Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(68) св св Найдем корреляционную функцию случайной функции У'(1). По определению корреляционной функции имеем к,(1„1,) =МР" (1,) У'(г,))- рав ь =м1)1х'с ~х'сохсв„масс,. )а с1 в Св м м =М 1. 1. т. ')~ ~, 'Х'(т»)Ха(иод((п т»)д(т„т)бт»бт, . со» саах»х», Ьм О (69) На основании леммы 1 изменим порядок операций предельного перехода и определения математического ожидания. Пользуясь линейностью операции определения математического ожидания, получим Кг(11 ах) = )О М 'У', ~Я~, 'М(Х'(тв)Х'(т)))д(11, тО)д(1О, т1)ЛтвЛт)= Ип) Ьа со М со лрвх Ьх,, Ьх О 1=1 1=) 1а 1а = ~ ~ Кх(т т)йс(11, т)д(~О, т) 1(т)(т. (70) 1р Соверп)евно аналогично можно показать, что взаимная корреля- ционная функция двух случайных функций Е' (1) = ~ Х' (т) к (11, т) дт 1р р $7'Я= $ У'(т))(1О, х)) 1(т (71) (72) равна К)ОЯ(г1 (х)= ~ ~ Кхг(т т)Я(11р т)7((вр т)1(т1(т. (73) )а 1р Рассмотрим теперь случайную функцию У(1), равную интегралу от случайной функции Х (1): У(1)= ~ Х(т) с)(1, т) 1(т.
(74) л)У)а))-л))х)*)а)а. )а~= ~1р л =М 1 1 ю. 'У, 'Х(тв)й(1, В О л)ах Ьа Ю л 11п) МД,' Х (тв)ах(1, л ор хааа Ьв О та)Лтв = т,) Лт„= 1пп ~ч'„' М[Х (тл)~д(1, тв) Лх . л со л Ьса-О Найдем математическое ожидание случайной функции У(1). Со- гласно определению интеграла от случайной функции и равенству (40), получим Окончательно имеем М [)' (()) = ~ пгх (т) д ((, т) Ж, (75) где пгх (г) = М [Х (г)р Из неравенства (75) следует, что если существует интеграл (б8), то математическое ожидание интеграла от случайной функции Х (() равно интегралу от математического ожидания этой случайной функции.
Вычитая почленно из равенства (74) равенство (75), получим У" (г) = ~ Х' (т) д (г, т) с(т. Используя равенство (70), запишем выражение дия корреляцион- ной функции интеграла от случайной функции Кг((ы (з)= ~ ~ Кх(г, т)8((ы т)д((а, т) г(тг(о. (77) Согласно теореме 3, существование интеграла (77) является необходимым и достаточным условием интегрируемости случайной функции Х((). Дисперсия случайной функции Х(г) равна )7у(()=Кг(г ()= ~ )Кх(т, т)а(( т)и(г, т)сгтс(т. (78) гч го пример $ .
Корреляционная функция случайной функции х (г) равна к х (гм гы' = ()е а (и ги . Выяснить, дифференцируема ли случайная функция х (г), и найти корреляционную функцию ее производной. дзкх (Гг гг) Вычислим частную производную корреляционной функции дтг дтз Кх (Гп Г,).
Для етого сначала вычис.чим производную по переменной (е: дкх((ы Г д х д (Пе а(гю — а)*)=2ао(à — Г)е а(г — гв3®. д( дтз Дифференцируя второй раз по переменной Гм получим дкх(гь ге) д — [2а)) (Г () -ан -гд] 2ар() 2а(Г Г >з)е-а(гв-гд' д(г дй д(г а согласно равенству (59) взаимная корреляционная функция имеет ввд (Гм Г,)=2 П(й — з)Е-ан-" Так как вторая смешанная производная существуег, то случайная функция Х (Г) дифференцируема и, согласно равенству (йа), корреляционная функция ее производнои равна 2ао (1+ 2а (гт — Гз)з) е (г' Рис.
2П о) Пусть Сг) С„тогда Рис. 2!2 й с» Св т с,с, ) ппп (т, т) с(т сЬ = 1 '1 т с(т бе+ '1 ) т бт с(т = о св с св св Зс св св — + — — — = 6 2 3 6 Св Свг Св ЗС»1 Св = — — + — + — = 3 2 6 б б) Пусть теперь Са ~ Сг, в югом случае с, с, с, т l ~ гп(п(т, т)бтг(т = 1 ) тггтс(т+ ~ ~ т»1тсЬ = Ъ т св св Интеграл ~ ~ гп(п (г, т) с)т бе супгествуег, поэтому в соответствии с 'теоре» мой 3 случайная функция Х (С) интегрнруема и корреляционная функция интеграла от втой случайной функции, согласно равенству (64), райна ЗС»С Св при С, (Св, зс с( — д) при Сг) С„ в дисперсия св От(с)-К„(с.
П= —. 3' "' Случайная фуякпвм с такой корреляционной функцией и нулевым математическим оигидаавем, распределенная по нормальному закону, называется ндегСегспв Вилера пример 2. Корреляционная функция случайной функции х (с) равна К Г (Св, Св) =ппп (Сг„гв) *' (рис. 211). Найти корреляционную функцию случайной функции У (С) = ~Х (С) бС. Вычислим иьтеграл 6 с» й с» ~ Кл (т, т) бт г(т= ~ ~ ппп (т, т) г(т бт. » с» 0 о Рассмотрим два случая (рис. 212). а 68. стАциОнАРные случАЙные Функции 1. Определения. Существуют случайные функции, ие изменяющие свои характеристики с течением времени. Такие случайные функции называют стационарными.
