Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 53
Текст из файла (страница 53)
е. Р(А)(Р(В), если А с:В. (16) Так как нз условия Л с:В следует, что В=А+(АВ), где А (АВ)= У, то согласно аксиоме (11) получим, что Р(В) = Р(Л)+Р(ЛВ), но из аксиомы (9) имеем Р(АВ))0, откуда Р(А) = Р(В). И 4. Вероягпность есть число, заключенное между нулем и единиией, т. е. 0 == Р (А) == 1. (17) Действительно, нз соотношения А с:17 и свойства (9) следует, что 0 =Р(А) и Р(А)(РЩ=!, следовательно, 0(Р(А) (1. Я 5, Если А и  — два произвольные события, которые, вооби(е говоря, могут и пересекаться, то справедливо соотношение Р(Л+В) = Р(А)+ Р(В) — Р(АВ). (18) Действительно, представим объединение событий А н В в виде А+В=А+АВ, где А(АВ)=У, т.
е. события А и АВ несовместны. С другой стороны, можно записать В=(АВ)+(АВ), где (ЛВ) (АВ) = У. Используя аксиому (!1), имеем Р(А+В)= Р(А)+Р(АВ) (19) Р(В) = Р (А В)+ Р (АВ). (20) Окончательно из равенств (19) и (20) получаем Р(А+В) = Р(А)+Р(В) — Р(ЛВ). И 5. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Прн исследовании свойств статистической вероят- з!т ности, а также в спучае вычисления вероятности для схемы равповозможных случаев было введено понят'ие условной вероятностн события А прн условии, что произошло событне В.
Понятие условной вероятности обобщается на любые системы случайных событий. Условной аерояпгностью события Л прн наличии события В по аналогии с равенствами (5) н (10) называется вероятность, задаваемая формулой Р(А (В) (21) причем предполагается, что Р(В) чь0. Очевидно, что условная вероятность события В относительно события А равна Р(В(А)= (22) Преобразуя равенства (21) н (22), получаем Р(АВ) = Р(А) Р(В ! А) = Р(В) Р(А ) В).
(23) Выражение (23) называется иринципоаг улгноженця вероятносптей. Согласно этому принципу, вероятность пересечения событий А н В равна 'произведению вероятности одного нз этих событий на условную вероятность другого события прн предположеннн, что первое событие произошло. По нндукцнн принцип умножения вероятностей можно распространить на вероятность пересечения событий Л,А,... А„: Р(АЛ,...А„) = Р(Аг) Р(А,) Ад) Р(Аз) АтАз) ... ...
Р (А„~ А,А,... А„,). (24) Пример 9. На рис. 188 показана электрическая цепь, ток в которой может прерываться при ~Рыходе из строя и элемента а, и элемента Ь. Пусть событие А — выход из строя элемента а, а  — выход из строя элемента Ь. Известно, что вероятности событий А и В равны: Р(А) =0,01; Р(В) =0,02. При выходе из строя элемента а условия работы элемента Ь более тяжелые и поэтому Р(В А) =0,1. Найти вероятность Р(А ! В) выхода из строя элемента а при условии, что элсиент Ь неисправен.
Из принципа умножения вероитносгей имееи Р(АВ)=Р(А) Р(В ) А), т. е. Р(АВ)=00! -01=0001, Из равенства (21) следует, что условпаи вероятность события А ) В будет Р(А ! В)=Р(АВ)(Р(В)=000! !0,02= — 0,05. Используя понятие условной вероятности, можно получить ряд формул, полезных для вычисления вероятности событий. Пусть все пространство элементарных событий можно представить в виде объединения п попарно несовместных событий Н,, и л Н„..., Н„(рнс. 184), т.
