Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 45
Текст из файла (страница 45)
из которой при нулевых начальных условиях получим л д х [в) = ~ я [и[ ( — Цл м (38) л»=а 1 Перейдем к решению с помощью 'В-преобразования систем разностных уравнений. Рассмотрим следующую систему разностных уравнений с постоянными коэффициентами порядка нас! ч ~ч ', Ь";,хоп+ й1+ Ь//д/(и+ й - Ц+...+ Ь//хДп1 = /=» = Х а7а~'(п+[1+а~аДп+[ — 11+ "+ацаДп7 / г ((= 1, 2, ..., т; А) [). (39) 275 Начальные условия задаются матрицей Ха=(х/!1 (/'=1, 2, ..., ч; !' =О, 1, ..., й — 1), где хи=х,1!1.
Сначала предположим, что матрица начальных условий нулевая. Будем также предполагать, что выполнено условие и/1!] = 0 (! = О, 1, ..., 1 — 1, /'= 1„2, ..., ч). Применяя -'~-преобразование к обеим частям каждого из равенств (39)„получаем следующую систему уравнений относительно изображений: ~ч '„(Ь!,е" ч+ Ь,'а«'-г/ ч +... 1- Ь", ) Х" (д) = / ! =,У, (а!а!с+а!!/а«-г!ч+ ..+а//)6'(д) (!'=1, 2, ..., ъ), (40) /=! где Хч(д)=м/(х/(п3; 61(д)= Ф~" (д/[п3.
Введем обозначения Ь," еач+ Ь а<а — пч+...+ Ь!,' =()'.. (д)„а!а!ч -(- +а',е~!-г>г+...+а, '=Р," (д), тогда полученную систему уравнений можно записать в виде 'Я Щ(д)Х,!.(д)= ~', Р;т(д)6,*(д) (1=1, 2, ..., ч). (41) Обозначим Х* (д) и б* (д) — иекторы-столбцы с компонентами Х/ (д) и 6)'(д) (/=1, 2, ..., т) соответственно. Введем в рассмотрение матрицы Я' (д) = (6;/ (д) 1, Рч (д) = (Р// (д)) (! = 1, 2, ..., ю; 1 = 1, 2, ..., ч).
С учетом этих обозначений систему уравнений (41) можно записать в векторном виде: а*(д) Х (д) =1*(д) С*(д). (42) Из найденного векторного уравнения определим изображение решения: Х* (д) =4)*-'(д) Р*(д) 6* (д). (43) Обозначая К* (д) = Я*-! (д) Р* (д) получаем Х (д)=К (д) 6* (д). (44) Если система разностных уравнений (39) описывает некоторую многомерную импульсную систему автоматического регулирования с ч входными величинами й!(и) и ч выходными величинами х!1п"1 то уравнение (44) является уравнением этой системы в изображениях.
Оно имеет тот же вид, что и уравнение (30), полученное выше для многомерной импульсной системы, причем матрица Кч(д) является передаточной матрицей рассматриваемой импульсной системы. Заметим, что матрица К* (д) определена лишь при тех значениях переменной д, при которых невырождена матрица Я* (д), т. е. г(е1ь/* (д) чь О. Это неравенство выполняется для всех значений переменной д, за исключением тех значений, которые являются корнями характеристического уравнения 276 системы разностных уравнений (39), имеющего вид бе(Щ(Х) =О, где Я,* (7),'х,т = Я* (д). Уравнение (44) эквивалентно системе уравнений Хс*(д) = .)''„К)7 (Ч) 67 (г7) (Е = 1, ..., т), (45) где К,*.~ (су) — элементы матрицы К* (7).
Выполняя обратное дискретное преобразование Лапласа над каждым из этих уравнений, найдем решение системы (39): к~(п)= у', у' А~Дп — т7цДт~) (1=1, ..., и), (46) где й,~(п1=Ы-' (К~; (д)), или в векторных обозначениях х(п1= ~', К~и — т)д(т1, (47) й-1 ~ч ', ~~Ъ~(д) Х; (ч) + ~ч ', ® (д) к7,) = '~~ Рц (д) б~ (д) (1 = 1, ..., т), 7=1 э~а 1=1 (48) где я". (4) =Ьо;ь- ~э+Ь|аы -мт+ +Ьм-*-п,~ и и и н (з=О, 1, ..., А — 1).
