Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Получим выражение для математического ожидания «телеграфного сигналаэ М(Х ((л)Х ((«))=а«Р„+( — а)'Р„, (17) > где Р,— вероятность четного числа переключений; Є— вероятность нечетного числа переключений на отрезке (л — («. Ряс. 2)3 Из равенства (16) имеем 'Ч (~!й ~«9 е-л)а — а! (2т) ! гав=О (18) (19) Подставляя значения р, и р„из равенств (18) и (19) в выражение (17), получим выражение для корреляционной функции «телеграфного сигнала» К» («л, Фя) =М [Х ((«) Х (Я = а«л!'-'*! х чг! (л!й — (,!) к! л((,— (,! +1 (2т)! ~и (2««+ !)! 膫 т=« у ( — э,!й — (,! ч! ( — л!й — (,!) + (2т)! + ь«(2в+ !)! «й« и=О пйе — л!и — и! ' ' ' ««" — п«~ зл!и — !а! и! Из полученного равенства следует, что корреляционная функция случайного «телеграфного сигнала» К. (1 — 1«)=а«с дд~д,-дм а«е»дМ (20) зависит только от разности аргументов 1,— 1,=т, т. е. эта случайная функция стационарна в широком смысле.
Корреляцяониая функция «телеграфного сигнала» показана на рис. 214. Дисперсия «телеграфного сигнала» равна 1)х = Лх (0) = а'. 2. Пусть случайная функция Х (1) имеет вид Х (1) = = 'гдз(пв1+'г«созв1, (21) здесь рд и $'« — две не- Рис. 214 коррелированные дейсгвительные случайные величины с одинаковыми дисперсиями и нулевыми математическими ожиданиями Ю [ 11 «) = 12 [ Ъ'«) = д, Кг, д, = О„М [ Ъ'д) = М [ Я = О. (22) Найдем математическое ожидание случайной функции Х (ф М [Х (1)] = М [ 1/д 8!п в1 + )д«соз в() = О.
(23) Из выражения (24) следует, что случайная функция, характеризуемая равенством (21), является стационарной в широком смысле. 3. Пусть теперь случайная функция Х(1) имеет вид Х(1) = ~ч', [1'» з(пв»1+йг»созвД; (25) где Р» и 1«'» — действительные центрированные случайные некоррелированные величины, т. е. М[Р,)=М[йг„]=О, М[Р,Р)=М[Р,Щ=М[йг»У)= = М [йг йЧ = О (й ~ 1), М[Р»Я= М ~ТМ») = А, (lг, 1= 1, 2, ..., п). Вычислим теперь корреляционную функцию случайной функции: учитывая, что Кг,г,=О, получим Кх((д, 1«)™[Х((д)Х(1«))=М[(Удяпв1д+ Р«созЫд) х к (Удз(пв(«+р»созв1Д=М[Ь'«УД»1пв1дз(пв1,+М[)ддЯм Х з(пв1дсозв1«+М[Ъ»Ъ«1созЫдз(пв1«+М[дд»)д«1созв(дсозв1«= = д (соз в(д соз в(» + «1 и в(д з 1пв(») = «1 соз в (1« — 1«).
(24) Очевидно, что Г А М[Х(!))=М~,у (У»з!п»АА!+((г»соз»!АГ) =О. (26) .А=! Вычислим корреляционную функцию случайной функции Х (!): л Кх(г»,!»)=М~ ~ ~ (У»з!пь!А!!+ Юг»соз»АА!!) х А=1 1-1 л М[Х(!))=М~,А, У М =О, А И Кх (!АА) = М [Х (!1) Х (!А)] = М ~ ~~ ~~~ У»У!еАА»1е »А — и! — л (30) »!Ае! А'!' ь!. (31) А= — А Равенства (30) и (31) показывают, что случайная функция Х(!) стацнонарна в широком смысле. Коэффициенты »!А случайной функции Х !), определяемой равенством (28), есть средние значения квадратов случайных амплитуд гармоник, из которых составлен этот процесс. Если случайный процесс Х (!) описывает флуктуации напряжения или тока, то числа »!А пропорциональны мощности, приходящейся в среднем на гармоническое колебание с частотой в» и со случайной амплитудой УА Зто следует иэ того, что мощность электрического тока пропорциональна квадрату напряжения или силы тока.
