Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Р(х+ ٠— Р (х) 1. Р (х ( х ( х+ йх) ь -ь ь -ь Из выражения (10) следует, что плотность распределения вероят- ностей есть предел отногвения вероятности того, что случайная величина примет значение внутри интервала (х, х+Лх) к длине этого интервала. Свойства плотности распределения вероятностей 1(х) 1. Плотность распределения вероятностей является неотрицательной функцией, т. е. )(х) «О. (11) Р (а ( Х ( Ь) = ~ 1(х) йх, (12) т. е. вероятность того, что Рис.
189 случайная величина примет значения внутри полу- интервала (а, Ь), равна площади криволинейной трапеции с основанием (а, Ь) под графиком функции плотности распределения вероятностей (рис. 189). Действительно, согласно выражениям (4) и (9) имеем Р(а=-Х =,Ь)=Г(Ь)-г"(а)= ~ „х йх= ~ )(х)йх. ® 3. Функция распределения случайной величины Х равна определенному интегралу от плотности распределения вероятностеи в пределах ( — со, х), т.
е. Г(х) = ~ ((х) йх. (13) 328 Это свойство справедливо, так как Р (х) есть неубывающая функция. Я 2. Вероятность события, востоки(его в пюм, что случайнол величина Х примет значение, закмоченное в поллинтервале (а, Ь), равна определенному интегралу от плотности распределения вероятностей на атом полуинтервале, В самом деле, имеем 1 1($) й$= 1 ~ "4 А=Г(х) — Г( — )=-Г(х). И 4.
Интеграл от плотности распределения вероятностей, взятый по всей числовой оси, равен единице, т. е. ~ ((х) йх=1. (14) Утверждение справедливо, так как ~ Г(х) йх=Г(со) — Г( — оо) =1. ° Если функпию распределения дискретной или смешанной случайной величины Х представить как сумму непрерывной функции Рис. !90 и ступенчатой функции, то, использовав дельта-функции (см. ~ 37), можно ввести понятие плотности распределения вероятностей для недифференцируемых в обычном смысле функций распределения. Для этого надо представить функцию распределения в виде суммы Г(х)=Г,(х)+Г,(х), где Г,(х) — непрерывная функция, а Г,(х)= = ~', ЛГ,(хл) 1(х — хв) — ступенчатая функция (рис. 190), причем в=! ЬГ,(хл) есть величина скачка функции Г,(х) в точке хы равная вероятности р„того, что случайная величина Х примет значение хм Учитывая, что производная от единичной ступенчатой функции есть дельта-функция, получаем И л !(х)= — '+ ~) ЛГ,(х„)6(х — хв)=гг(х)+ ~~ р„6(х — хл). (15) л=! Ф=! Если случайная величина дискретна, то Г,(х) = О, и ее плот- ность распределения вероятностей " представляет собой сумму дельта-функций л л ! (х)= ~', ЛГ,(хв)6(Х вЂ” хв)= ~', Р,6 (х — хв), (16) А=! А=! 4.
Законы распределения некоторых случайных величин. Рассмотрим функции распределения и плотности распределения вероятностей для некоторых встречающихся на практике случайных величин. 1. Биномиальный закон распределения. Пусть имеем дискретную случайную величину Х, которая равна числу успехов в и испытаниях Бернулли. Как следует из равенства (38) 9 59, вероятность того, что в и испытаниях Бернулли будет (г успехов, равна Р (Х =- й) = С'„'р' 9""~ (О ~ А ~ и).
(17) Функция распределения для случайной величины Х имеет вид ступенчатой линии с разрывами в точках х=(г (А =О, 1, 2, ... ..„ и). Рассматриваемая дискретная случайная величина называется распределенной по биномиальному закону„ Рис. 191 Пример 1. Производится серия иэ трех выстрелов, Вероятность попадания при одном выстреле р=0,4, вероятность промаха д= 1 — р=0,6. Пусть случайная величина Х равна числу попаданий в мишень. Найти плг!тность распределения вероятностей этой случайной величины. Очевидно, что возможные значения случайной величины Х есть ха=О, 31 хг=1, ха=2, ха=3.