В векторных обозначениях мы можем записать систему (48) в виде ь — ~ я*(д)Х*(д)+ ~ч', Ф(д)Ф= Р"'(д)б'(д), (49) % О где Я, (д) = 1® (д)1; х'.— вектор-столбец с компонентами к7,. Из уравнения (49) найдем ь-~ Х*(7) =Я*-'(д) Р*(7) 0* (д) — ~ч' Ц"-'(д) Ф О7) х,'. (50) 277 где К(п) =(йп(пД вЂ” матрица, играющая роль весовой функции импульсной системы. Итак, использование .'У-преобразования для решения систем разностных уравнений не встречает принципиальных трудностей по сравнению с применением этого преобразования для решения отдельных уравнений.
По-прежнему задача сводится к определению -'У-'-преобразования от дробно-рациональных функций переменной еэ, являющихся элементами матрицы К* (д). В том случае когда начальные условия не предполагаются нулевыми, .У'-преобразование разностных уравнений системы (39) приводит к следующим уравнениям относительно изображений: х[п, е1= 'У-'(Ф* (д, е) 6*(д)).
Воспользуемся этой формулой для определения реакции импульсной системы на единичное ступенчатое воздействие д(() = = 1(г). Учитывая формулу (7) 3 52, получим х[п, е)=~-'(Ф*(д, е),д (51) Для вычисления обратного дискретного преобразования Лапласа применим формулу обращения (24) $ 52. Имеем х[п, в1= ~) КевФ*(д, е) — ~ (52) где вычеты берутся в полюсе 4,=0 и в полюсах у=о„(э=1, 2, ..., Й) передаточной функции Фь(7, е).
Будем предполагать, что все полюсы д=д„ненулевые. Найдем вычет в точке 4,=0 по формуле (25) $52: КевФ*(4, е) ~ ~ =1ппФ*(д, е)ес'"=Ф*(О, е). (53) Определим теперь вычеты в полюсах передаточной функции Ф" (д, е). Для простых полюсов получим Учитывая, то функция Ф*(7, е) является дробно-рациональной по отношению к переменной еэ, н обозначая Ф (д, е) = 27з Переходя к оригиналам по формулам У'-'-преобразования, получим решение системы (39) прн произвольных начальных условиях. 3.
Применение дискретного преобразования Лапласа для определения процессов в импульсных системах при типовых воздействиях. Прн исследовании импульсных систем автоматического регулирования обычно интересуются процессами, возникающими на выходе системы прн некоторых типовых воздействиях, приложенных к ее входу. Такими воздействиями являются, например, единичное ступенчатое и гармоническое воздействия. Применим й'-преобразование для.определения реакции импульсной системы на указанные воздействия при нулевых начальных условиях. Будем рассматривать систему с одним импульсным элементом, которая при нулевых начальных условиях описывается уравнением (17), причем передаточная функция системы Ф* (д, в) и изображение входной величины 0~ (д) — известны.
В этом случае процесс на выходе системы можно определить по формуле Если каждый из полюсов о,(т=), ..., г) передаточной функции Фе (д, е) имеет кратность г„то в соответствии с формулами (52), (53), (59) получим! з с — ! и аз„! -л х[п, в) = Фв (О, е) + ~~ ~~ С, "! 1(в) .", , (60) ч=!1 о В частности, если все полюсы простые, то формула (60) упро- щается и принимает вид х[п, в|= Ф*(0, е)+ ~ Са(е) еч ", (6) ) ч=! где (62) Выражение (60) определяет реакцию импульсной системы на единичное ступенчатое воздействие.
Первое слагаемое, стоящее в правой части, описывает установившийся процесс в системе, а второе — переходный процесс. Из равенства (60) следует, что в том случае, когда все полюсы имеют отрицательные вещественные части Бед,(0 (т=), ..., А), второе слагаемое в правой части равенства будет в течение времени стремиться к нулю. При этом получим выражение для установившегося процесса в системе х„[а, е|= Иш х[п, е)=Фа (О, е). (63) Таким образом, установившийся процесс в импульсной системе можно определить непосредственно по ее передаточной функции. Установившийся процесс можно определить и с.помощью весовой функции й[п, е)=Ы-з(Фв(д, е)): хэ[л, а)=Фа (О, е) = ~ч', А[л, н).
(64) л=о к [л, э)=%" (О, е)+Се(е) е '". (66) Используя для определения коэффициента Сз (е) формулу (62), найдем с учетом формулы (23) реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие. Имеем: 230 Пример 6. Рассмотрим разомкнутую импульсную систему (см. рис. 168). Предположим, что импульсная переходная функция непрерывной части системы йв(0 лсэ — р! (6~0). Модуляция осуществляется с помощью последовательности прямоугольных импульсов шириной ТТ(т(1).
