Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 72
Текст из файла (страница 72)
[со — к [~- к=ос=о и = ~~ ', ~', Ко [г, з]й [п — г, е] Ц1 — а, е]. (20) к=о а=о Если, в частности, случайная функция, описывающая сигнал на входе системы б[п],— стацнонарна, то математическое ожидание и корреляционная функция сигнала Х[и, е] на выходе системы определяются по формулам а М[Х [п, е]]=и[х г,' й[п 1, е], (21) с о Кх[п, 1, е]=,5' ~ Ко[г — а]са[п — г, е]Ц1-з, е]. (22) =-оа=-о Введем новые переменные: р= и — г, [1=1 — а После подстановки этих переменных в выражение (20) получим Кх[п, 1, е]= 'а', ~Х~ Ко[и — р — 1+с1]Цр, е]й[с1, е]. (23) . а=оа=о Устремим переменные и и 1 к бесконечности таким образом, чтобы разность и — 1 оставалась конечной.
В пределе получим Кх[г, е]= '~'с ~', Ко[г — р+[Дй[р, е]с[с[[1, е], (24) о=оа=о где г=и — 1. Из равенства (24) следует, что в установившемся режиме корреляционная функция случайной функции Х[и, е] зависит только от разности аргументов, т. е. случайный сигнал на выходе системы Х [и, е] стационарен относительно аргумента п. Вычислим взаимную корреляционную функцию между случайными функциями на входе и выходе импульсной системы. Имеем Кох[и, 1, е]=М[б'[п]Х'[1, е]]= с - ас[а [ [ г.
а[[а[с-, .[~= т, к,[ . [к[с-, .[. а=о а=о оаа (25) Кх[п, 1, е]=Кх[и — 1, е]= ~Х~ ~~Х~~ Ко[и — 1 — р+с1]Цр, е]Ц[1, е], о=оа=о или Аналогично получим Кха[п, ), е)= ~ч"„Ка[з, п~й[) — з, е1 (26) (28) о=о Таким образом, если к импульсной системе приложена стацнонарная функция 6[п1, то в установившемся режиме сигналы на входе н выходе системы прн значении параметра е=0 стацнонарно связаны, так как нз равенства (29) следует, что нх взанмная корреляционная функцня зависит только от разности аргументов. Обозначим через Фо(~го, е) амплнтудно-фазовую частотную характернстнку импульсной системы, тогда Фо()я, е)=Ю [й[п, е1)= ~~ й[р, е)е-й"', (32) о=о где символ Ы означает операцию дискретного преобразования Лапласа. Определим связь между спектральными плотносгямн сигналов на входе и выходе устойчивой импульсной системы в установившемся режиме.
Умножая обе частя равенства (24) на е г"' н вы- Если случайная функция б[п) стацнонарна, то взаимные корреляцнонные функции, как н корреляционная функция для установнвшегося режима, будут заннсеть только от разности аргументов. Действительно, для случая, если случайный сигнал на входе системы стацнонарен, равенство (28) принимает внд Ках[и, ( 4= Х Ка[п — а|й[( з е$ (27) 5=0 Выполним зенону переменной р=) — з, в результате получим Ках[п, ), е)=,)', Ка[п — (+Р)й[Р. е1.
о=о Устремив в этом выражении п н ( к бесконечности так, чтобы разность и — 1 оставалась конечной, получим Ках [и — ). 4 = ~ Ка [п — ) + Р) й [Р. ез т(20) о=о Обозначая г=п — ), имеем Ках[г, е~=,У', Ка[г+р)й[р, е). (30) о=о Аналогично для взаимной корреляцнонной функцнн Кха[г, е) найдем Кха[Г е)= Х Ка[ Р1й[р е1. (31) полнив суммирование по индексу г в бесконечных пределах с учетом равенства (4) 2 56, получим Я.(о), е)= У', ~~~ Я(Ф)е-лк'+л"%[р, е)й[о, е)= я=ос-о =Я((о)Фе()а, е)Ф*( — 1!й, е)=Во((о)!Фе((о), е)!а. (33) Дисперсия Р [Х [и, е)1 случайного сигнала Х[и, е) в установившемся режиме может быть определена по спектральной плотности этого сигнала Ях((о, е).