Поэтому даже в случаях, когда Х (!) не есть напряжение х (УА з!п»АА!А+ Яг» соз»АА(А)) = ~ »!А (з!и А!А!! з!п А!А!А+ А.= 1 л +сов»АА!! соз со»(А) = )', г!А созе!А(!! — 1»), (27) А=! т. е. случайная функции Х (!) является стационарной в широком смысле. 4. Рассмотрим сумму неслучайных функций Ф"А' со случай- ными некоррелированными коэффициентами У1, .Х(!)= ~~ У»е! А1, (28) А= — л где положим, что А! А= — »АА, М[УА)=0, »!А =»! А, — — (»!А при й=1, М !УАУ!]1= ~ 0 йФ1(А 1=0, -1-1, -12, ., ) (29) Выражения для математического ожидания н корреляционной функции случайной функции Х(!) соответственно равны: или ток, совокупность чисел й„называют обычно спектрам мощ- кости случайной фуккиии Х (г).
Дисперсию случайной функции Х (г) можно вычислкть, полагая в равенстве (3() г,=(,=(: Ох(()=Кх(( О= ~ 4. > ь= — и 4. Спектральное представление стационарных случайным функ- ций. В примерах 2, 3, 4 предыдущего параграфа рассматрива- лись стационарные случайные функции, представляющие собой гармонические колебания 'со случайными некоррелнрованными амплитудами.
Естественно предположить, что всякую стационар- ную случайную функцию Х(~) с той или иной степенью точности можно представить в виде суммы л Х (г) — )~~ Уьс'""' + тх. А= — и где а,= — ы„тх=сопз1, М!Г 1=0, м1, Р1-( ' Р4) О прн АФ((0 „= 4,), (33) матическое ожидание квадрата разности М Х' (г) —,У, Ухе~" ь' (36) причем с увеличением числа п приближение будет более точным. Для случайной функции Х (г) вида (33) имеем л Х'(() ~,У~ Уье' ь'.
(35) Представление случайных функций в виде суммы (33) неслучайных функций со случайными коэффициентами широко применяется в теории стационарных случайных функций. Это представление справедливо для тех стационарных случайных функций, л для которых можно так выбрать сумму,У', У,е'мь', что мате- (38) будет'сколь угодно малым на любом заранее выбранном интервале времени при достаточно большом п. В этом случае справедливо равенство (в смысле сходимости ряда в среднем квадратическом) Х' (г) =, ~~ Уье~"ь', ь= — со причем нецентрированная случайная функция Х (г) равна Х(1)=Х'(()+тх= ~', Уье'"ь'+тх. Вычислим корреляцнонную функцию случайной функции вида (38).
Согласно равенству (34) получим Кх ((, — (з) = М~ ~х~~ ~ч~ 'тгаР,е("аье '"~'*~ - ~ч~ ~с(ае'"лен 1.а = — са I =-оэ Л е= — о» (39) В равенстве (37) перейдем к пределу: Х(()м» 1„1.гп.,У, ераа~Ъ'а(»гоа+тх —— ~ 'гг(го)е(»иг(го+тх. (40) И=-л — О» мам ама о здесь и'(го)г(со — случайная бесконечно малая амплитуда гармоники с частотой го, а интеграл понимается в среднем квадратическом смысле. Можно показать е>, что условия некоррелнрованностн, которые для конечной суммы имели внд (34), в данном случае можно записать в виде М()г( )1=0, М[р(го)(г(Л)]= 2 )б( — Л). (41) Таким образом, случайная функция )г(го) параметра го является белым шумом с интенсивностью - „ (см.
равенства (25) н Я (ы) (26) 9 65), а значит случайные величины 1'(го) н )г(Л) некоррелнрованы прн любых фнкснрованных точь Л. Функцию 5(го) по аналогии с коэффициентом г(а в равенствах (28), (29), (30), (31) называют спектральной плотностью мои(насти случайной функция Х((), нлн просто спектральной плоскостью.
