Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Характерисгпичская функция ут(1) случайной величиньг У=аХ+Ь, еде а и о неслучайные числа, равна де (1) = е~в'д (а(), (8) где у(1) — характеристическая функция случайной величины Х. Действительно, имеем уи(1) = М [е'г'] = М [е!ггх+ьгг] М [егвгегг~хгг] г — егыМ [е1 гглг х] д/ьгу (гй) ° 5. Если суи1есгпвует начальный момент и-ео гюрядка М[Х"] случайной величины Х, то при всех й =.и значение производной порядка я от хараипериспгиггеской функции д(1) втой случайной Збб величины при 1=0 равно начальному моменту л-ео порядка слу- чаРной величины Х, умноженному на 1а, т. е. йлм (0) = 7ьй1 1 г'~1= 7"ам В самом деле, дифференцируя выражение (1).для характеристической функции я раз по 1, получим йл"> (1) = у' ~ х'е1'"1 (х) ах.
Л' ОЭ Полагая (=О, найдем йЛЫ(0) =)а ~ хь7(х) йх=у"ЩХь~=!"аь. И (10) Из выражения (10), как частные случаи, могут быть получены следующие равенства: М(Х)=а~ = — ьу' (О), сс,= М1Хв1= — у" (0), О (Х) = а, — а,' = — д" (О) + (д' (0))в. (11) ° (12) (13) д(1)=,У' еллСьрлц л=,У' Сл(енр)ьд" ь=(ечр+у)п (14) А=в «=ь Вычислим производные от характеристической функции: д' (1) = гпреу(ерр+д)" ', о" (1) =' — прел 1р (и — 1) (епр+ у)"-'+ (вир+ у)"-'~. Учитывая„что р+д=1, имеем д' (0) = )пр, д" (0) = — р'и'+ рв и — рп = — рвпв — рп (1 — р), 2.
Характеристические функции и числовые характеристики некоторых случайных величин. Числовые характеристики (моменты) случайных величин, вообще говоря, могут быть вычислены непосредственно с помощью формул (Б), (9) 5 62. Однако зти моменты удобнее вычислять, используя свойство 5 характеристических функций. Так, математическое ожидание и дисперсию можно определить с помощью формул (11) и (13). Вычисление математических ожиданий и дисперсий рассмотрим на примерах некоторых распределений случайных величин. 1.
Б и н о м и а л ь н ы й з а к о н р а с п р е д е л е н и я. При биномиальном законе распределения (см. равенство (17) $ 00 случайная величина Х принимает значения О, 1, 2, ..., п с вероятностями рл=-Слр~д" ~. Поэтому из равенства (2); используя формулу бинома Ньютона, имеем Из формул (11) и (!3) следует, что для случайной величины, распределенной по бнномнальному закону, математическое ожн- дание и дисперсия определяются равенствами Ф ) М 1Х) = — уй' (0) = ир, Р [Х)= — й" (0)+(д'(0))' = р'и'+рп (1 — р) — р'и'= =пр(1 — р) =прд. (16) (16) 2. 3 а к о н П у а с с о н а. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, принимает значення О, 1, 2, ..., и, ...
а" — а с вероятностямн ра= — е- (см. равенство (18) 5 60). Из формулы (2) следует, что характеристическая функцня этой случайной величины есть а(1)=атеях) 1)' еда — е-'= ут — е- =е'<7-0. (17) аа к~ (аах)а ы —,?, а=о а;а Вычислим пронзводные от характеристической функции (17): а'(1) =а/ЕИЕ 1'7 -'), й" (1) — а'Е~ИЕа(' — ') — иааф ('Д-О. Полагая в полученных равенствах 1=0, имеем ь й' (0) = )а, й" (0) = — а' — а. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по закону Пуассона, вычислим, воспользовавшись равенствами (11) и (13): 1(х) = 0 прн х(а, х) Ь, — прн а(х:=Ь. Ь вЂ” а Характеристическую функцию этой случайной величины вы. числим по формуле (1): и (1) 1 $ Еха,(Х 1 (ЕИЬ Е)М) (20) 4 М(Х)= — )д' (О) =а, (18) Р1Х1 = — и" (0) + (д' (0))' = а'+ а — а' = а, (19) Таким образом, математнческое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны одному и тому же числу.
3. Закон равно й вероятности. Согласно равенству (19) $ 60 плотность распределения вероятностей случайной величины, распределенной по закону равной вероятности, имеет внд Разложим характеристическую функцию д«) в ряд Маклорена) д«)=,.„,' „, ([[Ь вЂ” 1[а '," + ',"' — '",'+ '","+о«)) = , + «(а+а) ('(ь'- ~)+о «з) 2 6(Ь вЂ” а) Вычислим производные от характеристической функции: , «) 1(ь — а) ((Ьз+аЬ+аз) «) з й'«)=-, + (1), откуда а (О) = [ ( а (О) = Определим математическое ожидание и дисперсию равномерно распределенной случайной величины.
Воспользовавшись формулами (11) и (13), найдем 3 )И[Х]= — 1д (О) = '+', (21) П [Х] = — ак (О) +((г', (0))з +Ы+Ф вЂ” (~+ ) ( ) (22) 4. П о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е. Плотность распределения вероятностей случайной величины, распределенной по иор(к — т)' мальному закону, равна 1 (х) = . е зо' (см. равенство (21) а тг2п й 60).
