Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(4) Предположим, что задано математическое ожидание и корреляционная функция сигнала на входе системы М(6(г)1=тле(г) и Ко (~м (,). Вычислим корреляционную функцию сигнала на выходе системы Кх((о тз), а также взаимные корреляционные функции между входньпчи и выходными сигналами Кол(то 1,) и Кхо((м 1з). Заменяя в равенстве (4) г на (м т на т, получим ь Л (Я=) б" (т) й((з — т) й!. (5) в По определению корреляционной функции имеем Кх((„~з) =М(Х (г,) Х" «.)~. Изменяя порядок операциий интегрирования и определения математического ожидания, получим ~пь Кх ((м (з) = М ~ ~ ) 6' (т) О' ~~ ) Ф (~1 — т) й ((з — 1) Нх дт = ль ьь =~) Ка(т, т)й((,— т)л(га — т)4тпт.
(6) ль Аналогично найдем выражения для взаимных корреляционных функций: к=о„к1=м!а идх рл=м~а ы(а маю.—,)а+ в =~ Ка(Гм т) й(Гз т) сЬ, (7) в Г' к ц,. ~~-и~х уча СгН-тра ~щ, .)а.ад+ ь л =~ Ко(', т)Ь. ((,— т)йт. (8) ь Выражения (3), (6), (7), (8) позволяют определить статистические характеристики сигнала на выходе линейной системы по статистическим характеристикам входного сигнала. Используя спектральное представление стационарной случайной функции (40) $ 66, можно получить простые выражения для вычисления спектральной плотности случайного сигнала на выходе стационарной случайной системы в установившемся режиме, когда к ее входу приложено воздействие, описываемое стационарной случайной функцией О(().
Спектральное представление случайной функции б'(1) имеет вид 6 (г) ~ ра (оо) е~ ' Йо, (9) где М(1~а(оо)1=0, М[иа(оо) Ъа(Л)1= ~ б(в — Л). (10) оа (м) В равенстве (9) случайная функция 6'(г) представлена в виде предела суммы комплексных гармоник е~оо со случайными амплитудами ра(го) йо. Рассмотрим сначала, как преобразуется линейной системой гармоника е~"". В 9 39 было показано, что для того, чтобы определить сигнал на выходе устойчивой линейной системы в установившемся режиме в случае, когда к ее входу приложена комплексная гармоника еl"~, нужно умножить зту гармонику на амплитудно-фазовую частотную характеристику системы Ф (по). Таким образом на выходе системы будем иметь сигнал Ф(по) е~"'. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции; суммируя результаты воздействия каждой гармоники и переходя к пределу, получим выражение спектрального представления случайного сигнала Х'(1) па выходе системы: Х'(() = ~ 'г'а(оо) Ф(1м)е~"'йо.
В силу равенства (11) случайный сигнал Х'Я является стационарным. Вычислим корреляционную функцию случайного сигнала Х (г) на выходе системы. Имеем Кх(тм (о) =М(Х (1,) Х'(ГоИ= Изменяя порядок интегрирования и операции определения математического ожидания и воспользовавшись условием (10), получим Кх((1 (о) = ) ) еы"~ м >Ф(уоэ) Ф(уЛ) Яа(со)6(оо — Л)АоЮ= — ю-т 1 2л = — ~ е~" и' — и> ~ Ф ()го) ~' Ба (оо) Ао.
(13) Сравнивая равенство (13) с выражением (43) $ 66 для корреляционной функции случайной функции через спектральную плотность, найдем, что 3х (оо) =! Ф (Р>)! Ба (~>). (14) 43! Таким образом в установившемся режиме спектральная плотность сигнала на выходе стационарной устойчивой системы с амплитудно-фазовой частотной характеристикой Ф()со) равна спектральной плотности стационарного случайного сигнала на входе системы, умноженной на квадрат модуля амплитудно-фазовой частотной характеристики.