Представление случайной стационарной функция Х(() в виде интеграла (40) называется спектральным представлением этой функции. Вычислим корреляционную функцию случайной функцнн Х ((). Имеем Кх((т(з)=М[Х'((т) Х'((а)]= М ~ ) М(го) и'(Л)е( ' х х е )кь г(го г(Л)»= $ $ М[*тг(го) 1и/' (Л)]е/оне — дл» г(н с(Л— »О»О 1 2п .),) — ( Б (го) е)("ь м > б (го — Л) гйо г(Л = 1 — [ Я(го)е»"(г — "1сйо=Кх((,— (,). (42) 2п,) »» Строгое обоснование возможности представления всякой стационарной случайной функции Х (г) в виде (40) см., например, в работе: Р о з а н о в Ю. А. Стационарные случайные процессы. Физматгиз, 1263, с.
42. Полагая в равенстве (42) 1,— 1,=т, получим К(т) = — ~ Б(в)е'"йо, ! зп (48) т. е. корреляционная функция является обратным преобразованием Фурье от спектральной плоскости Я (в). Следовательно, спектральная плотность есть преобразование Фурье от корреляционной функции, т, е. о'(в) = ~ К(т)е — !< с(т. (44) Свойства спектральной плотности 1. Спектральная плотность действительной стационарной случайной функции являетсл четной действительной функцией аргумента в, т. е.
3(в)=Б( — в), (45) 1гп8(в)=0. (46) Действительно, из равенства (12) имеем Л(в) = ~ К(т)е-1' йт= 1 К(т) (сов вт — оз)пвт) йт= К (т) соз вт йт — 1 ~ К (т) в 1п вт йт., Из четности корреляционной функции следует, что подынтегральная функция в первом слагаемом четная, а во втором — нечетная функция аргумента т, поэтому ) К (т) з(п ол с(т = О как интеграл от нечетной функции при симметричных пределах интегрирования. В результате можно записать, что 5(в) =2 ~ К(т)созьлйт. о (47) О = — ~ Я (в) с(в = — Л (в) йв.
1 Г 1 Š— з (48) В силу четности функции созол имеем Б(в)=3( — в). Кроме того, спектральная плотность Я(в) выражается в равенстве (47) как интеграл от действительной функции, т. е. является действительной функцией. И 2. Дисперсия действительной стационарной случайной функции равна интегралу от спектральной плотности втой функции в бесконечных пределах, деленному на 2п, т. е.
В самом деле, из равенств (5) 9 66 и (43) следует, что СО ) со ) =К(О) = —,'. ~ 5( ) е/" й ~ - = —,' ~ 5(ы) й . СО 12=» В силу четности спектральной плотности также имеем г/х = —, ~ о (/») й/»- И 1Г В случае когда случайная функция Х(1) есть флуктуации электрического тока или напряжения, то дисперсия случайного процесса Х(1) как среднее значение квадрата тока или напряженна пропорциональна средней мощности этого процесса, поэтому из равенства (48) получим, что спектральная плотность 3(/») в этом случае характеризует плотность мощности, приходящуюся на единицу частоты /». Если случайная функция Х (1) описывает изменение напряжения, измеряемого в вольтах, а ы есть круговая ! частота, измеряемая в —, то размерность спектральной плотности, как следует из равенства (4/), есть е'сек.
8. Спектральная пло/пность стационарной случайной функции есть функция неотрицательная, т. е. Я (/») ) О. (49) Действительно, из равенства (43) имеем Б (/») = ) К (т) е-/ 'с(т. — СО Напишем очевидное равенство + Т/2 со 5(~)=то ~ ~ 'К(т)е/"'йтсЬ (Т)0). 1 — т/г— Производя замену переменной т=/2-12, т=12, получим + Т/2 со Я (/») =- — ~ ~ К (1, — 12) е — / '/ е/ "2 Йг й/2 = 1 Т вЂ” т/г -' Т/2 Т/2 =!пп — ~ ~ М1/Х'((,)Х'Рг)1е-/о/ е/ог й/,сУг= Со — Т/2 — Т/2 Т/2 т/г Г1 = 11щ М вЂ” ~ Х'(12)е — /тн Й, ~ Х'(12)е — /"/*й/г = ~ с ) т — ~/2 Т/2 г = Вш —,М~ 1 'Х'(12)е1 — /са/йт, з:О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