Случайная функция, для которой все п-мерные функции распределения вероятностей не изменяются с изменением начала отсчета времени, называется стационарной в узком смысле, Таким образом, для функций распределения верояпюсгей стационарных случайных функций должно выполняться равенство В корреляционной теории рассматриваются моменты случайных функций только до второго порядка, поэтому естественно ввести еще одно понятие стационарной случайной функции. Случайная функция с постоянным математическим ожиданием и корреляционной функцией, зависящей только от разности аргументов, называется стационарной в широком смысле (смь(еле Хинчина). Для стационарной случайной функции выполнены условия т(О=М[Х(1Д=сопз(, (3) .К((], Уэ)=К((] — Я. (4) Для нормально распределенной случайной функции все и-мерные функции распределения вероятностей полностью определяются вектором математического ожидания т.
(1) = [т (~,) т (1,) ... т ((„)) и корреляционной матрицей К(1м 1]) ° ° ° К(1м 8 )1 К(~„, (,) ...К(~„, ~„)~ К=[К(((, (()~= В этом случае п-мерная плотность распределения вероятностей п-мерного вектора, соответствующего п сечениям случайной функции Х(г), равна 1 1 — — ((х — м], к-1 (» — мн [(х, () = 2 (2л)"м (((е( К) н Из выражения для функции плотности распределения вероятностей следует, что если случайная функция нормально распреде- р(хы х„..., х„; (ы („..., ( ) = =Р(»„»„..., х„; (,+А, (,+А, ..., (.+А), ()) или для плотностей распределения вероятностей должно быть справедливо равенство ((хь х„..., х„, "(ы 1„..., 1 ) = =)(х„х„..., х„; ~]+А, $,+)], ..., 1„+А). (2) лена и стацнонарна в широком смысле, т.
е. ее математическое ожидание и корреляционная матрица равны соответственно и (К((ь (г)(= с К((„— (г)...К((„— („) то она стационарна н в узком смысле, так как для такой случайной функции прн изменении начала отсчета аргумента ( вектор математического ожидания н корреляционная матрица, а следовательно, и все и-мерные функции плотности распределения вероятностей не изменятся. В дальнейшем под стационарными случайными функциями будем понимать случайные функции, стационарные в широком смысле. 2. Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции. Стационарно связанные случайные функцни. Корреляционная функция стационарной случайной функции зависит от одной переменной (, — („= т.
Если в равенствах (14) †(20) 2 65, определяющих свойства корреляционной функции случайной функции, положить г',— (,=т, то получим следующие свойства для корреляционной функции стационарной случайной функции. Свойства корреляционной функции стационарных случайных функций Е Дисперсия равна значеншо корреляционной функции при т=О, и. е. Р[Х (()1=Кх(( — () = Кх (0) = Р= соней (5) 2. Если изменить знак аргуменпш, то корреляционная функция изменится на комплексно-сопряженнуо, и е. К(т)=К( — т).
(б) В частном случае для действительных стационарных случайных функций имеем К (г) = К (-- т). (7) 3, Модуль корреляционной функции при произвольных т не превышает ее значения при т= О, и, е. ) К (т) ! = Р = К (0). (8) Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции равна К ((„(а) = К (й — й) К (т) К (т) Р Р К(о) Две стационарных случайных функции Х(1,) и У((«) называются стационарно связанными, если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов, т. е.
Кхт(~ь (а) =Кхг((л — («) =Кхг(т) (т=(« — 1«) (10) Очевидно, что для взаимной корреляционной функции стационарно связанных случайных функций справедливы равенства К хи (т) = Кгх ( — т)» (1! ) ! Кхг (т) ( «)Г))х()г =)'Кх (0) К» (0). (12) Из равенств (11) и (44) 3 62, связывающих начальные и центральные моменты, получим, что для стационарных случайных функций начальные моменты второго порядка равны Гх((ь («)=Кх(1« — («)+~тх~'=Гх((л — 1«), (13) Гхг((» («)=Кхг(Г« — («)+тхтг=Гхг((« — 1«) (14) Таким образом, начальные моменты для стационарных и стационарно связанных случайных функций зависят только от разности аргументов.
Найдем выражение для корреляционной функции производной стационарной случайной функции Х (г). Полагая 1, — 1,= т и учитывая, что а«К(ть й) а«К(й — й) д«К(т) ат дт дйи, ай ай д ° ай ай > из равенства (68) 3 66 получим, что корреляционная функция производной случайной функции Х (() равна "'Кх 00 х где Х(() — стационарная случайная функция, а Х(г) — ее производная в среднем квадратическом. 3. Примеры стационарных случайных функций. Рассмотрим несколько примеров стационарных случайных функций. 1. Пусть случайная функция Х (1) принимает значения +а и — а, причем моменты времени изменения знака распределены по закону Пуассона. Такой случайный процесс называют «телеграфным сигналомк На рис. 213 приведена одна из реализаций «телеграфного сигналам Для распределения Пуассона вероятность того, что за отрезок времени гл †(« произойдет я изменений знака телеграфного сигнала, согласно равенству (18) 3 60, равна Р(/1« — (~!, Й)=( ~ ' '0 е (16) м где ).— среднее число изменений знака за единицу времени.
Математическое ожидание телеграфного сигнала равно нулю, так как его значения +а и — а равновероятны. Вычислим корреляционную функцию этой случайной функции. Произведение Х ((1)Х((«) может принимать лишь два значения: +а* при четном числе переключений между моментами (, и («н — а' прн нечетном числе переключений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
