Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 73
Текст из файла (страница 73)
у ь 2п ОЪ ту 'та /' !' оу Вычислим начальный момент второго порядка случайной функции Х(!)! (у — т у)9 (у т у)2 1 эо' аэ Г те' а,= — ~ [аз!Хну[ее ' с(р= ~ е а,)г 2п .у) 2п 3 ау ая, чогда !ту!1 П[Х(6[=о'х=а тх а'[(-4Фэ~ — д.
~йу/ [' При приближенных расчетах в теории автоматического регулирования нелинейное звено с нечетной характеристикой !р(Х) заменяют эквивалентным линейным звеном, преобразующим случайный сигнал на входе у'(()=ту+И'(1) в случайный сигнал иа выходе Хт(1) по формуле Хт(1) =йт)-(()+й, у(() (43) 442 таким обрааом, чтобы случайный сигнал Х,(() был в некотором смысле близким к случайной функции Х (() = !р (У (()) на выходе нелинейного звена.
Коэффициент )ге называется статистическим коэффициентом усиления нелинейного звена по математическому ожиданию, а йт — статистическим коэффициентом усиления нелинейного мена по случайной составляющей. Метод приближенной замены нелинейных характеристик эквивалентными в вероятностном смысле линейными зависимостями называется методом стапгистической линеаризации.
Для того чтобы вычислить коэффициенты Аз н А„нужно ввести критерий близости эквивалентного звена н лннеарнзуемого нелинейного звена. Если для эквивалентного линейного звена потребовать, чтобы математическое ожидание н дисперсия сигнала на егд выходе были равны математическому ожиданию н дисперсии на выходе нелннейного звена, т. е. М [Х, (г)) = М [Х (г)), (44) В[Х, ((Ц.— В[Х ((Ц, (45) то, учитывая, что математические ожидания и дисперсии сигна- лов на выходе нелинейного и эквивалентного линейного звеньев определяются по формулам М[Хг ИИ=М[й гпг(()+АгУ'((Н=Аогпг(0, М[Х(())= ~ ч(д)[,(д,() (р, — ФО .0[Хд (Г))= М[йгУ (1))~ = А[от (Г), ~ЧХНИ= $ (рЫ вЂ” ~пх(())'Ь(д, () сЬ.
(46) (48) (49) нз равенств (46) н (48) получим: 3 тх(О Ю(Х(М ох — (и-) = =- —,. (50) — (5() мг(О ' ~ Р'(О! оЪ' Коэффициенты А, и з, можно выбрать также из другого условия эквивалентности звеньев — минимума дисперсии разности между процессами Х,(() н Х((), т. е.
из условия М[(Х(()-Х,Р)) 1=ю( . (52) В этом случае имеем М[(ХР)-Х,(г)) )=М[(Х(г) — й,,(() — й,~ (()Р)= М[(ХЯ)г +Цтг (() -).й[М[(У'(~))'1 — 2й пг (Г) М[Х (()]— — И,М[Х(() )" (())+2йФ, „(() МР'(())= = М [(Х (())') + Мтг (~) + А1ог (() — 2А глг (() тх (г)— -2й,М[Х(() У (()). (53) 443 Значения коэффициентов А, и а, найдем из условия (52), дифференцируя выражение (53) по Аз и А, и приравнивая производные нулю: 2йзгл'г (() — 2тг (() тх (() = О, (54) Игог (() — 2М [Х (1) У (0 [ = О.
(55) Окончательно имеем: х(Г) ь„, М[Х(1) У (1)] и [Х(7) и (1)] шг(Г) ' » а"к (Г) )х [У (С)) Прнмер Е. Вычнслп»ь коэффнцненты й», й",', й<[» для звена автоматической системы с нелннейностью вида Х=Уз, еслй на выход этого звена подан случайный нормальна распределенный свгнал с математическим ожиданием»п н дисперсией а , Воспользоваивнсь результатами примера 4, нз равенств (50) н (5!) получнм: шх шу (Щ+шУт) де = — = = За»г+ я»»г, иг и», а»х За'и 15а» +12а»г»п»у+Зл»»г» а', а', Взаимный момент второго порядка случайных процессов х (г) н 1'*(г) вычислим по формуле (а — »»г)» М[Х(Г)У'(Г)] ! у»(у — тг)е о»' г(у а, г" 2п .» а»о я» )72п ) (ага+юг)" пе у — иг где и= —.
Далее получая а, аг М [Х(1) У'(Г)]= — ~ (ахи+а,)з ие с(п= )' 2п Окончательно нэ равенства (57) имеем й',"= [ ( ) )[ 3 (ар+и»г). Прнмер 7. Вычислить коэффициенты й», А»[', й'," для звена снсгемы регулнровання с нелннейностью вида Х=а з!яп У, если йа вход етого звена воздействует нормально распределенный случайный сигнал У(Г) с математическим ожиданием л», н днсперсней а", Воспользовавшнсь реаультатамн нрнмера 5, нэ равенств (50) н (51) получим: .
