Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Случайная функция с корреляционной функцией вцпа г) не является эргоднческой, так как для нее не выполнено необходимое условие эргоднчности, т. е. 1пп — ) (1 — — ) Рс(т о РТ Р = !пп — = — - ~ О. т. ю2Т 2 Рис. 216 417 Для случайной функции с корреляционной функцией типа д) достаточное условие эргоднчности не выполнено. Проверим, выполняется ли необходимое условие эргоднчностн. Необходимое условие эргоднчности по отношению к ма- тематическому ожиданшо дая случая д) нмсег вид )ип — ~! — --) Р сев Рт г(т= !)ш — (1 — осе йт)=0, Р т~( т) т р'тв т.
е. необходимое условие эргодичиостн по отношению к математическому ожиданию выполнено. Проверим выполнение необходимого условия эргодичносги по отношению к корреляционной функции. Имеем Иш -- ! () — — Г!(соРи+сов(и — г)сов(и+т)г(и= ,„„т ) (. т) о Нгп — ! ! — — ! (2соРи — соРт) аи= ,„„т~!г т) в!и' т'г = !)гп Р(! — мпвт+= — )=Р(! — в(пвт)~0. 1 со Таким абрахом, случайная функция Х (б с корреляционной функцией К (т) =Р с<и т является эргодической по отношению к математическому ожиданию н не является эргодической по отношению к корреляционной функции. й 68. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 1.
Основные понятия и определения. Выше рассматривались случайные функции Х(!), которые определялись при всех действительных значениях аргумента Е На практике, например, при исследовании импульсных автоматических систем приходится встречаться со случайными функциями, определенными лишь при дискретных значениях аргумента (=(„(„(„..., („, „... Такие случайные функции называются диекрегиными случайными функйиями илн случийнь ми последовательностями, За аргумент дискретной случайной функции можно принять индекс при („и писать Х ((„) = Х [п) (п = 0„1, 2, ...). Если число точек, в которых задана дискретная случайная функция, койечно, то зта случайная функция может рассматриваться как п-мерный случайный вектор.
Если н(е число таких точек бесконечно, то дискретная случайная функция является бесконечной последовательностью случайных чисел. Будем считать, что значения аргумента этой последовательности бесконечна продолжены в обе стороны числовой оси, т. е. п = О, +. 1, +. 2, .... Для того чтобы задать дискретную случайную функцию, необходимо задать все ее и-мерные функции распределения вероятностей или п-мерные плотности распределения вероятностей. Однако как и для случайных процессов с непрерывными значениями аргумента (, для случайных последовательностей широко применяется корреляционная теория случайных функций, основанная на знании первых двух моментов — математического ожидания и корреляционной функции, В!8 Математическим ожиданиелй случайной функции Х [и] называется такая неслучайная числовая последовательность тх [и], значения которой прн каждом фиксированном и равны математическому ожиданию случайной величины Х[п], т.
е. тх[п]=М[Х[а]]= ~ х1,(х, п)йх, (1) где гт(х, и) — одномеРнаа плотность РаспРеделениЯ веРоЯтностей случайной последовательности Х [п] (п=О, + 1, .+. 2, ...). Функция Х'[п]=Х[п] — т [и] (2) / называется цснтрироеанной дискретной случайной функцией. Корреляционной функцией дискретной случайной функции называется дискретная функпия двух переменных Кх[п, 1], значения которой равны корреляционным моментам случайных величин Х [п] и Х[1] при всех значениях и и 1, т.
е. Кх [п, 1] = М[Х' [п] Х' [1]] = ') ~ (х — тх [и]) (х' — тх [1]) х х[,(х, х', и, 1) йхйх', (3) где [,(х, х', и, 1).тдвумерная плотность распределения вероятностей случайной последовательности Х[п] (и, 1 =О, .+. 1, -+. 2 ...). Начальный момент второго порядка Гх[п, 1] для дискретной случайной функции определяется выражением Гх[п, 1]=М[Х[п]Х[1]]. (4) Для двух дискретных случайных функций Х[а] и У[п] их взаимная корреляционная функция К„г[п, 1] и взаимный начальный момент второго порядка Гхг[п, 1] определяются равенствами Кхг[п, 1]=М[Х'[п]1" [1]] Гхг[п, 1]=М[Х[п]УЩ.
(5) — (6) Все основные свойства математического ожидания, корреляционной функции и моментов второго порядка, полученные в 9 65 для случайной функции с непрерывными значениями аргумента, справедливы и для дискретных случайных функций. 2. Линейныс операции над дискретными случайными функциями. Аналогом операции дифференцирования случайных функций с непрерывными значениями аргумента 1 для дискретных случайных функций является операция взятия конечных разностей.
Первой разностью ЛХ [п] дискретной случайной функции Х[а] называется дискретная случайная функция вида ЬХ [п] = Х [и + 1] — Х [и]. (у) Разность порядка й дискретной случайной функции вычисляется по формуле ЛРХ[п]=-~Р-' Х [и+1] — Ь" 'Х [и]. (6) 419 (13) Гс л к,с . сс-м((2 хс.ссс .,с —,с с)х с о Г( л -м((Д схс с —,с,с~с,, ф с=о «(Я х с с со,,с- „с с1 ~с=о / с х~ '],' (Х[з]-тх[з])д[1, з] =о л = Х .~ ЯКх[г з]д[п г]д[1, з].