Из равенства (17) следует, что Р(Х=(г)= И (3 — 1г)! Х Х0,4ь 0,6з а, поэтому Р(Х=О)=0216„Р(Х=!)=0432, Р(Х=2)=0288, Р(Х=З)=0064, Графики функций распределения и плотности распределения вероятностей показаны на рис. 191, где стрелки на графике плотности распределения вероятностей услонно обозначают дельта-функции. 2. Закон распределения Пуассона. Случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает дискретные значения из ряда чисел О, 1, 2, ... с вероятностями р =Р(Х =(г)=-Ф (18) где а — параметр распределения.
Рассмотрим последовательность нз п испытаний Бернулли. Пусть Х„ †случайн величина, равная числу успехов в этих и испытаниях, р„— вероятность успеха. Покажем, что при большом числе испытаний распределение случайной величины Х„ стремится к закову Пуассона. Для этого рассмотрим вероятность й успехов в и испытаниях Бернулли. Обозначив а=пр„(а= =-сопз1), согласно равенству (17) получим Р(Х й) ~а а(1 )и л и1 аи (1 а'~ -и И(и — й)1 ии ( и) ии ( и)и и(и — 1)(и — 2) ...
(и — й+1) "('- )('- )- ('-'.') = — ."'('--:)' и Ф В этом выражении зафиксируем число й, а величину п устремим к бесконечности, тогда 1пп Р(Х„=й)= и са (, 1 ) (, 2 ) ( а 1 ) Таким образом, при большом числе испытаний биномиальное распределение приближается к распределению Пуассона. 3. Закон равной вероятности. Случайная вели- чина Х называется распределенной по закону равной вероятности, если ее плотность распределения вероятностей есть 7(х) = — при а(х~Ь, 1 (19) О при х~а и х- Ь. Функция распределения случайной величины в этом случае равна О при х<а, Ь Ь' при а(Х~Ь, Ь вЂ” 'и 1 при х) Ь.
с (х) = ~ 7" (х) йх = (20) (к — ги]~ ) (х) = е (21) Графики функций 7(х) и с (х) для равномерно распределенной случайной величины приведены на рис. 192. 4. Нормальное распределение (распределение Гаусса). Случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид Из равенства (21) следует, что плотность распределения вероятностей для нормально распределенной случайной величины определяется двумя параметрами т и о.
Вероятностный смысл Рис. 192 этих параметров выясним ниже. Функция распределения нормально распределенной случайной величины имеет вид и ~пи )с(х)= ~ е ~ с$. (22) Графики функций )(х) и Р(х) для )юрмального распределения приведены на рис. 193. Как видно из этого рисунка, кривая плотности распределения вероятностей для случайной величины, распределенной по нормальному закону, симметрична относительно значения х= т, называемого центрам распределения. При Рис. 193 больших значениях о кривая Г(х) более пологая. Таким образом, параметр и определяет центр, около которого группируются возможные значения х, принимаемые случайной величиной Х, а параметр о является мерой величины рассеяния значений случайной величины около значения пь Часто ставится задача †определи вероятность того, что нормально распределенная случайная -величина примет значение на полуинтервале [а, Ь).
Из формулы (12) имеем: и и и — т)* Р(а -Х<Ь)= ~ 1(х)бх= ~е ~" с(х, а и'йи ) в й Введем новую переменную интегрирования и = , тогда о О ~р Р(а =.Х(Ь)== ~ е г йи. г'2и о (23) Ф(г)== ~ е ' йи, 1 о (24) для которой составлены подробные таблицы. Функция Ф(г) называется функцией Лапласа. Функция Лапласа Ф(г) является нечетной; действительно, Ф( — г)=.—. ! е йи. ! 'г' 2и Заменив переменную интегрирования и= — о, получим я м 1 Ф( — г) = — 1 е до= — Ф(г).
С учетом введенных обозначений равенство (23) можно переписать в виде а — т О и' 1 аи — ~ е гйи о = ~ — '.)- 1 — ".) Р (а ( Х ( Ь) = —. г' 2и (25) Если полуинтервал [а, Ь) симметричен относительно центра груп- пирования возможных значений случайной величины Х, т. е. а=т — с, Ь=т+с, то 1 о и* о о* Р(т — с(Х(т+с) == е г ди — е г ди 'г' 2и () 1) ФоФ~2Фс Из полученного равенства следует: Р((Х вЂ” гл~(с) =2Ф( — ). (26) ззз Этот интеграл не выражается через злеме1парные функция, для его вычисления введем новую функцию Формулы (24) и (26) позволяют вычислять вероятность нахождения значения нормально распределенной случайной величины в любом заранее заданном отрезке числовой оси с помощью таблицы значений функции Ф(г).