Согласно выражению (1), характеристическая функция случайной величины Х равна (к — т)® оУ2н ) а'т' 2п ) (~а~ «а [к — (рок+ т)к[ = =.и з ~ е зо* ([х. (23) оУ2и Полученнь)й интеграл есть интеграл Эйлера — Пуассона. Известно е' что Ф [к — ([(о*+ т)П ек =. ~ е "" ([х= — ~ е ' ([и=1, ! позтому для нормального распределения характеристическая функция имеет вид [т( ам й«) е к~ См., например: Фихтенгольц Г.
М. Основы математического вне. лиза, т, 11 «Ниуивк, !968, с. 164. Запишем разложение характеристической функции в ряд Мак- лорена оч~ (БАРР и(1)=1+!ИМ вЂ” — — 2 +0(г'). 2 Производные от характеристической функции равны й' (1) = ут — 1(о'+ т')+о Я, д" (8) = — (о'+ т')+о (1), откуда найдем К' (О) = ут, д'" (О) = — (а~+ рп~). Математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины -вычислим по формулам (11) и (13): )И(Х~= — )д'(О) =гл, (25) Ю (Х)= — й" (О) + (и' (0))т = о'+ тт — и' = о~.
(26) Таким образом, два параметра. т — математическое ожидание и а — среднее квадратическое отклонение полностью определяют случайную велнчину, распределенную по нормальному закону. 5. Экспоненциальное распределен ие. Функция плотности распределении вероятностей случайной величины, распределенной па экспоненциальному закону, согласно равенству (27) 2 60 имеет внд 0 при х(0, ! 1Ле-' при х)0, Л)0. Характеристическую функцию этой случайной величины вычислим, учитывая равенство (1): й (1) Л фйс6 .х ~(х = Л В ы-л'лс г(х (27) Л вЂ” Д Разложим характеристическую функцию в ряд Маклорена: ! С ~Р К(г) = =1+! 1 ~и +о(г").
1 — (в Вычислив производные от характеристической функции, получим а'(1)= — '„- —,. +о(1). а" (1) = — — „, +о(1), откуда й .(0) = ~ к (0) = — 2 ° Определим математическое ожиданке н дисперсию зкспоненпиально распределенной случайной величины: М[Х)= — (Д- (0) = — ', 12[х)= — й'(0)+(д (0))»=-,2,— — — ', =,',, - (2й) 3. Характеристические функции векторных случайных величин. По аналогии с характеристической функцией одномерной случайной величины введем характеристическую функцию векторной случайной величины.
Характеристической функцией п-мерного случайного вектора Х называется математическое ожидание слу. чайной величины еи' х', т. е. д(г)=д(гз» зз, °" га)= М[еУа,х]1 х'=[х,х,...х.], т =[1,1,...(„], (30) (г, Х) — скалярное пронзоеденис векторов г и Х, заданных в некотором ортонормированном базисе. В соответствии с определением математического ожидания имеем У(г) д(гт (з (а) — М[еги,и)1 ') ~ ') ет(Ц"з+-.+'з"л)зс х((х„..., х„)йх,...
йх„, (31) где Г'(х,, ..., х„) — и-мерная функция плотности распределения вероятностей случайного вектора Х. Основные свойства характеристической функции случайного вектораз» 1. Значение хараюперистической функции случайного вектора Х при з=й равно единице, т. е. у(О) =1. (32) 2. Значение модули характеристической функции не превышает единицы, т. е. ! у(т)! ==1. (33) д. Длл того чтобы из характеристической функции п-»мерного случайного вектора получшпь характеристическую функцию й-мерного случайного. вектора, соппавленного из произвольных й координат исходного векйюра, надо положить остальные (и — к) координат вектора г равными нулю. 17олученназ функция будет харак- " Справедливость свойств характеристической функции случайного вектора примем без доказательства; доказательство см., например: Гнедеико Б.
Р. Курс теории вероятностей. «Наука», 1969, с. 248. теристической функцией случайного вектора, составленного из оставшихся lг координат, т. е. Ул(11, гм ..., )г)=д(11, (и ..., гы О, ..., О). (34) 4. Хараюперистическая функция у„(г) и-мерного случайного вектора ге= а+ ВХ, где а — 1(вслучайный вектор;  — неслучайная лииприцаг )) ) а, , ь ь ... ь „ х, а= а' В= ." "'" '" Х= ь ь ... ь х Ьл, Ьл, ... Ьл„ ' Х„ (33) Уг(г) = е)(г л)У (Влг) где у(г) — характеристическая функция случайного вектора Х, а В* — матрица, сопряженная с матрицей В. 5.
Смешанный начальный момент ал,л,„, к порядка )гг+lгг+ ге'" л + ...+Н„п-мерного случайного веклшра Х равен ) 1+»+"'+ л )Ь аг' вг ... вг" 1 я "' л .(о где индекс ноль означает, что после дифференцирования нужно положить 11 =гг =...=1„=0. 4. Многомерное нормальное распределение и его числовые характеристики. Случайный вектор Х с координатамн Х„Х„... ..., Х„называется ра(пределенным по нормальному закону, если его плотность распределения вероятностей имеет вид ((х — т), и '(» — тя ! (а )")' (е ! )0')' где пг»=[пг, ... -ит„) — неслучайный вектор К=[Ку) — матрица положительно определенной квадратичной формы ((х — т), К '(х — т)) — квадратичная форма, выраженная через скалярное произведение векторов (х — т) и К-'(х — т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
