Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Исходы опыта в испытаниях Бернулли принято называть «успехом» (ы ) и «неудачей» («»„). Пространство элементарных событий для каждого отдельного опыта состоит из двух точек «з„ и в„, а для л независимых испытаний пространство элементарных событий состоит из 2" точек, каждая из которых представляет некоторую последовательность из элементарных событий в„ и ь»„ (так как после каждого опыта число возможных исходов в серии из /« опытов удваивается по сравнению с предыдущей серией из /« — 1 опытов). Вероятности «успеха» и «неудачи» принято обозначать соответственно р и д.
Так как события ь» и ы„составляют полную группу, то (35) Примерами испытаний Бернулли могут быть последовательные бросания »~спеты с вероятностями событий «»„ †выпаден герба 1 и «»„— выпадение цифры р= 4= —; производство серии выстрелов по ми»пени в одинаковых условиях опыта с вероятностью попадания р и промаха д и т. д. Вычислим вероятность события, заключающегося в том, что при и испытаниях Бернулли точно й раз осуществится событие ыг, (и — /«) раз событие ы„, если известны вероятности этих событий при производстве одного испытания Р(вт)=р и Р(Ы)=д. (36) Так как испытания Бернулли предполагаются независимыми в совокупности, то согласно принципу умножения вероятностей М2 для независимых событий вероятность собьпия А, состоящего в том, по осуществится комбинация изй успехов и(л — й) неудач в и испытаниям, равна Р(А) =(Р(соуЯ(Р(ю„ф "= раап а.
(3?) Число комбинаций результатов, полученных в и опытах, в которых событие ю происходит й раз, равно числу сочетаний из рз элементов по л. Очевидно, что каждая комбинация является несовместной с любой другой, поэтому согласно принципу сложения вероятностей несовместных Событий, вероятность й успехов при п опытах Рел равна Р Са а л — з и! а(1 )п — а (38) Пример 14.
Производится четыре выстрела по миюенв, причем известно, что вероятность попадания при одном выстреле о= 0,3. Определить вероятность того, что в результате стрельбы будет два попадания. Вероятность промаха при одном выстреле равна д= ! †в,т. Отсюда, согласно равенству (38), имеем 4! 2!2! ! й 60. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1. Определения. Величина, которая в каждом отдельном случае в зависимости от результатов опыта может принять то или иное числовое значение, называется случайной величиной.
Например, случайными величинами являются число попаданий в мишень при и выстрелах, размеры детали, обработанной на токарном станке, ошибка системы автоматического регулирования, число отказов прибора за определенное время работы и т. д. Конкретное значение, которое может принять случайная величина, называется возможным ее значением. Как видно из приведенных примеров, значение, принятое случайной величиной, зависит от исхода опыта, который мы назвали элементарным событием ез. Поэтому случайную величину можно определить как функцию, заданную на пространстве элементарных событий 14.
Случайные величины обозначают большими буквами латинского алфавита Х, г', Я, ..., а возможные их значения — соответствующими малыми буквами к, у, г, .... Случайная величина зависит от элементарного события ьь Этот факт обозначается следующим образом: Х =Х(оз). В дальнейшем для краткости записи аргумент случайной величины со будем опускать. Случайная величина, множество возможных значений которой конечно или счетно, называется дискретной случайной величиной. Чтобы задать случайную величину, необходимо указать все возможные ее значения и поставить им в соответствие вероятности, с которыми случайная величина принимает этн значения. Если случайная величина Х дискрегна, то ее можно задать таблицей, в одной строке которой записаны возможные значения кз, при- 11" 323 нимаемые случайной величиной Х, а в другой — соответствующие им вероятности рл.' Таблица 4 Эта таблица называется распределением вероятностей случайной величины Х.
Так как объединение всех возможных событий вм заключающихся в том, что случайная величина Х примет значения, равные хв(я= 1, 2, ... и), есть событие достоверное, то имеем к Х рв = РЯ) =1 (1) Иногда распределение случайной величины Х изображают в виде графика, по Р4 рз (2) где переменное х принимает все значения на числовой оси. Свойствафункции распределения вероятностей 1. Функция распределения принимает значения, заключенные между нулец и единицей, т. е. 0(Р(х) (1. (3) Справедливость этого свойства следует из равенства (17) 2 59, так как функция Р(х) является вероятностью, Я .е 324 хе зз х оси абсцисс которого откладывают незможные значенияя хы а по оси ординат— вероятности рл (рис.
185). 2. Функция распределения вероятностей. Если дискретную случайную величину можно задать ее распределением, записанным в виде таблицы, то для случайной величины, принимающей несчетное количество значений, задать распределение таким образом невозможно; поэтому вводится новая характеристика случайной величины, называемая функцией распределения вероятностей.
Функцией распределения вероятностей, или просто функцией распределения, случайной величины Х называется функция Р(х), равная вероятности события, состоящего в том, что эта случайная величина примет значение, меньшее, чем х, т. е. Р(х) = Р(Х (х), 2. Вероятность того, что случайная величина примет значение на полуинтервале [а, Ь) (где а Ь), равна раз ости значений функции распределения на концах зпюго полуинтервала, т. е. Р(а (Х <Ь) =Р(Ь) — Р(а).
