Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 64
Текст из файла (страница 64)
208), а дисперсия характеризует отклонение значений, принимаемых случайной функцией, ат ее математического ожидания. Корреляционная функция характеризует зависимость между случайными величинами Х Д) и Х(г2)— сечениями случайной функции при Г=(, и г=г,. Чем меньше связь между случайными величинами Х(Г,) и Х (Г,), тем меньше значение корреляционной функции К((ь Ге). Но чем меньше эта связь, тем быстрее изменяются значения, принимаемые случайной функцией.
На рис. 209 изображены реализации двух случайных функций с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, но в случае а) случайная функция изменяется быстрее, связь между сечениями этой функции мала, а в случае б) зависимость между этими же сечениями случайной функции больше. Поэтому в случае а) корреляционная функция при увеличении разности между аргумента ми (,— ~, затухает быстрее, чем в случае б). Теория, изучающая случайные функции на основе знания первых двух моментов случайных функций, называется корреляЧионяой гпеорией. Если известны математическое ожидание лг(~) и корреляционная функция К (~„4з) случайной функции Х (г), то всегда можно гюсгронть в-мерный вектор математического ожидания многомерной случайной величины Х (1Д,, Х (г„) для фиксированных значений 1м (м ..,, (» ' пз =1жг гпз -" л~.) (5) и корреляционную матрицу втой случайной многомерной вели- чины . К(1г (1)К((о (з) ° "К((1 ( ) К((м $д)КЯ, Ге)...К((м 1 ) (6) КИч, (г)К((п, (е) "К((л, ~и) Если случайная функция Х(г) нормально распределена, т.
е все ее л-мерные функции распределения есть функции распределения и-мерной случайной величины, распределенной по нормальному закону, то по математическому ожиданию т(г) и корреля- а~ 4 Рис. 209 ционной функции К (~п ~е) можно вычислить все л-мерные распределения (см. й 6!). Таким образом, математическое ожидание и корреляционная функция полностью задают случайную функцию, распределенную по нормальному закону. 3. Комплексные случайные функции.
Случайная функция вида 2 (1) =Х (()+))'((), (7) где Х(г) и У(1) — процессы с дейстнительными значениями, называется комплексной случайной функцией. Математическое ожидание комплексной случайной функции Л(г) равно М [Я (1)) = М [Х (~)) + /М [ У (гЦ. Вычитая из выражения (8) равенство (7), получим г (г)=л(() — м[к(())=х'(О+р р), здесь с'(г) — центрированная случайная функция. (8) Дисперсией случайной функции Е(«) называется математическое ожидание квадрата модуля ее центрированного значения, т. е.
В[к(«)]=М[!К.(«)!е]=М[2 («) К («)].. (18) Корреляционной функцией случайной функции Я(«) называется математическое ожидание произведения центрированного значения этой функции в сечении «г на комплексно-сопряженное центрированное значение 'случайной функции в сечении «,, т. е. К,(«„«,) =М[2 («,)2 («,)]. - . (П) Другими словами, корреляционная функция есть смешанный центральный момент второго порядка. Кроме корреляционной фупкшш вводится смешанный начальный момент второго порядка Г, («ь «Д = М [2 («) г («,)] (12) Выясним связь между корреляционной функцией и начальным моментом второго порядка.
Имеем К,(«,, «)=М[(г(«)-тг(«,))(2(«е) — тг(«.))]=М[2(«)2(«)]- — тг(«е) М[У («ч)] — тг («ч) М[Е («Д]+те («г) тг(«е) = = Гг («г «е) — тг («~) тг («е). (13) Некоторые свойства корреляционной функции 1. Корреляционная функция при одинаковых значениях аргументов равна дисперсии случайной функции, т. е. К («, «) = д («). (14) Действительно, К(«, «)=М[2.(«)г («)]=В(«). И 2. Г«ри перемене местами аргументов корреляционная функция меняется на комплексно-сопряженную, т. е.
