Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 50
Текст из файла (страница 50)
При в=о и в=п имеем ))г* (О) е ~ (евз 1) )ре (г ) е ~ (гат 1) 1 — е Р 1+е а Параметры р н у положительны, поэтому и значение йг*(О) положительно, а значение ЮтОп) отрицательно при любом р)0. Учиплзая, что фуниция )(ге (д) не имеет полюсов в правой полуплоскости, для устойчивости замкнутой системы надо потребовать, чтобы годограф йг "Ов) не охватывал точку ( — 1, /О).
Если выполняется условие е Р(еат — 1) <1, 1+е-Р (28) Выберем в качестве контура обхода в плоскости комплексного переменного Л контур (рис. 178), состоящий из единичной полу- окружности Л=е) (0«а«п) и окружности бесконечно малого радиуса, охватывающей особую точку Л=1, соответствующую нулевому полюсу д=О: Л=1+ге"г ~0=-.
<р « вЂ” "). то получим годограф (а) (рйс. 177), соответствующий устойчивой системе. Если условие (28) не выполнено, то годограф (б) будет охватывать точку ( — 1, 10). Замкнутая система при этом станет неустойчивой. С помощью рассматриваемого критерия можно исследовать устойчивость и в тех случаях, когда среди полюсов передаточной функции )и'е (г)) имеются чисто мнимые полюсы.
В этом случае много- 1гпЛ член 91(Л) имеет полюсы на еднничнои окружности. Для того чтобы зго ® воспользонаться принципом аргумента, следует видоизменить контур об— хода особых точек. Рассмотрим случай, когда имеется только один полюс, расположенный на мнимой оси О 7 Ней плоскости д, а именно полюс д=-0 кратности т ~ 1. Представим передаточную функцию ))уе (д) в виде Л=)+ге 7(г 1 ()те (д) = 1(ч), - (29) Рис, 178 (ее 1)т ' ГдЕ ))тз(д) ужЕ НЕ ИМЕЕТ ПОЛЮСа В НаЧаЛЕ КООрдИНат. ЗаМЕНИМ переменную д по формуле Л=еч: )р1 (Л) зг (Л) г (Л вЂ” 1)т ' (30) На окружности Л=1+ге'ч функция %7(Л) принимает следующий вид: !р7(1-1-ген) 11гй(1+ге1ч) (31) г~еУ~Р Полагая, что !пп (Реег (1+ ге1ч) = й, где а — постоянное число, г О И ОбОЗНаЧая Й = Й/ге, ПОЛуЧаЕМ 1!Ш 1Р1 (1+ ГЕ7О) =1НП— е г-О г О г'е7~~Р = 1!ш Ке-l~ (О 1р п72), что соответствует окружности'беско- Я ое нечко большого радиуса, дополняющей годограф й7е (1а1) при малых значениях О1.
Примеры таких топографов для значений Рнс. 179 т = 1 и т = 2 приведены на рис. 179. Критерий устойчивости замкнутой системы следует применять к этим годографам с учетом того, что полюс Л=1 лежит внутри контура обхода в плоскости комплексного переменного Л. Если, в частности, передаточная функция (ре (д) не имеет полюсов в правой полуплоскости, то ° замкнутая импульсная система устойчива, если годограф !Р'е (/1О), дополненный окружностью бесконечно большого радиуса, ни разу не охватывает точку ( — 1, /0). При этом предположении топографы, изображенные на рис.
179, соответствуют устойчивой импульсной системе. Во многих случаях задача об исследовании устойчивостн замкнутых импульсных систем с помощью критерия Найквиста существенно упроп1ается, если использовать дробно-линейное преобразование комплексной переменной (5). Выполним в выражении (19) для передаточной функции 57(Л) разомкнутой импульсной системы замену переменной Л по формуле Л=— 1+ ге Введем обозначение %'$ (щ) = ЮТ (Л) ! 11+ Обход единичной 1 — ге 304 окружности Х=с/" в плоскости комплексной переменной Х в положительном направлении соответствует в плоскости комплексной переменной ш движению по мнимой оси от — со до со. Введем обозначение в=о*+)ы*.
Подставляя го=/в~ в выражение передаточной функции КФ(га), получим амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой импульсной системы: У4(~со~) = = Щ (н~)) ;„.. Теперь можно применить критерий 1-!айквиста для исследования устойчивости замкнутой импульсной системы в том же виде, в каком он используется при исследовании непрерывных систем автоматического регулирования (см. 5 40).
При этом оказывается возможным построение логарифмических частотных характеристик импульсных систем ~6], что существенно упрощает задачу исследования устойчивости импульсных систем автоматического регулирования по критерию Найквиста. Логарифмические частотные характеристики находят широкое применение при синтезе подобных систем. Часть седьмая ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ л Глава Х1Х ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ й бэ.
СОБЫТИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЬГТИЯ 1. Основные понятия. При изучения физических, химических, биологических, общественных или каких-либо иных явлений йриходится сталкиваться с выполнением тех или иных наблюдений или экспериментов; например, определением числа распавшихся атомов радиоактивного элемента за единицу времени, числа бракованных деталей в партии, числа отказов системы автоматического регулирования, числа заявлений, которые будут поданы в институт в данном учебном году, подсчетом числа вызовов на телефонной станции за один час и т.
