Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 58
Текст из файла (страница 58)
муле Бейеса (40): 1 Г, (ха ( хг) = при )х («)/де — х'„ о е ~,.~ гв:-т 4. Неслучайные функции нескольких случайных аргументов, Рассмотрим функцию нескольких переменных У= р(Х„Х„..., Х„), (41) где Х„Х„..., Մ— случайные величины; ~р-известная неслучайная функция. Пусть функция распределения случайного вектора Х'= = [Ха ... Ха) задана н равна Р(х„хв, ..., х„).
Требуется найти 343 Плотность распределения вероятностей Гг(хг) найдем па формуле полной вероятвости (36): ч Гг (хг) ) Гг (хг ) ха) Ге (хв) функцию распределения случайной величины Г Р (у) )э()' =у). (42) Для решения этой задачи необдоднмо найти вероятность того, что случайный вектор Х примет значение, прннадлежащее п-мерной области, для которой выполнено условие <р(хы х„..., х„)( (у. Решение этой задачи поясним на ряде примеров. Пример 2. Найти функцию распределения суммы двух случайных величин Ри(у), где у=Х +Х, если двумерная плотность распределения вероятностей ((хт ха) случайного вектора [Х,, Ха) задана Найдем вероятность Р(Хт+Ха<у), Все двумерное пространство на плоскости хтоха прямой х,+ха=у делится на две области ха+ха<у и их+ха) ~ у (рис.
200). Вероятность попада- область ния случаинон величины г' в хг+ха<у равна Р(Хг+Ха <у)=Р(г" <у)= ОР и ) (хгха) г(ха бхп (43) или Р() <У) — Р~(у)= ~ в — х, 7 (хп ха) Ихт Уха (44) Нродифференцируем Равенства (43) и (44) по у: Ь (У) = Ру Ы = )г ( (у — х, х ) бх— Г (хг У ~т) пхы (45), Рнс 200 В случае, если Хт и Х,— независимые случайные величины, двумерная плот- вость распределения вероятностей равна ((хм х,)=(г (хг) й (ха). Тогда, учиты- вая, что а — х, у — х, (а(ха) г(хе=Ра(у — хй и ) й(хт) г(хг=Рт(у — 'ха), получаем Р,(у) = ( 7 (х ) Ра (у — х ) Ихы (46) Р,(у)= ) гв(х )Р (у — хв)бхв. — ге (47) Дифференцируя равенства (46) и (47) по у, получаем: гу(у)=РУ вЂ” — ) ( (х )( (у — х )Ихы )г(у)=Ру= ) ( (у — х)7 (хт) Их.
(48) (49) 349 Рис. 20! Рис. 202 Из определения функции распределения вероятностей имеем Р, (У) = Р (У ( У) = Р (Хс/Ха С У). (50) Прямая хг/ха (У Делит плоскость хс()ха на дае области, в одной нз которых х,/ха(у, а н другой хс/ха)у (рис. 20!). Вероятность попадания случайной величины У=Х,/Ха в область х,/хз ~у равна СО О кс/и Р(У(у)=РУ(у)=~ ~/(хг, хз) с(хе с/х + ) ) /(х, х ) пх с(хт, (5!) о к,/а — СΠ— СО Если случайные аеличины Х, и Ха независимы, то ыонсно записать: СО СО о г "/ р.
-)ьеа (!О) . *,с (ь(;)[! ссч.*с *.1,= о — СΠ— СО =) /с (хс) (! — Рз (х,/У)) с(хс+ ) /с (х,) Ра(хп У) с(хс. (52) а — СО Продиффереициронав зто раненство по у, получим СО о /И(У)=Р',=) х /Уе/д (х ) / (х /У) с(х — ) х /Уз/ (х ) /и (х /У) с(х . (53) о СО Выполнив замену переменной по формуле х,/у=х„найдем (У) = ( х / (х У) / (х ) с(х — ( х / (х У) / (х ) с(хз. о СО (54) Пример З„Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины У =Хс/Хе, если задана двумерная плотность ГХ 1 распредепения вероятностей случайного вектора [ [х, [' 1! частности, если случайные величины Х, и Х, независимы в распределены По нормальному закону с плотносгями распределения вероятностей, равными к* 1 /,(х)=/,(х)==. е, то )Г2«т „, «С»' о к«»' ксс о г /(р) — х,е е йха — — ~ х,е е сЬ= з я м я — 2„~ 2п СО о — — е "с(и — ~ е "йй = (55) — 2 !!+р Ц~ ~ / (!+де) — СО С 1+ рв где введена замена переменной и= х', Случайная величина с плотностью распределения вероятностей /(х) = 1 называется случайной величиной, распределен«ой по закону и(! +х«) ~..й'.
