Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 51
Текст из файла (страница 51)
е. если А с: В, а В ~ А), то события А и В называются эквивалентными. В этом случае пишут А =В. Обьединениел! (или суммой) двух событий А и В называется такое событие С, которое состоит в осуществлении события А, или события В, илн событий А и В вместе. Операцию объединения условно записывают так: С вЂ” А+В или С=А ЦВ. Событие С, эквивалентное объединению п событий А„А„..., А„, будем записывать в виде л Л С=~,А!или С= 0 А,. 1-! !=1 Пересечением (или произведением) двух событий А и В называется событие С, которое состоит в осуществлении и события А, 308 и события В.
Операция пересечения событий условно записывается в виде С=АВ или С=А ПВ. Событие С, эквивалентное пересечению и событий А„А„..., А„, записывается в виде и С=ЦАь или С= П Аь Е=! 8=! г Событие А, которое заключается в том, что событие А не произойдет, называется событием, прел!ивоположным событию А. Введенное выше достоверное событие будем обозначать 1/, а невозможное событие условимся обозначать г', тогда, если события А и В несовместимы, можно записать АВ= Р. Для противоположных событий А и А справедливы соотношения АА=1l,А+А=С.
Пусть комплекс условий о состоит в том, что из квадрата наудачу выбирается точка (рис. 180), не принадлежащая изображенным на этом квадрате окружностям. Пусть событие А заключается в том, что точка выбрана из одного круга, а событие В— точка выбрана из другого круга. Тогда попадание точки в заштрихованные области соответствует событиям 'А, В, А, В, А+В, АВ, С, и, А:В, В А. яв Я+6 [% ясд дся Рис. !Ю Введенные операции над событиями подчинены простым правилам, которые напоминают правила сложения и умножения обычной алгебры чисел, однако следует отметить, что в ряде случаев эти операции существенно отличаются друг от друга.
Приведем правила выполнения операций над событиями: 1 Все зти правила непосредственно вытекагот из определений объединения, пересечения событий, достоверного, невозможного и противоположною событий. В качестве примеров покажем справедливость некоторых из приведенных правил. Пример 1. Доказать, что справедливо соотношение А+(ВС) =(А -1-В)(А -(-С), Действительно, если элементарное событие ы гп А+ ВС, то или гэ гп А, но в этом случае ы ш (А+В) (А+С); илн ы гп ВС, а это значит также, что ы гп гп(А+В)(А+С). В силу произвольности выбора ы имеем А+(ВС) г — (А+В)и к(А+С).
С другой стороны, пусть со ги (А+ В) (А -1-С), тогда элементарное событие ю принадлежит событиям А+В и А+С, а отсюда следует. что ы входит или в событие А, или в события В и С вместе. Отсюда получим, что (А -(-В) (А -1-С)~ <= А+ ВС. Из- определения эквивалентности событий имеем А + ВС = = (А+В) (А+С). Справедливость соотношения А+(ВС)=(А+В)(А+С) можно пояснить также с помощью диаграмм, аналогичных диаграммам, приведенным ва рис. 180.
На рис. 1В1, а множество точен, соответствующих собьггию А, обозначено штриховкой в одаом направлении, а множество точек, соответствующих событию ВС, обозначено штриховкои в другом направлении. Тогда из определения (Ага)(Л.С) б) Рпс. 181 А (вс) л) обзедкггения событию стедует, что множеству точек, соответствующих событию А+(ВС), соответствует множество точек, обозначенных штриховкой или в одном аахранленпп, нлн в другом направлении. Это мно)кество обведено жирной линией.
На рис. 131, б множество точек, соответствующих событию А+В, обозаачезо штриховкой в одноьт навравлении, а событию 9+С вЂ” штрнховной в друюп направлении. Из опреденення пересечения событий следует, зто событию З!0 1. А+А =А. 2. АА =А. 3. А+В=В+А. 4. АВ=ВА. 5. А+(В+С)=(А+В)+С. 6. А (ВС) = (АВ) С. 7. А (В-1-С).=АВ+АС 8. А -1-(ВС) =(А+В) (А+С). 9. А+У=К 1О. А + )' = А. 11. А(/=А. 12.
А)г= )г. 13. А =А. 14. А + В = АВ. 15. АВ=А+В. 18. и=)г. 17. А+А=(l. 18. АА = ~'. (А+В) (А+С) соответствует множество точек, где есть штриховка к в саком, а в другом 1направлении. Зго множество обведено жирвой линией. Из сранвюння рис. !81, о, б следует, что события А+(ВС) и (А -1-В) (А+С] эдсниналеаткьд Пример 2. Доказать, что справедливо соотношение А+В= АВ. Действительно, если произойдет или событие Л„или событие и, то ке могут произойти вместе события А и В, т. е.