Найдем взаимную спектральную плотность случайных функций, представляющих сигналы на входе и на выходе линейной Рис. 2Ю системы с амплитудио-фазовой часготной характеристикой Ф()ео).' Из равенств (14) и (9) получим «.,лл„. л.л=м~а лллх е.в=м[л— "„) ) е,л л~е,л х лелллл л"~~ л лл~- — ' ) ) а,млеллллал — ллл хе)"" — )хц йод. = — ( Яо (ео) Ф()со) е)" Нл-и> сЬ.
(15) хп,) Сравнивая равенства (15) и (52) $ 66, будем иметь о ох ('о) = 8о (ол) Ф (! от). (16) Пример ц На вход системы с весовой функцией л ь(е — т)= — )-~ е и ~л при т~й О при т~т в момент времени ! 0 приложен случайный сигнал б(С) с корреляционной фуНКцИЕй К (С вЂ” СЗ)=Е Ыв Ы И МатЕМатИЧЕСКИМ ОжИдаНИЕМ СПΠ—— 1. Найтн статистические характеристики сигнала Х(С) на выходе системы. Из равенств (3), (8), (7) и (8) имеем: с с спх (С) = ~ спо (т) е-сс-тв с(т ] е-вс-св с(т=! — е-', е кх()с.
ст)=( в]ее ' "е "* 'е 1' т)с(тсь йо в (Св+С ) ~ 1 е /т «!е(т+т) с(тс(т об Введем новые переменные и=т — т, о=т. В атом случае якобиан преобразования ]С]=1. Тогда при Св) 1с получим (рис, 220, а) Гсв — с, с, К (С. С)=-е "+нд 1 $ еве+ с(ос(и+ с е= е с,— и б Св-сс е"сввввв с(и с(е+]ве ]г е ае"'в с(е с(и — -И е о е е сс'+сб 2 с е 2 пРи Св(гс (Рис.
220, б) аналогично найДем е е (с'+св) 2 ( с 2 Объединяя оба случая, можно записать: Кх (Сс, 1в) ( — ]1+] Сс — Св]] е ]с' св! — — [1 — (Св+1в)] е Кв+св). 2 2 Дисперсия процесса Х (1) будет их=К (С, С) = — + — (21 — !)е с. 1 1 2 Взаимная корреляционная функция между сигналом на входе и выходе системы есть Св Ках((м ув)=~е !" '!е 1' т)сь Выполняя интегрирование, получим при Сс (1в св св ! 1 ~ Е (Св т)Е (Св т) СС ! ]Г Е(Св т)Е (Св т) С! с1 =е — 1'* — '1 11 — + С вЂ” С с — — е — 1'+'»; в при Сс) Се н е — (с» — Сб е-(св+св) К сс С,) = е — (с -т)е — (!в — т) бт Из условия симметрии взаимной корреляционной функции имеем — +!г — Гз е !' *! — е 1'+ '! при !е(!П Кхо(тм Г)=Код Це, Г)= 1 — (е — !"-г) — е-" +'1) при !е)тм 2 В установившемся режиме при !т-ьсо и Ге-ьсо предельные значения статистических характеристик сигнала на выходе равны: ет 2 ее 2 Ках (т) = , при т<0, ет — (1 — 2г) 2 е г — (1+2т) прн с ) О, 2 е глх (Г) = 1 Кх (т) (1+ ! т !) () 1 х 2' где т=!з — Гн Пример 2.
К системе автоматического регулирования (см. 4 15) с передаточной функцией Х (и) 200 (и+!) 6 (з) 0,002зэ+0,1224Ф+5,146ь-'+41,32эе+201з+200 приложена помеха — белый шум с корреляционной функцией Ко(т)=025)( Х 10 еб (г). Определить спектральную плотность и дисперсию сигнала на выходе системы в установившемся режиме.