К(«, «е) =К(«, «ч). (15) Покажем справедливость этого утверждения. В самом деле, К(«„«) =М[8 («) т («)]=М[К («) 2 («)]=-.К(«„«). В частном случае для действительной случайной функции получим К(«м «э) =К(«е «~). ° (16) 8. Если к случайнои функции прибавить неслучайную функцию <у(«), то корреляционная функция не изменится. Действительно, пусть случайная функция Е,(«) равна У„(«)=Е(1)+ср(«); М[Х~(«)]=М[Е(«)]+гр(«). (17) — (18) Вычитая равенство (1о) нз (17), получим Ут(()=2 (() Таким образом, К„((ы Ы=К1г;((,)ги~>1=юг ((,)г'Ы=К,Д, г.). И (10) 4.
Для всякой корреляционной функции справедливо неравенсптво ! К((. Ч(-$')7(( Ю(Ч (20) Доказательство справедлнвостн этого неравенства совпадает с доказательством аналогичного свойства для корреляционного момента (см. ~ 62). 5. Корреляционная функция являетпся положительно определенной функцией и!.
Покажем справедливость этого свойства. Учитывая определение корреляционной функции н линейность операции определения математического ожидания, вычислим сумму л и и л ')~~ К((т, Е!) Л!Л! = '~ ~'У' М[2 ((!) и ((!)]Л!Л!лл т-!)=! ! >! ! л л .г! и и =и(я т. г'умт юьь~ и/я т (и!!)(ф т е!+ т !! ! т=! !' =! =М ) ', 2'(т!)Л! — О. Ю Один яз возможных видов корреляционной функции приведен на рнс.
210. Вместо корреляционной функции может быть рассмотрена безразмерная нормированная корреляционная функция Й(т„га), определяемая равенством я ( ( К('1 'а)' ~'() (ц) в (ц) Из определения н свойств корреляционной функция легко показать, что для нормированной корреляцнонно(! функция справедливы соотношения )т'((» () 1, ~7((т, (!)=Я((т, (я) (22) — (23) ))~((„(а) ! =1. (24) "! Функция Г (х, у) называется положительно определенной, если лля любых комплексных чисел Л! и Л! справедливо неравенство л и ~, ~ ) (т!, ту) лР, = о, 1=.!! ! аат В теории случайных функций большую роль играет одни из видов случайной функции, математическое ожидание которой равно нулю, а корреляционная функция равна дельта-функции. Такую случайную функцию называют белым шумом. Для белого шума, как это следует из определения, справедливы равенства ! М~Х(Г)1=0, (25) К~„(е) =Ой) б(~.-(е) (26) Функция 6 Я называется интенсивностью белого шума.
Дельта-функция при значении аргумента, отличном от нуля, Рис. 2!О равна нулю, поэтому для белого шума случайные величины, соответствующие двум сколь угодно близким сечениям, являются некоррелированными. Рассмотрим систему ий п случайных функций х, (~), х, ((), ..., х„ (г). (27) Каждая из функций этой системы характеризуется математическим ожиданием и корреляционной функцией. Однако необходимо ввести еще характеристику связи между отдельными случайными функциями системы (27).
Такой характеристикой является взаимная корреляционная функция двух случайных функций Х~(1) и Хе(1), определяемая равенством Кх, х (ге Се) = М $Хе (Г) Хг (~е)]. (28) Для того чтобы отличать взаимную корреляционную функцию от корреляционной функции, последнюю называют также авпв. керреляг(ионной фцнне(пей. зев Для взаимной корреляционной фунхции случайных функций Х(!) н У(г) справедливы свойства (29) (30) КхгОь Ез) =Кгх(Ги "г) 1к Фь ч)!~у~ Итп Справедливость выражений (29) и (ЗО) доказывается аналогично тому, как и при доказательстве соответствующих свойств корреляционной функции.