д. Результат опыта или наблюдений называется событием. Так, например, событиями являются выпадение герба при бросании монеты, серия из трех попаданий при пяти выстрелах по мишени, отсутствие бракованных деталей р партии, выход из строя прибора, выигрыш на лотерейный билет при розыгрыше и т. д.
Если событие при эксперименте обязательно должно произойти, то оно называется достоверным. Достоверным событием будет, например, выбор годной детали из партии, в которой все детали доброкачественные. Если известно, что в результате опыта событие не произойдет, то оно называется нееозноэсныль Невозможным событием будет, например, наличие четырех бракованных деталей в партии из трех деталей. Промежуточное положение между достоверным и невозможным событиями занимает случайное событие.
Случайным событием ~ называется такое событие, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти, например попадание в цель при одноь| выстреле. Следует заметить, что всякий раз необходимо оговаривать условия, прн которых производится эксперимент. Так, при бросании монеты мы уславливаемся, что она обязательно упадет вверх гербом, или цифрой„ а на ребро упасть не ьЬжет, резуль- Зоб тат падения монеты мы можем наблюдать.
Мы всегда будем говорить о комплексе условий, прн которых проводятся опыт. Для краткости этот комплекс будем обозначать буквой Б. Рассмотрим совокупность всех взаимно исключающих друг друга событий, которые могут произойти и результате опыта. Каждый исход одного опыта назовем элелепшорпыж собьяпигла При одном выстреле по цели элементарными событиями будут промах и попадание (при этом мы считаем, что комплекс условий Я исключает появление осечки). Всякое событие можно разложить на совокупность элементарных событий и, наоборот, всякое событие есть совокупность (множество) элементарных событий.
Например, событие, заключающееся в том, что прн двух выстрелах по мишени будет одно попадание, подразделяется на два элементарных события. Попадание при парном и промах при втором, промах при первом и попадание при втором выстреле. В результате опыта может произойти одно и только одно элементарное событие. Совокупность (множество) всех элементарных событий ь) называется пространством элементарных гобыпшй, а сами элементарные события а — точками этого пространства. В дальнейшем для краткости события будем обозначать прописными буквами латинского алфавита А, В, С и т.
д. Два события А и В при заданном комплексе условий 5 называются яесовмгспшмыми (несовместными) событиями, если прн данном комплексе условий появление одного нз ннх исключает появленйе другого. Если события А„ А,, ..., А, таковы, что одно из этих событий при опыте обязательно должно произойти, то говорят, что события А„Ам ..., А„составляют полную группу событий. Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих понятие пространства элементарных событий.
1. При однократном бросании монеты пространство элементарных событий состоит из двух точек." ы,— выпадение герба и ы., — выпадение цифры. При трехкратном бросании монеты пространство элементарных событий состоит из восьми точек: (ггг), ы2 (ггц), ыг (гцг), ы4 (цгг), ыл (1щг), ыа (цгц), ыг (гцц), а, (ццц) (г — означает выпадение герба, ц — выпадение цифры).
2. Пусть имеется партия из 100 деталей, из которых возможны бракованные. Элементарными событиями в этом случае будут О, 1, 2, ..., 100 бракованных деталей в партии, и пространство элементарных событий состоит из 101 точек а„в„ы„..., о„® (элементарное событие ь1~ означает, что в партии имеется 1 бракованных деталей). 3. Производится бросание монеты до выпадения герба. При этом возможны следующие элементарные события: ы, (г), а, (цг), оъ (ццг), ..., со„(цц... цг) ... Пространство элементарных событий (и — !) раз состоит нз бесконечного числа точек.
Здесь каждому элементарному событию можно поставить в соответствие некоторое натуральное число; в этом случае число элементарных событий счетно. 4. При производстве конденсаторов из-за неодинаковых условий технологического процесса действительное значение емкости отличается от его номинального значения и представляет собой случайное событие. Пространство элементарных событий состоит в этом случае из бесконечного несчетного числа точек некоторого отрезка числовой оси, соответствующих действительным значениям емкости. Из приведенных примерон видно, что пространство элементарных событий может состоять из конечного числа точек (примеры 1, 2) или из бесконечного счетного (пример 3), или бесконечного несчетного числа точек (прнмер 4).
В этих случаях пространство элементарных событий соответственно нааывается конечным, счетным илн непрерывным (несчетным) пространством. 2. Алгебра событий. В пункте 1 было отмечено, что событие А представляет совокупность (множество) элементарных событий. Иначе, событие А представляет собой множество точек пространства элементарных событий. Если считать, что в примере 1 событие А означает выпадение одного герба при трехкратном бросании монеты, то это событие включает в себя три элементарных события им в!„в!, (событие А состоит из трех точек о!г„со„ы,). Символически утверждение, состоящее в том, что элементарное событие в! входит в событие А, записывают в виде в! ен А. Если элементарное событие в! не принадлежит событию А, то записывают гв я=А. Введем некоторые понятия.
Событие А влечет за собой событие В, если при наличии события А обязательно произойдет событие В. Сокращенно фразу: событие А влечет за собой событие В записывают следующим образом: А с: В. Если событие А влечет за собой событие В, н событие В влечет за собой событие А (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