А+В д=. АВ. С другой стороны, если не произойдут вместе события А и В, то нли пе произойдет событие А, или не произойдет собьпие В, поэтому АВ ш А+В. Следовательно. А+В =АВ. Пример 3. Упростить выражение (АВ)+(АВ)+(АВ). На основании правил действий над событиями 7, 1У, 11, 8 получим (АВ)+(АВ)+(ЛВ)=А (В+В)+(ЛВ)=А(!+ АВ=А+ЛВ= = (А + Л) (А + В) = (! (А -1- В) = А + В. Пример 4.
Рабочий производит за смену и деталей. Пусь событие А! озна- л л чает, что 1 — деталь бракованная. Описать события И Ад, з,' Ад, д=! д==! л Согласно определению пересечения событий имеевд, что И А! — событие. г='! заключающееся в том, что среди выпущенных деталей вге бракованные, а согласно определени!о обьединения л кг события ~", А! событие, заклю- !.= ! 3, Э чающееся в том, что среди выпушенных деталей хотя бы одна бра- с « з кованная. Пример б. На рис.
182 показана электрическая цепь. Обозначим через А,, Ад, Аз события, заклю- Ри . 182 чадощиесв в том, что произошел обрыв в цепи сопротивлений Ид, Я или Вз соответственно. Выразить через события А„Аз н Аз событис В, заключающееся в том„что за время работы Т в цепи между точками С и Р произойдет обрыв. Цепь будет нарушена, если выйдут иа строя или сопротивление Вд, или сопротивления Вз и )ддз вместе, поэтому событие В эквивалентно объединению события Ад с пересечением событий АзАз, т. е. В=Ад+АзАз. 3.
Вероятность события. Для практических целей недостаточно знать только то, что исследуемое событие случайно. Так, например, выпуск бракованной детали является случайным событием, но нам совершенно не безразлично, будет ли среди выпущенных деталей 10% или 0,1% бракованных. Введем некоторую количественную меру объективной возможности осуществления случайного события. Целесообразно зту меру ввести на основе интуитивных представлений человека о характере случайных событий.
Пусть производится и одинаковых опытов и пусть в т случаях при этом произошло событие А. Вычислим отношение числа исходов опыта т, при которых произошло событие Л, к числу всех опь1тов и. Это отношение называется статистической веро««!нос«да«в (или частотой) события Л и обозначается Рв (А). Таким образом, Р" (Л) = --.
в' 311 В каждой отдельной серии из я опытов статистическая вероятность события может принимать различные значения, однако многочисленные экспериментальные данные показывают, что при достаточно большом числе опытов значения статистической вероятности, определенные в результате выполнения каждой серии опытов, группируются около некоторой средней величины. Таким образом, при большом числе опытов частота события может служить количественной мерой возможности его осуществления. Предположим теперь, что в результате я опытов событие А произошло й раз, событие  — т раз, а событие А совместно с событием В (событие АВ) — г раз. Пусть требуется вычислить статистическую вероятность события А при условии, что произошло событие В. Эта статистическая вероятность называется условнои статистической вероятностью события А при наличии события В и обозначается Рч (А (В).
Из определения статистической вероятности следует, что условная статистическая вероятность события А при наличии события В равна отношению числа г опытов, при которых произошло событие АВ, к числу т опытов, при которых произошло событие В, т. е. Р* (А ~ В) =- -- .
(2) Свойства статистической вероятности 1. Статистическая вероятность есть неотрицательное число, т. е. Рч (А) ~ О. (3) Действительно, так как число исходов опыта т, при которых происходит событие А, неотрицательно, а число всех опытов и положительно, то Рч (А) = т/н.~ О. И 2. Статистическая вероятность достоверноео события равна единице, т. е. Р*(и)=1. Так как событие У достоверно, то оно происходит при каждом опыте, поэтому число исходов опыта, при которых произошло событие У, равно числу всех опытов, т.
е. т=я, откуда следует, что Р*(У) =- — =1. И ' Л. Если события А и В несовместны, то статистическая вероятность события А+В равна сулле статистических вероятностей событий А и В, т. е. ч Р* (А + В) = Рч (А ) + Р' (В). (5) 312 В самом деле, пусть производится л опытов, причем в (е апы. тах произошло событие А и в т опытах событие В. Так как события А и В несовместные,.
то если произошло событие А, то не произошло событие В, и, наоборот, если произошло кобы. тие В, то не произошло событие А. Поэтому общее число исходов опыта, при которых произошло или событие А, илн событие В, равно й+ и. Из определения статистической вероятности (1) следует, что Р* (А+В) =~~ = — + — = Р*(А)+Р' (В). ° Свойства 1, 2 и 3 распространяются и на условную статистическую вероятность Р* (А ( В). Условную статистическую вероятность события А относительно события В можно вычислить ках частное от деления статистической вероятности появления события А совместно с событием В на статистическую вероятность события В, т. е. Р* (А ! В) =,.(( (6) Действительно, из равенств (2) и (1) следует, что Ф г «/л Р" (АВ) и т/е Р*(В) ' Статистическую вероятность события можно вычислить только после производства опыта, однако в ряде случаев производить эксперимент для определения вероятности или невозможно, или нецелесообразно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
