Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 42
Текст из файла (страница 42)
170). Функция О' удовлетворяет ео — ео' в этой полуплоскости условиям леммы Жордана и имеет в ней простые полюсы до=д+2п)г (г=0, +1, ь2, ...). Будем обходить полученный замкнутый контур в отрицательном направле- П ИЛС. Чаиалалааа В. Ка т. Я 257 нии, что соответствует движению по прямой Ке»)о = с снизу вверх. С учетом леммы Жордана и теоремы о вычетах (см.
п. 2 й 32), можно записать: 'с )со О» со ! ее»аеа — — Кезг (до) — — ~ = У )с(ц+2п(г) е!о+та)о' ее — етс !то=а+тая л ! итак, ро ((), е) оо '), р (()+2п(г) с го+в ю, с = — о» что совпадает с равенством (4). Справедливость формулы прямого Я-преобразования доказана. При вычислении интеграла (6) можно рассмотреть также контур, показанный на рис. 170 пунктиром. Он состоит из прямой Кеда=с и полуокружности бесконечно большого радиуса, расположенной в левой полуплоскости Ке до «с.
Полюсы подынтеграль- Р (Ео) ет е ной функции (е") в этой ет» полуплоскости совпадают с полюсами до (у =1, 2, ..., )т) функции г (до). Используя в этом случае лемму )Кордана, можно записать: с+ )о» ! ео'оет — г(Ч) т(!) = с — )о» (»)~) и е. о=! то= от Таким образом, р'* (). и) = ~ (р ()И = ис. )70 оо оо Полученная формула может быть использована для определения изображения Ео(д, е) по заданному изображению г (д). Пример !. Найти изображение г"о (о, е), соответствующее изобраатенна» по ! Лапласу о 14) = — ° е+р С учетом полученной выше формулы будем иметь — ! ! ! е"'аее 1 е "оет )со (д, е) Я'т — т=дез — °вЂ” 1»»)+он»)»)о+б ее — ет' 1о, -р ее-е" 3.
Обратное У-преобразование. Докажем теперь, что справедлива формула (5) обратного Ют-преобразования. Воспользуемся определением преобразования Лапласа и запишем его следующим образом: со л+1 Р (д) = ~ е-9!) (1) е(1 = ') ~ е-9ГГ (1) е(1. о =о л переходя к новым переменным по формуле 1=о+о, найдем со ! ! со Р (д) = ~ ~ и 9 !" +а!1(и+ Е) Е(Е = ~Е ~е ~Ч ', и ело (П, Е) ЛЕ = -оо о л=о ! =')е-9'гл (!), е) е(е, о что совпадает с формулой (5). Перестановка операций суммирования и интегрирования в данном случае оправдана тем, Что ряд ееоГ (л, е) сходится равномерно при О ~ а ~ ), если Ке д ) л=о - о„где а, — абсцисса абсолютной сходимости для функции 1(л, е]. Таким образом, формула обратного Ю-преобразования справедлива. — 1 еее«а ее Пример 2.
Найти ЯУ' т[ — — — 1. По формуле (5) аапишом [ео — ел е9 — 11 — ! еее ее Л(9) =У- ' — — — 1- (ее — еа ее — 1 ) ! ! Е Сл оа — !)Е 9 па= — —— ее Р,~, ее !" 1 1 сс ее ел ~ ео 1 !), Π— са с) О(9 — ст) 'о 4. Связь между преобразованием Фурье непрерывных и решетчатых функций.
Предполагая, что абсцисса абсолютной сходимости а, преобразования Лапласа функции Г(1) отрицательна, можно положить в формуле (4) прямого Ю-преобразования д = )ев ( — п~и~п), тогда Ре О!В, е) = ~Ч„р'(1 (9+2пг))ее/1м+алс). Г со В частности, при е О формула (7) принимает вид .Р' Ца),Я Е О (а+ 2пг)).
(8) Г со 26У 9л Выражение (7) связывает преобразование Фурье с ()а) функции 1(1) и дискретное преобразование Фурье с>()в, е) соответствующей решетчатой функции Цп, е). Полагая в формуле (7) в=вТ и учитывая соотношение (2), которое принимает вид формулу (7) можно записать следующим образом: Р>((вТ, е) = — У Р,(((в+гво))е'г11"+г" 1, лм (9) тогда функция 7,(1) может быть восстановлена по своим дискретным значениям 1>'1пТ'1 ' (п=О, 1, 2, ...) с периодом дискретности Т =— в« (или с частотой дискретности в,)2в,). Доказательство.
Рассмотрим формулу (9) при в=О: (11) ()вТ) = т ~ Р> () (в+ гво)). «= — сю Если выполнены условия (10) и (11), то из этой формулы следует, что У Р*ОвТ)=т Р>()в) при ~в!~в.. Поскольку функция Рт(/в) определяется преобразованием Фурье непрерывной функции 1>(1), а Р«((вТ) — дискретным преобразо- » Если 1>(0) «ьо, то 1> 101 = — й(0). 1 2 2п где во=- —.