(4) В самом деле, рассмотрим случайное событие А=(Х<Ь), заключающееся в том, что случайная величина Х примет значение меньше, чем Ь. Очевидно, что это событие представимо как объединение двух непересекающихся событий Х <а и а~Х<Ь, или (Х -Ь)=(Х <а)+(а~Х <Ь). Тогда, иа основании принципа сложения вероятностей, имеем Р(Х <Ь)=Р(Х <а)+Р(а~Х <Ь), откуда, учитывая выражение (2), получаем равенство (4). йг) 3. Если случайная величина Х принимает возможное значение хь с вероятностью рм то ее функция распределения Р(х) имеет при х=хь разрыв непрерывности первого рода, причем елочке разрыва непрерывности функция Р (х) непрерывна слева. График функции Р(х) имеет при х=хь скачок, равный рь. Действительно, если значение функции распределения Р(х) в точке хь равно вероятности Р(Х<х„), то значение функции Р(хь+О) будет Р (Х < хь+ О) = Р(Х < хь) + Р(Х = хь) = = Р (Х < хь) + рь = Р (хь) + рь.
Следовательно, значение функции распределения в точке разрыва непрерывности хь равно ее значению слева от этой точки, а справа от этой точки функция распределения изменяется скачком, т. е. она является функцией, непрерывной слева. йй 4. Функция распределения является неубываккцей функцией т. е. Р(х,)~Р(х,), если х,~хь (о) Действительно, из свойства 2 следует, что Р(х,) =Р(хс)+ Р(хт=- Х <х,); но так как вероятность есть неотрицательная величина, то Р(х,))Р(х,).
Я 5. Функция распределения Р(х) стремится к нулю при неограниченном уменьшении х и стремшпся к единице при неограниченном возрастании х, т. е. 1пп Р(х)=0, (6) 1ппР(х)=1. (Т) к со к сс В самом деле„при х-ь — со случайное событие Х < — оо становится невозможным, так как случайная величина не может принять значений меньше, чем — оо, поэтому Р ( — со) = Р (Х < — оо) = Р Я) = О. С другой стороны, случайное событие Х(+со является достоверным, позтому Г(+ со)=Р(Х(+со) = Р(0) =1.
ф Рассмотрим, какие особенности имеют функции распределения дискретных случайных величин. Пусть Х вЂ” дискретная случайная величина, принимающая возможные значения х„х„..., х„с вероятностями р„р,, ..., р„. Функция распределения вероятностей этой случайной величины Х равна е Г(х)=Р(Х .х) = ), 'ры (8) где производится суммирование вероятностей всех возможных значений случайной величины Х, меньших, чем х. Рис. !86 Из равенства (8) следует, что при изменении х внутри полу- интервала (хе, хе+,) между соседними возможными значениями дискретной случайной величины Х значение функции распределения Р(х) втой случайной величины не изменяется, а в точках хе(8=1, 2, ..., и) функция распределения, согласно свойству 3, имеет разрыв непрерывности первого рода, причем величина скачка в точке разрыва равна вероятности ры с которой случайная величина Х принимает значение хе (рнс. 186). Если функция распределения вероятностей Р(х) случайной величины Х есть непрерывная функция (рис.
187), то случайную величину Х называют непрерывной. Найдем вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет заданное значение а. Из свойства 2 функции распределения, учитывая, что для непрерывной случайной величины функция Р(х) непрерывна, следует, что Р (Х = а) = 1пп (сс ( Х ( се + е) = 11 ш [Р (а + а) — Р (а)1 = О. е О е О е Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина примет заданное значение, равна нулю.
Мы видим, что нулю может быть равна не только вероятность невозможного события. Из того, что вероятность события Х=и равна нулю, не следует, что это событие невозможно, а только то, что при неограниченном увеличении числа опытов это событие будет ,появляться сколь угодно редко. Существуют случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый интервал, но функция распределения этих случайных величин не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрывы (рис. 188). Г(х) Случайные величины с такими функциями распределения называются слэиюнныии.
Смешанная случайная величина принимает значения с вероятностью ноль э и в точках, где ее функция распределения непрерыв- Рис. Рат на, кроме того, она может принимать ряд значений с ненулевой вероятностью Щ в точках, где функция распределения имеет разрывы непрерывности.
Функция распределения вероятностей является исчерпывающей характеристикой случайной величины, поэтому две слу- 1 чайные величины с оди- и х иаковыми функциями распределения называются энэиэолентными. 3. Плотность распределения вероятностей. Если функция распределения Г(х) случайной величины Х дифференцируема, то ее всегда можно представить в виде г (х)= 1 1К) с$, где Производная от функции распределения случайной величины ~ (х), если она существует, называется плотностью распределения вероятноспмй этой случайной величины. Выясним вероятностный смысл плотности распределения вероятностей; имеем еР (х) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