(") йо а» [1 — 4Ф» ("г)1 (й»а) - — ',- а", а'„ Смегпанный момент второго порядка М [ХУ') вычислим по формуле (а — мт)2 М [Х)'о), а а(йп у[у — п1 )е г Иу о,,~/'Йн .1 ОР дй вф а г". йобу аоа — а(йп [о„и+т ) о ие я Ни== е Коэффициент Аг найдем на равенства (57); М [Х(Г) уа(()) а я +„ о" оу),гр,, ЛИТЕРАТУРА К четвертой части 1.
П и с к у н о в Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление, т. П. «Наука», 1964. 2. П о п о в Е. П. Динамика систем автоматического регулирования, ГИТТЛ, !954. 3. П у г а ч е в В. С. (редактор). Осноны автоматического управления. Физматгиз, 1963. 4. Смирнов В. И. Курс высшей математини, т. П, ГИТТЛ, 1%2. 5. Солодовников В. В. (редактор). Техническая кибернетика, кн. 1. «Машиностроение», 1967.
6. Толстов Г. П. Ряды Фурье. Фнзматгнз, 1960. 7. Фихтенгольц Г. М. Курс диф(еренциального и интегрального исчисления. Фнзматгиз, 1962. 8. Харкевич А. А. Спектры н анализ. ГИТТЛ, 1957. К пятой части !. Гарднер М. Ф., Бэрнс Дж. Л. Переходные процессы в линейных системах. Физматгиз, 1961. 2. Д е ч Г.
Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и г-преобразования. «Наука», 197!. 3. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. «Высшая школа», 1975. 4. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. «Высшая школа», 1965. 5. Лаврентьев Ы. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.
«Наука», 1965. 6. Лев ин штейн М. Л, Операционное исчисление и его приложения к задачйм электротехники. «Энергия», 1964. 7. Л у р ье А. М. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. Гостехиадат, 1950. 8. Солодовников В. В. (редактор). Техннчесхая кибернетика, кн. 1. «Машиностроение», 1967. К шестой части 1. Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования, «Наука», 1967. 2. Гельфанд А. О.
Исчисление конечных разностей. «Наука», 1%7. 3. Катк папик В. Я., Полуэктов Р. А. Многомерные дискретные системы. «Наука», 1966. 4. К у з и н Л. Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления Машгнэ, 1962. 5. Маркуше вяз А. Иг Краткий курс теории аналитических функций. «Наука», 1966. 6. Цыпкин Я.
3. Теория линейных импульсных систем. Физматгиз, 1963. » 446 К седьмой части 1. Вентцел ь Е. С. Теория вероятностей. «Наука», 1971. 2. Гпеденко Б. В. Курс теории вероятностей. «Науна», 1969. 3. Пугачев В. С. Введеняе в теорию вероятностей. «Наука», 1968. 4. П у гачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автомзтического управления. Физматгнз, 1963. 5. Румши иск ий Л. 3.
Элементы теории вероятностей «Наука», 1976. 6. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. «Наука», 1968. 7. Я г лом А. М. Введение в теорию случайных функций. Успехи математических наук, т. УП. вып. 5(5Ц, 1952. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсцисса абсолютной сходимости 114 Автокорреляционная функция 389 Адмитанц системы 76 Алгебраический критерий устойчивости 295 Амплитудно-импульсная модуляция 209 Амплитудно-фазовая частотная характеристика 76, 84, !59, 284 Амплитудно-частотная характеристика 76, 84 Амплитудный частотный спектр 43 Аснмптотически устойчивое решение 289 Белый шум 388, 427 — —, пример 411 Биномиальный закон распределения 330, 367 Векторные решетчатые функции 198 Вероятность события 312, 313, 316 Весовая функции 84, 213 Взаимная спектральная плотность 411 Взаимный начальный момент 389 Возбуждающая функция 149 Гармоника 4, 5 Главное значение несобственного интеграла 38 Годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики 77, 285 — устойчивых систем, примеры 302 Двустороннее преобразование Лапласа 117 Дельта-фуннцин 61 — †, пример 137 Дискретная случайная величина 323 Дискретное преобразование Лапласа 228, 229, 273, 278 — — Фурье 236 Дискретные случайные функции 4!8, 419 Дискретный белый шум 427 Дисперсия 354 — комплексной случайной величины 364 — сигнала, пример 434, 438, 440 — случайной функции 386 — — —, пример 441 Дифференцирование случайных функций, пример 399 Дифференцируемая случайная функция 394 Достоверное событие 306 гЕг-преобразование228, 229 †2, 240— 254 .