т С помощью формулы (7) или (9) можно доказать следующую теорему, устанавливающую связь между непрерывными и решетчатыми функциями. Теорема. Пусть непрерывная функция 1, (1) преобразуема по Фурье, причем модуль ее спектральной характеристики Р,()в) тождественно равен нумо, начиная с некоторой частоты «среза> в„т. е. ~ Р, (ув) ~ =— О при ~ в ! ) в„ ванием Фурье соответствующей решетчатой функции [д[пТ], по- лучим Почленное интегрирование ряда, которое было использовано при выводе этой формулы, оправдано тем, что ряд, стоящий под знаком интеграла, сходится равномерно при [о)[~а),.
Из последнего равенства имеем Т 1) . [, ми [аь(! — лТ)[ (14) л о ПолУченнаЯ фоРмУла опРеделЯет непРеРывнУю фУнкцию Тд(г) по ее дискретным значениям Тд[пТ], что и доказывает теорему. И Рассмотренная теорема находит применение в теории автоматического регулирования. Она содержит условия, при которых непрерывный сигнал может быть восстановлен по своим значениям, измеренным в дискретные моменты времени. 5 Зз.
СВОЙСТВА йт-ПРЕОВРАЗОВАНИЯ 1. Линейность Й'-преобразования. Теорема 1. М-преобразование линейной колдбинации изображений по Лапласу Р,(ц) равно линейной комбинации изображений Р„"(д, е), т. е. .У~~' а Р (())1= Я а Р" (д, е), (т= ) т =1 где Рт(с), е) =ЯР (Р ()))), а — поспюянные коэффициенты. Равенство (1) следует из определения прямого мУ-преобразования (4) $ 54. Пример !. Определить 1в -преобразование дробно-рациональной функции й (р+в)(р +ч) В соответствии с теоремой ! получим 26! ес 2п ес 'сс сл =.-'. 1 х -е л=о с ес Рд()до)е)смйо = — ~ ТР*(]соТ)е 'д[о)= ! 2п сс ес [д[пТ] — )е"те)едйс»= — у Тд[пТ] ~ е!"!'-лг)дйо= Т л=о — е с сс ~ь) )д [лП [е)е (д — лт) — )е (д — лт)] 2п а~и 1(т — лт) д л о А )< где А» д» .
учитывая, что р» — р. р~-р,. ел — = ел (ьг а<а+а<) а е Ра Г ь т а« ~р+в~ е« вЂ” е з вайдея всномов воображение ЯУ =А» е а<а+а» е Р*а (а) О) (2) д 1 е« (, г« (р»+ч) (р»+ч) ) ૠ— г Р< е« вЂ” е-а» 2. Смещение аргументов изображений. Рассмотрим ел-преоб- разование функции е-т«Г(д), где у — любое денствительное число. Представим параметр у как сумму целой и дробной части: Т= =-А+)„причем целая часть А параметра Т может принимать и положительные и отрицательные значения, в то время как дробная часть ) принимает лишь положятельные значения, О =.Х(1. Справедлива следующая теорема: Теорема 2. Умножение изображения по Лапласу г (в) на экспо- ненциальную функцию е ««соответствует смен(гнию аргумента г изображения Ра (<), г) и умножению последнего на экспоненциаль- ную функцию в соответствии„с равенствами е "«г"*(<), г — Х) при ) (г, Я (е-т«Г(д)) = ( е <а<а)«ра(ц, г — ).+1) при )»)г, где Г* (Ъ г) =У (Р(ц)).
До к а з а т е л ь с т в о, Воспользуемся определением прямого Я-преобразования (4) 2 54. Сначала предположим, что ),(г, тогда получим: (е-т«р (ц)) — '~~ е«««а»е») ее-(«+вам] <аад) г (у ( 2п)г) Г= о< е~«+аа) 11~ »)Г(у+2п)г) =е ~ага (ц, г — )„). »= — <О Если теперь положить ).)г, то выражение, стоящее под знаком суммы в последнем равенстве, следует умножить и разделить на е«=е«+'пр. При этом будем иметь З (е-та г (д)) = е-«" е-« '~~ е'«"аа«' " "') г (<)+ 2п)г) = =е-«'"+" Га(д г — ) +1) И Заметим, что в частном случае, когда у=й-целое число, формула (3) упрощается и принимает следующий вид: Ы(е-а«Г(я =е-а«га (д, г).
(4) формула (4) следует из общего выражения (3) при у и, т. е. при Х О. 262 г его 1 Пример 2. Определить ей Г ), где т ( Ь 6+в) По формуле (3) получим еч е З'е-т> при т ~е, еч — е р -е-а (е-тем при р ~м е ) О. ев — е 0 Докажем теперь теорему о смещении комплексного аргумента д изображения по Лапласу Р(д). Теорема 3. Смещение аргумента а изображения по Лапласу Р (д) на произвольную колтлексную величину л соогпветствует смещению на ту же величину аргумента а изображения Р (а, е) и умножению последнего на зкспсненциальную функцию в соответствии с равенством (5) Ы(Р(д.+ Х)) =е ' Р*(ц+ Х, е), где Р* (в, е) =.'Ю (Р (д)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