Пример 4. По известной сов- Ф местной плотности распределения вероятностей / (х,, х,) слу- г/ чайных величин Х, и Х, найти г плотность распределения вероят- ! ностей случайной величины У = = Х,Х. ! ! ! ! Функция распределения вел роятностей случайной неличины У вычислим согласно равенству (42), интегрируя плотРис. 203 ность распределения вероятностей /(х,, хз) по области О, где выполнено неравенство х хе ~у (рис. 202)с Ру(р)=) ) /(х, х ) йх, йх = и а СО уг«с с(хг )г /(хт, х) с(х«+)г йхс )г /(хс, х) сЬ. — СО У/КС о (56) Дифференцируя зто равенство по у, найдем плотносп распределения вероятностей случайной величины У: о СО /г(У)= — ~ — /(хг, — ) сЬ«+ ~ — / (хс, ---) йх (57) После замены в первом слагаемом последнего равенства х, на — х, получим ! О) 1-(/(* С)С!( — *» — С)( (53) Пусть, в частности, случайные величины Х, и Х имеют равномерное распределение с плотностями распределения вероятностей 1/2 прн (х( ~ 1, /, (х) =/«(х) =— 0 при !х() 1 35! я являются независимыми (рис.
203). В атом случае двумерная плотность 'распределения вероятностей /(хм хе) равна произведению одномерных плотностей Рис. 204 Рис. 205 вероятности, т. е. /(хь ха)=й (хй/а (ха). Функция /а (у/хь) (рис. 204) равна 'Ы=' 0 прн 1хП .с у, хз ! ( 1/2 пРи 1хт|зеУ Учитывая четнссть плотности распределения вероятностей в данном примере, на основании выражения (58) получаем (рис. 205) 0 при у) 1, 1 /„(у)=г ~ /,(х,)/,~~ ) к,= ( и, (59) е хь ( хт) 2 — т= — — 1п ~у! при у(1. ,) 4хт 2 й 62.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (МОМЕНТЫ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 1. Основные определения. Полными характеристиками случайных величин являются их функции распределения или плотности распределения вероятностей. Заметим, что при расчетах па всегда удобно пользоваться зтими характеристиками, так как обычно их точные выражения неизвестны. Кроме того, расчеты с использованием функции распределения (или плотности распределения) вероятностей часто оказываются вйсьма сложными или громоздкими. Однако многие задачи теории вероятностей можно решать, не используя функции распределения (плотности распределения) вероятностеь.
Оказывается, что статистические свойства случайных величин могут быть описаны на основе числовых характеристик распределения этих случайных величин, называемых моментами случайных величин. Одной из наиболее важных числовых характеристик случайной величины является ее среднее значение, называемое также математическим ожиданием. Математическим ожиданием М[Х) случайной величины Х называется число, определяемое интегралом вида тх=М[Х)= ~ хг(х) г(х, где Г(х) — плотность распределения вероятностей случайной величины Х; х — возможные ее значения. Для дискретной случайной величины Х, плотность распределения вероятностей которой есть сумма дельта-функций (см.
$ 60), получим со и л М[Х]= ~ х ~"„р»б(х — х») с(х= ~" х„ры (2) — о!»=! »=! здесь х» — нозможные значения случайной величины; р» — вероятности того, что случайная величина примет значение х». Из равенства (2) следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины Х равно сумме произведений возможных значений, принимаемых случайной величиной, на соответствуюшие им вероятности. Отсюда вытекает вероятностный смысл математического ожидания — оно определяет координату центра группирования значений, принимаемых случайной величиной; следовательно, математическое ожидание является средним значением случайной величины.
Для непрерывной случайной величины каждому ее возможному значению х соответствует элементарная вероятность Г (х) г(х; в пределе при вычислении математического ожидания для непрерывных случайных величин сумма (2) переходит в определенный интеграл (1). Если задана случайная величина У, которая является неслучайной функцией У=<р(Х) случайного дискретного аргумента Х, то У принимает возможные значения у» =- !р (х») с вероятностями р», поэтому математическое ожидание случайной величины 1'=гр(Х) аналогично равенству (2) определяется выражением л » М [<р (Х Ц = ~, <р (х») р».
(3) »=! Если Х вЂ” непрерывная случайная величина, то функция от этой величины )' =ч!(Х) принимает возможные значения !р(х) !!»!2»/р. !!еич»»нова в. к., т. з Ф с вероятностями )(х) с(х. В этом случае сумма (3) после предельного перехода равна соответствующему интегралу, т. е. М [~р (х)] = ~ ~р (х) ) (х) с(х. (4) а,=М[Х']= ~ х'Г(х)с(х. (5) Очевидно, математическое ожидание есть начальный момент пер- вого порядка. Моменты всех порядков являются числовыми харак- теристиками случайной величины. х, Рис.
20б Одно математическое ожидание не может дать полное представление о случайной величине, так как характеризует только ее среднее значение. На рис. 206 крестиками показаны значения, котороеприняли две случайные величины Х, и Х,. Эти случайные величины имеют одинаковые математические ожидания М[Х,] =М[Х,] =т, но разброс значений, которые имеет случайная величина Х~( около своего математического ожидания, больше, чем разброс значении у случайной величины Ху. Для характеристики величины разброса значений случайнон величины около математического ожидания вводится еще одни числовая характеристика случайной величины, равная сумме произведений квадратов отклонений возможных значений случайной величины от математического ожидания на соответствующие этим возможным значениям вероятности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