Дпя этого воспользуемся формулой (35) ~ 68. При г=0 получим Р[Х[п, еД=Кх[0, е) = — ~ 5х ((о) сВ= = — | Юо(й)НФ'()в, е)!зд . (34) Умножая обе части равенств (30) и (31) на е-1"' и выполнив суммирование по индексу г в бесконечных пределах, учитывая равенство (38) 2 68 найдем выражения для взаимных спектральных плотностей случайных сигналов на входе и выходе импульсной системы: 88х(о), е)=Ва(а)Ф'( — 1в, е), (35) Бхс (в, е) = Яа (и) Ф* (/(в, е).
(36) Пример 3. Рассмотрим импульсную систему с мгновенными нмпульсамн, непрерывная часть которой является апериоднчсским звеном (см. пример 1 4 66, рис. !62). Пусть ко входу системы прилажен стационарный случайный сигнал с корреляционной функцией К, (т)=е опи (а) 0). Требуется определить спектральяую плотность и дисперсию случайного сигнала Х (л, е) иа выходе системы, а также взаимные спектральные плотности сигналов на входе н выходе этой системы.
Передаточная функция зтой импульсной системы (см. 4 66) равна Ф*(Ф е)= — е Ра ())О ее — ер Определим спектральную плотность случайного сигнала на входе системы. Используя равенство 32 4 63, получаем 1 — е ао 38(в) У д; (г)е )гг= р е о(~!е 1 — 2е о соз в+с ю г= оэ Г а По формулам (33), (33) н (36) найдем: (1 — е зо) заре Ях (а, е) Зо (а, е) ! Фе ()в, е) )е (1 — 2е осока+е зо)(1-е Рсозв+е та)' (1 — е ае) е Хче Ра оох (а, е)=Во(в, е) Фе ( — (в, е) (! — 2е о сов в+ е ~е) (е уи — е Р) ' (1 — е чо)елке Ре огего(а, е) ЯЬ(в, е)Ф*()а, е) (1 — 2е о соз в+ею) (еле — е Р) Иа равенства (34) имеем ! (1 — е ~о)е Ва () ()- — 1 Фо.
д (! — 2е "совы+а ао) (1 — 2е Р созе+а 4В) Для вычисления дисперсии воспользуемся методами теории вычетов, Заметим, что выражение для дисперсии может быть переписано в виде (! — е ев) е Ве г(ю ()х(в) (р(и е о)(е (и е о)(е(й е В)(е-(а е Р) йй — па Положим а е~, тогда с(ге==. При такой замене переменных интегрирова. ке ние по отрезку действительной оси [ — н, и] на плоскости 4 перейдет в инте.
грирование по окружности единичного радиуса на плоскости г: (! — е ья)е айе оа ~х (в)= дп (г(а — е и) (г ' — е в)(а — е Р)(г т — е В) )е)=1 (! — е зт) е тае ае"+Вез 2н( д (г — е Ч) (г — ес'! (а — е Р) (а — еР) Внутри контура интегрирования подынтегрвльная функпия имеет полюсы е,=е о и га е Р, гоэтому, согласно теореме о вычетах, получим Е) (в) (! — е-то) еи+Ве аре + (е о — еи)(е о — е Р) (е о — е Р) ей 1 ез ( +~~) ~~ а (е Р— ео) (е Р— ер) (е Р— е ") ) (ер — е Р) (еР— е в) ' ч 3.
Прохождение случайного сигнала через нелинейное безынерционное звено, Понятие о методе статистической линеаризации, Простейшими нелинейными звеньями, встречающимися в системах автоматического регулирования, являются безынерционные нелинейные звенья. Такие звенья описываются неслучайной функцией Х = ~р (У), где У (!) — случайный сигнал на входе. Если сигнал г' (() является случайным, будет случайным и Х (() — сигнал на выходе звена. При анализе автоматических систем возникает задача: определить статистические характеристики сигнала Х((), если известны статистические характеристики сигнала г'((). По известной функции распределения гг(д) или плотности распределения вероят« настей 1г(у) случайного сигнала У(() одномерная функция распределения сигнала Х(г) на выходе звена может быть найдена по формуле (см.