(15) с=ос=о Заметим, что конечная сумма (14) является линейной комбинацией конечного числа случайных величин Х [л], поэтому напи- 420 Определим статистические характеристики конечных разностей дискретных случайных функций. Имеем М[ЛХ[п]] = М[Х[п+ Ц вЂ” Х[п]] =тк[п+ Ц вЂ” тк[п] = Атк[л], (9) т. е. математическое ожидание первой разности дискретной слу- чайной функции равно первой разности математического ожида- ния этой случайной функции.
Зто свойство справедливо и для разностей любого порядка, т. е. М [А" Х [и]] = А~тк [и]. (10) Корреляционная функция первой разности ЬХ[я] равна Кьх [и, 1] = М [(Л„Х [и] — тьх [и]) (ЬсХ [1] — тьх [Щ = = М [Ь„(Х [и] — тх [л]) Ас (Х [1]] — тх [(Э]- Ь.йсКх [л, 1], (11) здесь символы Л, и Лс обозначают взятие первой разности по индексам и и 1 соответственно.
Аналогично можно получить взаимную корреляционную функ- цию случайной функции Х[п] и ее первой разности ЛХ [л], имеем Кхьх[п, 1]=ЬсКх[п, 1]. (12) Аналогом интегрирования для дискретных случайных функций, как и для неслучайных решетчатых функций, является операция суммирования. Вычислим статистические характеристики конечных сумм дискретных случайных функций с весом сс[и, 1). Пусть дискретная случайная функция У[и] равна У [и] = ~ , 'Х И Дп, 1], с=о где д[л, 1] — неслучайная решетчатая функция двух переменных, а Х[1] — дискретная случайная функция.
Определим математи- ческое ожидание случайной функции У[п]. Из свойства линейности операции определения математического ожидания следует, что М[У[п]]= ) ', тх[1]Яп, 1]=тг[п]. (14) с=о Вычислим теперь корреляционную функцию случайной функ- ции У[п]; имеем санные выше статистические характеристики можно рассматривать как характеристики линейной комбинации случайных величин Х [и).
Когда верхний предел суммирования в сумме вида (13) бесконечен, то значение этой суммы будем понимать в среднем квадратическом смысле, т. е. будем называть случайную функцию У[п) суммой вида У[п)= У', ХЯд[п, 1), если справедливо равенство г=а и 1!гп М~~ ') ', Хай[и, 1) — У[п) ~ ~=0. и со 1П (16) Кх [гТ) = — ~ Ях (о) в1""г йо. 1 2Л (21) Этот предел, так же как и в э 64, будем записывать в виде сю н ~ ХЩд[п, 1)=1. 1. ш. ~ Х[1)д[п, 1).
(17) и=в г=а 3. Стационарные дискретные случайные функции. Определение стационарных дискретных случайных функций, как в узком, так и в широком смысле, ничем не отличается от соответствующих определений, введенных в й 66 для случайных функций с непрерывными значениями аргумента й Дискретная случайная функция называется стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов, т. е. гпх [п) = сопз1, Кх [и, 1) = Кх [и — 1) = Кх [г), (18) — (19) где г = п — 1 принимает любые целочисленные значения г= О, '+ 1, + 2.... Две дискретные случайные функции Х[и) и У[о) называются сгпационарно-связанными, если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов, т.
е. Кхг[п 1]= Кхг[п — 1) = Кхг[г) (20) Все свойства математического ожидания и корреляционной функции стационарйых случайных функций с непрерывными значениями аргумента, полученные в 2 66, справедливы и для дискретных стационарных случайных функций. Рассмотрим стационарную случайную функцию Х(1) с непрерывными значениями аргумента 1 и поставим ей в соответствие решетчатую случайную функцию Х[пТ~, полученную из Х(1) заменой 1=пТ. Очевидно, что дискретная случайная функция Х[пТ) тоже является стационарной.
Пусть задана спектральная плотность Ях(ы) случайной функции Х((). Корреляционная функция Кх(() найдется как обратное преобразование Фурье от спектральной плотности для всех значений с, в частности и для целочисленных значений т=гТ. Имеем где С,= — ) Ях(в) егт' й (27) Сравнивая равенства (23) и (27), имеем С,= ТКх[тТ~. Окончательно получим (28) Я~ (в) Т '),~ Кх [тТ)е-~втт (29) Кх [тТ) = — - ~ Ях (в) е'"'т Йо. 1 2л (30) т Хх[Х[пТП=Кх[01 — ~ ~ Я:(в) о (31) Если период дискретности Т=1, то равенства (24) и (29)— (31) принимают ссютветственно вид 8х (в) = ~~~ Вх (в+ 2пй), А = — са (32) Ях (в) = Х Кх[т)е-а", Г= — СО Я ч Кх[т)= —, ~ 5х (в) е/"'Нв, В[Х[ Т)1= —,' ~ Зй( )Д .
(33) (34) (35) Равенства (29) н (30) выражают зависимость между корреляционной функцией и спектральной плотностью дискретной случайной функции Х [пТ). Значение корреляционной функции стационарной случайной функции при равном нулю аргументе равно дисперсии случайной функции: Кх[0)=ЩХ[пТ)1, позтому из равенства (30) имеем Й Й Взаимная корреляционная функция Кхг[гТ) может быть вычис- 3 «м) лена как значения коэффи- циентов ряда Фурье: Кхг[гТ) =- +т — Я"х~ (ы)Ф"' йО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