Корни характеристического уравнения системы имеют отрицательные действительные части (см. пример 2 $ 16), поэтому система асимптотически устойчива и согласно равыютву (14) спектральная плотность сигнала на выходе системы имеет вид ~х (ы) ) б' Цю) 1 ~о (ы)' где Яо(ю)=-0,25 ° 1О е ) Ь(т)е /етдт=0,25 ° 10 е раде с. Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы описывается выражением 200 Цю+ 1) 0,002 Цю)э+0,1224 Цю)а+ 5,146 Цьэ)а+41,32 Цгэ)'+ 201 Цгэ) + 200 Спектральная плотность сигнала Х (Г) на выходе равна Я 0 25 10 е 4 ° 10' (! -).)а) (! — !ю) Х ! 0 002 Цю)а+0,1 24 Цы)ч+5,146 Цю)а+41 32 Цю)'+201 Цю)+200(е 10 з(+юэ+!) / 0,002 Ца)'+ О, 1224 Цю)'+ 5, 146 Цю)'+ 41,32 Цю)'+ 201 Цю) + 200 э Дисперсию сигнала на выходе системы определим, воспользовавшись выражением (43) 5 66: (+ ю'+ 1) 2п,) /О 002Цю)'+0,1224 Цы)э+5,146 Цю)э+41,32Цы)з+201Цю)+2!0(з 1 ~Х (ы) х — 2„ 1О а при т) О, Кхо (т) = при т сО, Для вычисления интеграла воспольауемся формуламн (18), (33), полученными д'ь в 9 32, тогда 0х — — !О э уь= — — ь, гдедь(ув)=0.
(ув)о-1-0 ° (ув)о+О ° Ов)о2ао Рь ' — 1 ° Ов) +1, Ьь (ув) =О 002 (ув)о+О, 1224 (ув)«+5,146 (ув)э+4132 (ув]'+201 (ув)+200, откуда Ь,=О, Ь«=0, Ьь=О, Ьэ — — 1, Ьо — — 1 ао=0,002, а«=0,1224, аь — — 5,146, ао=41,32, ао — — 201, ад=200, аоО 0 а, ад ао~ ао аэ а, 0 аь а« = аь (ао (аэ (аэад — аэао) — а, =а, (а,аь — аоа,)1 — аь (аь 0«даэ — а Фэ) — ««о(адૠ— аоаь)1) = 1(аьао — аа,) (а,а, — ао«ь) — (а,а, — аьа,)э) = ЮО. 3275; ОаоО 0 0 0 аэ ад ао 0 О а« аэ аэ ад — 1О а„а«аэ 10 0 0 аь 0 0 о аэ ад ао аэ 0 аь = 0,002 . ! 19; 1О э ° 0,002 ° 119 !ух = 2. О 002, 200 327 ! = О 91 ° 10 рад . 2.
Прохождение случайного сигнала через линейную импульсную систему. Рассмотрим линейную импульсную стационарную систему, ко входу которой приложен дискретный случайный сигнал С[и'1 Сигнал на выходе этой системы Х [и, е) при нулевых начальных условиях определяется равенством (см. 9 81) Х [п, е) = ~~ ', 6 [11 Уг [и — 1, е1, « =-о (17) где А[п — 1, е) — весовая функция импульсной системы. Статистические характеристики случайного процесса Х[и, е1 на выходе системы определяются при любом е по формулам, полученным в 9 68.
Математическое ожидание случайной функции (17) при любом О =в~1 равно М[Х [п, е1]=тх[п, е) = ~ тоЩ Цп — 1, е). (18) «=о Вычитая равенство (18) из равенства (17), получим л Х'[и, е1= 'ч', б'[1['п[п — 1, е1. у=о (19) 435 а, ао 0 0 а, аэ ад ао ««ь «дя ««э аэ 0 0 а ао 0 0 0 0 ад аэ аь Ьь ао О Ьд а, ад Ь а а ь о а 0 0 ад аэ аь 0 а, ао 0 ) ) ад ао 0 = аь аэ аэ аэ ад — аь аэ аэ а, )= а, а« аэ а, а, а, Корреляционная функция случайного сигнала на выходе импульсной системы имеет вид Кх[п, 1, е]=М[Х [п, е]Х'[1, е]]= г ° =ас[Г Г а'[[а [[к[ — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