(32) 2 бО) рх(х)= ) 1 ЫФ, (37) в(у)(» где интегрирование производится по всем отрезкам оси Оу, для которых выполнено неравенство !р (у) (х. Если функция «р моно- тонна, то из иоавенства (35) 2 60 получим выражение для плот- 439 ности распределения вероятностей случайного сигнала на выходе звена в виде 7х (х) = уг (<р-' (х)) ~ (38) Математическое ожидание и дисперсия случайной функции Х (г) в этом случае могут быть вычислены по формулам й4[Х (2)1=лги = ~ хух(х) г(х= ~ хуг((р-'(х))~ ~ ~ с(х, (39) Р(Х ())) = ой = ~ (х — тх)в)х (х) г(х ОР (х- тх)Чг(Ч~-г (х)) ~ т ~ г(х. (40) Вводя в равенствах (39) н (40) новую переменную у=с!га(х), получаем тх ~ ЧЫЬЫФ, о%= ~ ЬЫ вЂ” гпх)'1г(р)с(у.
(41) — (42) Формулы (41) и (42) являются расчетными для определения математического ожидания и дисперсии сигнала Х(() на выходе нелинейного безынерционного звена, описываемого монотонной функцией Х =!р(У) по известной одномерной плотности распределения вероятностей Гг(у) случайного сигнала на входе звена. Пример 4. Случайный сигнал У (Г) на входе нелинейного звена системы Рис.
22! Рис. 222 автоматического регулировании имеет нормальное одномерное распределение с математическим ожиданием и, и дисперсией ау. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного сигнала на выходе звена, если зто звено описываетсв 4зункнией (рис. 22!) Х (Г)=~у(у (г))=(Ъ' (Г))т. ь Используя равенство (41), найдем математическое ожидание случайного сигнала Х(1) на выходе звена: (и — Рд г)з РО РО ЦР 1 Р таРГ 1 Г тх — — ) Уае ! 4(У== ) (аги+т )ае т 4(и= = а г1з + зо гт!" (я + баут!, (д+ т г1 а' у тг ! и — гР,)а== 1! Цае 4(и, аг )~2п ц' ЦР = и'а т'!Це /4(и )Ргйп 4:О цР из4" "е дРЦ (24 — 1)1 Ра т, )2и .) Ра ! 1гл== 1! из"е 4(и 'гг2и Получили рекуррентиое соотношение 1аа=(24 — 1) 1„а и, При й О получаем ОР ЦР ! интеграл Эйлера — Пуассона 1, = ~ е 4(и 1.
Отсюда имеем 1ах = т )гйл = П (24-1), т, е. )о 1 ° 1Р 1 14 3, 1О !5 и окончательно получаем щ 1 Х У У+ Р' Вычислим дисперсию сигнала на выходе звена. Согласно равенству (41) имеем (и — Рд г)Ф вЂ” (Уз — Зонт,— т!,) е 4(У 1 (' Р Р з 2аг о„~йп 5 ОР дР 1 Г = (агРЦР+Зартгиз+За„т' и — ЗаР т,)хе 4(и ог1 +бо(,,тг1 +9а~ т'„1„+бо',,т1„1,+ба' т',1 — баут .! + + 1баРгтРт1з — 1ба4 т'„1 — 1ба'„т"„1 = 1бс44г+ Зба'„т', -1-9а'„т4, Пример б.
Случайная функция У (!) имеет нормальное одномерное распре. деление с математическим ожиданием т, и дисперсией а),. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной функции (рис 222): Х (!) Рр(1'(1)) =. = и з!Зп У (!)4 44! Вычислим интегралы вида 1а. Очевидно, что 1за ! 0 как интеграл от нечепюй функции в симметричных пределах Вычислим теперь интеграл 1аа. Интегрируя по частям. имеем Математическое ожидание т и дисперсию аэх вычислим, воспользовавшись равенствами (41) и (42). Имеем (е ту)т а г теУу тх= у — э) з!йп ре о,у 2п а ау = —.
) з!йп(а и+т,)е аа, — )'2= .) р — л3у где и а, м /пу и ~ — — н отрицательна О!, ! Лапласа Ф(г)= — х )' 2п функция з(йп (п„а+т,) положительна при ту при и ( —, поэтому, воспользовавшись функцией а,' г )( ~ е г г(и. получим он т т я' а (т ~ тх= — - — — ) е !(и+ ) е Я ан =2аФ~ — /.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