Рассмотрим ряд значений из таблицы функции Лапласа (табл. 5). Из этой таблицы и выражения (26) следует, что вероятности того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, примет значение, отличающееся от среднего на о, 2сг, Зо, 4о., соответственно равны 0,6826; 0,9544; 0,9973; 0,999936. Таким образом с достоверностью Таблица 5 99,739', можно утверждать, что такая случайная величина принимает зна- О 09 е О ! ! ЧЕиня, ОтЛИЧаЮщИЕСя От СРЕДНЕГО Зиа- чения ие более чем на Зо.
Это обстоя- 1 Од4!3 3 0,49865 тельство называют правилом За и 2 0,4772 4 0,499968 обычно часто используют на практике. Иногда за меру отклонения слу- чайной величины Х от среднего значения принимают такое число Е, что вероятность этого отклонения равна половине, т. е. )о(~ Х вЂ” и!( ( Е) =2Ф! †)= ---. /Е'1 ! '!о) 2' Обра!цаясь к таблице функций Лапласа, получаем Е = 0,67450. Величину Е называют срединным отклонением. Пример 2. Найти вероятность того, что емкость конденсатора будет находиться в пределах (0,2 -в 0,02) мнФ, если случайная величина — значение емкости распределена по нормальному закону с центром распределения т=0,2 икф» а о=о,о! мкФ.
Из равенства (25), воспользовавшись таблицей значений функции Лапласа, имеем Р()Х вЂ” 0,2) (0,02) =2Ф ( — ')=2Ф(2)=0,9544 / 0,02 ! (,о,о!) Случайные величины, распределенные по нормальному закону, часто встречаются в практических задачах. По нормальному закону распределены те случайные величины, значения которых определяются многими независимыми причинами, причем каждая из этих причин влияет на случайную величину незначительно. Например, по нормальному закону распределены значения параметров элементов электронных схем, размеры деталей, значения отклонений снарядов от цели и т. д.
5. Экспоненциальное распределение. Случайная величина Х называется распределенной по экспонент)паленому закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид 7(х)= 0 при х< 0, Ле ' при х)0. (27) Функция распределения в этом случае будет Экспонеициальное распределение встречается в теории надежности. Например, по этому зехону. распределена такая случайная величина, как время работы прибора до первого отхаза 5.
Функции случаиных величин. В ряде задач рассматривают случайные величины, связанные некоторой неслучайной зависимостью, например сигнал на выходе автоматической системы— как функцию от случайного значения какого-либо параметра этой системы, Рассмотрим способы определения статистических характеристик случайной величины У как функции случайного аргу- мента Х, если статнстическйе характеристики аргумента Х заданы. Пусть две случайн ые величины Х и У связаны ыеищу собой функциональной зависимостью У = !р (Х) (29) и задана функция распределения вероятностей Р,(х) случайной величины Х.
Согласно определению функции распределения Рис. 194 Р, (х) = Р (Х ( х). (30) Пусть функциональная зависимость 1'=- ч! (Х) задана графиком, показанным на рис. 194. Тогда вероятность Р(У(у) равна вероятности того, что случайная величинз Х примет значения на непересекающихся интервалах, для которых справедливо веравенство ер(Х)(у, поэтому согласно равенству (4) и принципу сложения вероятностей имеем Р,(у)=Р(У=!р(Х)<у)= ), '(Р,(хвеы — О) — Р,(хм)], (31) а=! где ха — границы интервалов оси Ох, на которых выполнено условие <р(Х)(у; Ре(у) — функция распределения случайной величины У. Если существует плотность распределения вероятностей )!(х) случайной величины Х, то согласно равенству (12) Р,(у)=РЯ(Х)(у)= ) ~!(х)е(х, (32) юм](а где интеграл берется по всем интервалам оси х, для которых выполняется неравенс4во !р(Х) (у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