Требуется определить с помощью ~-преобразования реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие я(0=1(1) при нулевых начальных условиях. Передаточная функция %'* (з, е) рассматриваемой импульсной системы получена в примере 2 (см. формулу (23)). Эта передаточная функция имеет один простой полюс о = — 6. Используя формулу (61), получаем следующее выражение для процесса на выходе системы; а)прио~е~т 1 — евина~ ! ер — еапт~ «[п, е[=(1 — е Ре~ — е ~<а+а'; 1 — е-Ф ~ е-Р 1 (66] б)прит(е(1 «[и, е[= — е Ре(еат 1) е Р~а+е> 1 е Р(ерт — 1) 1 — е В ер 1 (67) Х,* (г, е) = ~ ', С„(в) г-" (О ~ ем-1). а=е Сравнивая это выражение с формулой, определяющей изображение Х,"(г, е): Х,*(г, е) = ~~ х[п, е]г-", а о замечаем, что коэффициенты разложения С (в) определяют значения процесса х[п, е] при соответствующих значениях переменныхп,ю С„(е)=х[п, в], п=О, 1, ..., Ое-ес'1.
Поскольку для функции Х,*([Д, е) =Х7(ь, е) точка и=О является правильной, разложение ее в степенной ряд в окрестности этой точки будет представлять собой ряд Тейлора и, следовательно, коэффициенты разложения можно найти по формуле С„(е) =х[л, е]= — Х!'"'(О, в). С помощью влементарнык преобрааованиа выражения (66) и (67) можно привести к выражениям (22), (23) 6 6! соответственно, полученным другим способом в примере 2 6 51. Наряду с рассмотренным методом вычетов для определения процессов в импульсных системах используется разложение изображения процесса в ряд Лорана. Для того чтобы получить такое разложение, выполним в формуле изображения Х* (д, е) процесса х[п, е] замену переменной д на переменную г; обозначим Х,*(г, в)[,=,е=Х*(д, е) (0(е(1). Предположим, что функция Х, (г, е) является аналитической в области [г ~ ) еос, где о, — абсцисса абсолютной сходимости, причем точка г = со является для нее правильной, т.
е. существует предел 1[ш Х,*(г, е). В частности, если функция Х; (г, е) является дробно-рациональной по отношению к переменной г, т. е. Х*,(г, е)=, ', то степень много- Р'(г, е) Я* («) члена Яе(г) должна быть больше или равна степени многочлена Р*(г, е). При этих условиях разложение функции Хее(г, е) в ряд Лорана в окрестности точки г=со содержит только правильную часть, которая имеет вид (см. 2 31) Полученная 4хгрмула уже применялась выше (см. ([5) 252). Если Х;(г, е) — дробно-рациональная функция, то козгрфициенты С„(е) разложения в ряд,Лорана могут быть найдены путем деления многочлена Р" (г, е), стоящего в числителе Х,*(г, е), на многочлеп яэ(г), стоящий в знаменателе. Пример 6.
Решим с помощью разложения иэображения процесса в ряд Лорана пример б. Передаточная функция импульсной системы, рассматриваемой в этом примере (см. формулу (23)), может быть записана следующим образом. а (е) еч +а, (е) где (ерт — 1) е Рв -Ре -(.:,' =( -' О, а, (е)= е Р (еР щ ~~ — 1), Иэображение процесса, возникающего в импульсной системе прн приложении ко входу единичного ступенчатого воздействия, в терминах о-преобразования равно х (а, (э) а+аг (е)) а, (е) аз+ аг (е) х (г — 1) (г+Ь,) хэ+ (Ьг — 1) а — Ь, ' Выполняя деление многочлена а, (е) ге+аз (е) е на многочлен ха+(Ьг — 1) х — Ь„, получаем следующие коэффициенты ряда Лорана: Со (е) = ао (е)* С, (е) = а, (в) — Ьгае (е) + ае (е), Сэ (е) = (аг (е) — Ь„а, (е)) (1 — Ь,) + аэ (е), Подставляя в эти формулы выражения для коэффициентов ае(а), аг(е), Ь,, поручаем: (ерт — 1)е Ре, 1 — е Ре (ерт — 1) (1 — е Р) е Ре, 1+е Ре (е Ра т' — е Р— 1), (ерт — !) е Ре [1+е Р (1+е Р)), 1-1-е Ре [(е Ра Р' — е Р)(1+е Р) — ! [, Нетрудно проверить, что найденные значения процесса а [а, е[ такие же, как и в примере б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