е, ь)= ~ч; Нь причем НгН1='к' прн г=! (Фу. Рассмотрим событие А, принадлежащее пространству эле- 818 ментарных событий. Учитывая правила сложения событий, можно записать: А =АН,+ АН,+...+АН„. (25) Так как события Н>, Н„..., Н„попарно несовместны, зо и события АН, и АН7 при с ~ )!также несовместны, поэтому, пользуясь аксиомой (11), получим Р(А)=Р(АН~+ Р(АНа)+ ...+Р(АН„)= )', Р(АН). (25) с=! Согласно принципу умножения вероятностей (23), имеем Р(А Н ) = = Р(Н() Р(А ! Нс), поэтому равенство (2б) можно переписать в виде Р(А)= ~ Р(Н() Р(А(Н,).
(27) Равенство (26) называется формулой ссолмой вероятности. ( Рис. 184 Рнс. !83 Пример 1О. Имеесся 10 одинаковых урн, из них три урны с номером один, в которых находится 7 белых и 3 красных шара, одна урна с номером два с 1 белым и 9 красными шарами и шесть урн с номерам три с 9 белыми и 1 красным шарами. Из произвольной урны наудачу вытаскивается один шар, определить веронтность того, что он белый. Обозначим через Нс событие, заключающееся в там, что наудачу выбран шар из урны с номером с ((=1, 2, 3), А — событие, заключасощееся в появлении белого шара. Из условия задачи следует, что вероятности того, что выбрана урна с номером 1, 2 и 3, соответственно равны: Р(НИ=03; Р(Не)=0,1; Р(На)=о,б, причем события Нс, На, На попарао несовместны и составляют полную группу собьпий.
Условные вероятности появления белого шара из урн с соответствующими номерами равны: Р(А(Н!) 0,7; Р(А(На) 0,11 Р(А(На) 09 По формуле полной вероятности получим з Р (А) = ~ Р (Нс) Р (А ( Нс) = 0,70. с .1 319 Рассмотрим аналогичную задачу, ио теперь будем предполагать, что в результате опыта осуществляется событие А, которое может произойти вместе с одним из попарно непересекающихся событий Ны Н„..., Н„, составляющих полную группу событий (обычно такие события называют гипотезами, см. рис.
184). Пусть известны вероятности событий Н, до выполнения опыта (априорные вероятности гипотез НД и условные вероятности события А относительно событий Н, (1=1, 2, ..., и). Необходимо вычислить вероятность того, что осуществилось событие Но если в результате опыта произошло событие А, т. е. найти апостериорнук) вероятность гипотезы Нр в результате осуществления события А. Для решения этой задачи воспользуемся принципам умножения вероятностей. Из равенства (23) имеем г Р(АН ) = Р (Нр) Р (А ! Н ) = Р(А) Р1Нр ~ А), (28) откуда (29) Р(Н ~ А) = Р (Н ) Р (А ~ Нй Р (А) Окончательно из' равенств (29) и (27) находим: р(Н ~ А) Р(нр) Р(А (Нг) ~ Р(Н/) Р(А1Н/) ~ -! (30) Полученное выражение носит название (йормулы Бейвса. а условные вероятности будут: Р(А ( Нр)=0.
Р(А ) Нг)=1/5 Р(А ( Нр)=2/5. Р(А )Нр)=З/5 Р (А ! Нр) = 4г5, Р (А ~ Нр) = 1. По формуле Бейеса инеем Р(НПА)=— Р (Нр) Р (А ~ НД Подставлнн Р (Н/) Р (А ! Н/) /=о в выражение формулы Бейвсв значения соответствующих вероятностей, получим: Р(Нр(А) Ю, Р(НПА)=1/15, Р(нр(А)=2/15, Р (Нз ( А) = 3/15, Р (Нр ! А) = 4/15.
Р (Нр ! А) = 5/15. Таким образом, наиболас вероятно, что в партии вса пять деталей бра вязанные. Пример 12. Система обнаружения самолета противника из-за наличии хомех можят давать ложные показания о налични цели с вероятностью 0,05, Пример 11. Из партии в пять деталей наудачу взята одна деталь, оказавшаяся бракованной. Количество бракованных деталей в партии равновозможно от О до 5. Какова вероятность, что в партии О, 1, 2, 3, 4 или все 5 деталей бракованные? Может быть выдвинуто 6 гипотез о количестве бракованных деталей: Нр, Н„Н„Нз, Н„Нр, где Нг — событис, состоящее в том, что в партии р бракованных деталей.
