия и интегрирования, будем иметь т т Р~ К* (т)~ = —,, ~ ~ М [Х' (1к) Х" ((к — т) Х ((е) Х' ((е — т)) х ' о о х еЫ, к(1е — К' (т). (15) 415 Для вычисления интеграла (15) необходимо знать момент четвертого порядка случайного процесса Х(1). В общем случае по известным моментам второго порядка невозможно вычислить момент четвертого порядка.
В дальнейшем будем предполагать, что случайная функция Х(1) нормально распределена, тогда, используя соотношение (55) 2 63, можно записать М~Х' (1д) Х' (1д — т) Л" ((о) Х' (1о — т)) = = К' (т) +К' (1д — 14) + К ((д — 1о+ т) К (1 — (о — т). (16) Из равенств (15) и (16) имеем т т РдК (т)] тд ) ~ [К ((д 12)+К(дд го — 'г) К(дд — 13+т)1йд д((о.
! Г а о (17) Введем новые переменные и=1,— 1„о=1„аналогично случаю замены переменных в равенстве (8): т О~к'щ-т)(1 — т)к'м~-к~ — )д( 4- лн. ~18~ Случайная функция Х(1), для которой справедливо равенство 11гп Р(К*(т))=О, (19) а 1ип т ~~1 тд~К (и)+К(и — т)К(и+т)71йи=О (20) о Можно показать, что достаточным условием эргодичности стационарной случайной функции по отношению к корреляционной функции этой случайной функции является выполнение равенства !ип К(т) =О.
(21) Таким образом, для эргодической стационарной случайной функции ее математическое ожидание и корреляционная функция могут быть оценены по одной реализации как среднее по времени. Для эргодической по отаошению к математическому ожиданию случайной функции оценка математического ожидания равна т * = Ц ХЯгй. а (22) 416 называется эргодической по отношению к корреляционной грункд4ии. Очевидно, что необходимым и достаточным условием эргодичности стационарной случайной функции по отношению к корреляционной функции, будет соотношение т Для эргодической по отношению к корреляционной функции случайной функции оценка корреляционной функции Ке(т) равна Ке (т) = т Т (23) Эти оценки при выполнении условий (10) и (19) являются несмещенными и состоятельными.
Вычисление оценок можно выполнить путем интегрирования реализаций случайной функции, учитывая соотношения (22) и (23). ,Пля ускорения расчетов в настоящее время создано большое количество приборов (корреляторов, коррелометров), автоматизирующих вычисление этих выражений. пример 1. Определить, являются ли случайные функции с приведенными ниже корреляционными функциями (рис. 216) эргодическими: а) К (т)= Ре — а1т~ б) К (с) = = Ре "' ' оси рт, е) К(с) = Ре а1т1 ~сов рт + — - мп Р , 'т 1 ), е) К(с)=Р, д) К [т)=Ревет. Случайные функции с корреляционными функциями а), б), в) являются эргодическими, так как для них выполнено достаточное условие эргодичности 1йп К (с)=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