Две случайные функции Х (!) н У(!) называются некорреларованными, если их взаимная корреляционная функция тождественно равна нулю, т. е. К' ()ь !,)=О. (31) В ряде случаев удобно ввести безразмерную характеристику связи между случайными фуннциямн — нормированную взаимную корреляционную функцию г~.и,и' Взаимная корреляционная функция является центральным моментом второго порядка; в теории случайных функций рассматривается также взаимный начальный момент второго порядка; Г„()ь Г ) = И (Х (! ) У (Е Н.
(33) Справедлива следующая зависимость между взаимной корреляционной функцией Кхг(гь г,) и взаимным начальным моментом Гхг(!ь Гч): Ахг (!ь (ч) =Гхг Иь тз) — гпх(61) (иг Ич) (34) !.!.в. Х (!) — Х (1ч). ) н (35) Это условие можно записать иначе: )пп М(! Х (!) — Х ()~) ~з)=О. (36) Докажем две вспомогательные леммы.
Доказательство произведем для случая действительных. случайных величин, однако все выводы будут справедливы и для комплексных случайных величин. 4. Непрерывность случайной функции в среднем квадратическом. В корреляционной теории, использующей моменты случайных функций, при предельных переходах пользуются понятием сходимости в среднем квадратическом. Случайная функция Х (!) называется непрерывной в среднем квадршпическом, если существует предел Лемма 1. Если последовательности случайных величин Х~ и Хп с ограниченными начальными моментами второго порядка при г'-~-1в и 1' — ~. Г; сходятся в среднем квадратическом соответственно кХии уг„,т.
е. 1.йш.г4е=Хн и 1.1.гп. Ус =Уг, и е ! о то справедливо равенство М [1. 1. ш. Х у, ) = Л ш М [Х,у,,). и и г н о 1 До к аз а тельство. Запишем очевидное неравенство ',,М[Х,У,) — М[Х,У,.)1=(Цх Уе — х, У,.1[= =(М[Х,Уе — Х У,.+ХУ,,— Х,,У;,Ц=!М[Х,(Уе У,й)) — М[(Хг Хг„) Уг 1[» [ М[Х~(У~ — Ус )) ~+ [М[(х~ — Хг) Уп1~ (39) На основании неравенства (35) $ 62 можно написать: м[х,(у, — у,д [+( м[(х, — х,,) у,.И у"м[(х)'1М[(г — у „) 1+) м[(х,— х,)'1 м[(у 1)'[. «0) Но из условия ограниченности начальных моментов второго порядка случайных величин Х и Уг следует, что М[(Х,)')~ У и М[(1"и)'[()ч', где У вЂ” конечное число, а нз условия сходнмости случайных последовательностей имеем 11гп М[(х,— Хи)']=0 н 1пп М[(уе — К„.)'1=0. г и Исходя из изложенного, переходя в равенстве (39) к пределу и учитывая выражение (40), получим 11ш ~ М[Х,У,.) — М[Х,,У,,Ц =0, а откуда следует, по 11шМ[Х,у;)=М[Хеу„1=М[1.1, .Х(Г) у(р)).
° г н О е а с 1 е Если в равенстве (33) принять за случайную последовательность У„последовательность единиц 1, 1,,:, 1, ..., то получим М[1 Еп1.ХД= Лш М[ХД, (42) г и ю и т. е. операции определения математического ожидания н предельного перехода перестановочны, если выполнены условия леммы. 390 Лемма 2. Для того чтобы последовательность случайных величин Х, с ограниченными ночальнылси моменасами второго порядка при 1- !о в среднем квадратическом сходилась к случайной величине Х,„необходимо и досспаточно, чсяобо! сусцесспвовал конечный предел ! 1нп М[ХсХ»!=а(!о), (43) с с» !» где а(!о) (оо, при независимом стремлении с к йо и с' к !о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