Пусть А — событие, заключающееся в появлении бракованнои детали. Тогда вероятность гипотез равна Р[Н)=Р(н)=Р(ня)=Р(нр)=Р(Нр)=Р(НД=1/6. а при наличии цели система обнаружяаает се с вероятностью 0.9 Веронгкгсть появления самолета противника и зоне работы сгсгеиы тяяа» С,и», Поступил сигнал 'о наличии цели. Определить вероятность ложной треноги Обозначим через Н, гипотезу о дейстаигельнои наличии проткзнина, Нз — гипотезу сб отсутствии противника, А — событие, заялючнюжееся а получении сигнала о наличии целя. По услонню задачи ямеегт Р (Нг)=0,25; Р (Ня) = О 75; Р (А ( Нг) = О 90; Р (А ) Нт) = 005 По ферм»ле Бейеса ям числим вероятность ложной тревоги: Р (Нй Р (А ~ Ня) 0,75 ° 0.05 1 Р(Н») Р(А ( Нг)+Р(Ня) Р (А ( Н») 025 ° 09+075-005 7 ' б.
Зависимые и независимые события. Рассмотрим дза события А и В, причем Р(А)~0, Р(В)РО, Событие А не зависит от события В, если Р (А ! В) = Р(А). ' (31) Пусть событие А не зависит от В, тогда из равенств (31) и (21) получим Поэтому, если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. События А и В называются независимыми, если Р(А ( В) = Р(А) или Р(В~А)= Р(В). В противном случае события А и В называются зависимыми. Для независимых событий, как это следует из равенств (31) и (32), принцип умножения верояпюстей принимает вид Р(АВ) = Р(А) Р(В).
(ЗЗ) Пример 13. События А и  — противоположные, причем Р (А) ~ 0 и Р (В)ФО. Определить, яалжогся ли зти события занисимымй. Так как события А и В противоположные, то их пересечение есть аеаозможное событие У, поэтому Р(АВ)=Р(У)=0. Тогда условная вероятность Р(А | В)= =О. Поэтому из ранено»иа Р(А) Ф Р(А (В)=0 следует Р(АВ) = Р(В) зааисимость противоположных событий. Обобщим понятие независимости событий на случай нескольких событий. События Аы А„..., А„называются независимыми в совокипноспти, если для любой их комбинации Аг, Агм ..., Ага (и ~ и) выполнено соотношение Р(П А,,)=П Р~А,,) (34) 11 и/р. Чемояангаа Б. К„т, я Покажем на примере, что для независимости событий в совокупности недостаточно, чтобы каждые два события были незанисимы. Пусть, например, имеются четыре детали, иа одной из них имеется забоина (событие А), на другой побита окраска (событие В), на третьей не выдержаны размеры (событие С), а четвертая имеет все три деч;акта одновременно (событие А ВС).
Наудачу выбирается одна из деталей, требуется определить, зависимы ли события АВ и С в совокупности. Учитывая условия задачи, получим, что соответсгвующие вероятности равны: Р (А) = Р (В) = Р (С) = 1/2, Р (А ВС) = 1/4, Р (А ! В) = Р (А ~ С) = Р (В ~ С) = Р (В ~ А) = Р (С ~ А) = Р (С! В) = 1/2. Так как Р(А ~В)=Р(А), Р(А)С)= Р(А), Р(В~С)=Р(В), то события А, В и С попарно независимы, но события АВ и С не являются независимыми в совокупности, потому что для них Р(АВС)=1/4Ф Р(А) Р(В) Р(С)=1/8, т. е. не выполнено условие (34). 7. Последовательность независимых испытаний.
Рассмотрим применение принципов умножения и сложения вероятностей для весьма важного случая. Пусть производится серия из повторных независимых испытаний (опытов), причем в каждом из этих испытаний возможны только два исхода и вероятности этих исходов остаются неизменными для всех испытаний. Такие повторные испытания называются испытаниями Бернулли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