йг-преобразование 255, 257, 259 — †, линейность 261 — †, примеры 261, 263, 265 — —, свойства 261 — 267 Единичная ступенчатая функция 59, 60 Зависимые события 321 Закон Пуассона 330, 368 — равной вероятности 331, 368 Замкнутая система 89 — — импульсная 210 Изображение функции 110, 1!2, 115, 116 — — в смысле дискретного преобразования Лапласа 228 †, дифференцирование 133, 134, 248, 266 †, интегрирование 13$, 135, 248 †, начальныс значения 135, 251, 267 †, предельное значение 135, 252 †, смещение аргументов !25, 262 †, умножение 130, 245, 263 Импеданц системы 76 Импульсная система 209 — 213, 284, 285 — —, пример 215 — 217, 270, 271, 274, 275, 280, 282 — †, исследованйе устойчивости 293 302 Импульсный элемент 2!О, 213 Интеграл Дюамеля 83 — Лапласа 112 — свертки 130 — Фурье 34, 37 Компленсная амплитуда 27 — гармоника 27 — проводимость системы 76 — случайная величина 363 — — функция 385 Комплексное сопротивление системы 76 Комплексный частотный спектр 43 — — — решетчатой фуниции 238 Коррелированиые случайные величины 361 Корреляционная матрица 362, 385, 401 — теория 384 — функция 386, 419 — —, пример 400 Корреляционный момент 364 Конечное пространство элементарных событий 308 Косинус-преобразовавие Фурье 36, 37 Коэффициент корреляции 362 Критерии устойчивости 85, 88, 93, 295, 297, 300, 302 Критерий Гурвица 296 — Михайлова 88, 298 — Найквиста 91, 301 — Шура — Кона 294 — непрерывности случайной функции 391 — сходимости случайной последовательности 380 Математическое ожидание 353, 359 — — комплексной случайной величины 363 — — — — функции 385 — —, пример 440, 441 54гповенная спектральная характеристина 72 Метод гармонической линеаризации 94, 98, 99 — статистической линеаризации 442 Многомерная импульсная система 210 Начальный момент 354 Невозможное событие 306 Независимые события 321 Некоррелироваиные случайные величины 361 — — функции 389 Непрерывная функция 260 Непрерывное пространство элементарных событий 308 Неравенство Бесселя 13 Несмещенная оценка 413 Несовместимые события 307 Несчетное пространство 308 Нормальная система уравнений 197 Нормированная корреляционная функция 387, 389 — частота 380 Нормальное распределение 331, 369 Обратное .У-преобразование 256, 259 — преобразование Лапласа 111, 119 — — Фурье 45, 121, 236 Объединение событий 308 Оригинал 110, 135 †1, 231 †, начальное значение 135, 252 †, предельное значение 136, 252 Основная полоса 232 Оценка корреляционной функции 415 — математического ожидания 413 Параметры предельных циклов 102— 103, 105 Передаточная матрица системы 273 Передаточная функция 155, 158, 159, 268 — , примеры 270, 271 Пересечение событий 308 Переходная функция 81 Периодическая функция 3, 24, 70, 237, 238 Плотность распределения вероятностей 327 — —, примеры 348, 350, 351 — — —, свойства 328, 329 Показатель роста 112 — — решетчатой функции 231 Полная группа событий 307 Положительно определенная функция 387 Порядок системы 195 — — нормальной 197 Правила выполнения операций над событиями 309 — — — — —, примеры 310 — 311 Правило Зо 334 Предел случайной порлсдовательности 379, 380 Преобразование Лапласа 110 †1, 120 †1, 146 †1 — Фурье 39, 46, 120, 121 — — дискретное 235 — —, примеры 48 — 51 — —, теоремы 47 — 52 Признак линейной независимости 200 Принцип сложения вероятностей 316 — умножения вероятностей 318 Произведение событий 308 Произнодная в среднем квадратическом 393 Пространство элементарных событий 307 Противоположное событие 309 Процесс Винера 400 — регулирования системы 162 — — —, примеры 163 — 166 Прямое,9~-преобразование 256, 257 — преобразование Фурье 46 Равенство Ляпунова 14 Равновозможные события 313 Разомкнутая система 89, 2!О Разностные уравнения 175 — 177, 184, 190, 273 — —, примеры 193, 194, 274, 275 Распределение вероятностей 338 — Гаусса 331, 372 Реализация случайной функции 382 Решение разностных уравнений 176 — — —, системы 195, !96, 288, 289 Решетчатые функции 167, 259 — †, конечные разности 168, 243 — — линейные зависимые 178 — — — независимые 178 — †, определенная сумма 172 — †, первообразная 171 — —, показатель роста 231 — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
