Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Изменяя порядок суммирования в правой части, будем иметь 1Ч м — 1 к се ~ е/!г-г!" = 11 се Гг= — В гг/ а А= — В 2л Поскольку /в= —,, то при //~г справедливо равенство м — ! Если А=г, то е/!е-г!"'г =1 н, следовательно, ~ч е/!э-г!й" М. в=э Таким образом, г м — 1 где число Лг связано с периодом М соотношением (36). Совокупность коэффициентов с, можно назвать комплексным чистоп!иым спек/иром периодической решетчатой функ//ии /[и].
Рассмотрим, какой вид принимает формула (39) для симметричной периодической функции )[и[, для которой период М четен и выполняется условие [ [и+ М/21 = — [[и] (40) для всех значений п (см. рис. 169). В этом случае и и — ! — — 1 2 2 Г ма< с, = -- ~~ [[п~)е-!'"и+ ~~[ [[п+ 1е ~ 2) «=О «О м — — ! 2 М й2 — [[[и) е — !™ — Дп1 е — !'апе — !'и) = и О «=О Отсюда следует, что коэффициенты с„соответствующие четным индексам с=0„-!-2 ..., равны нулю, а коэффициенты, соответствующие нечетным индексам, определяются формулой я-! с,=- ~ 7[п)е — и™ (г=+.1, .+.3, ..., +.12).
(41) «=О Коэффициенты сп- а равны нулю, если !у четно. Если же )у нечетно, то из Фюрмулы (41) получим !Π— ! 2 ъ« геО!=- 7 7[и[О~-а . — и,? п=О Итак, разложение симметричной функции 7" [Я в ряд (37) будет содержать только нечетные гармоники. В этом случае принято обозначать ряд (37) со штрихом у знака суммы: 7 [и 1 — ~~2~~ с„емй« (43) Для четного У суммирование производится в пределах от — У+1 до У вЂ” 1, поэтому выражение (43) можно записать следующим образом: и, [ [п) = ~О сье!Ойп, (44) где )У вЂ” 1, если !2' четно, Ж2= 12', если Й нечетно. й 53. СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 1. Линейность -'УУ-преобразования. Дискретное преобразование Лапласа устанавливает соответствие между решетчатыми функциями — оригиналами ~[п) и их изображениями Ее(д).
Различным операциям, совершаемым над решетчатыми функциями, соответствуют при этом определенные операции, совершаемые над их изображениями. Начнем рассмотрение этого вопроса с теоремы о линейности ~-преобразования. ТеоРема 1. Если Решетчатые гРУнкЦии (т[п'1 [а[п~, ..:, [а[п) ядляются оригиналами и их изображения есть соответственно Е1(4!), Е1(о),;, Е1 (о), то справедливо равенство Ю ~ Я Хт(т [п)~ = У Х,Е" (д), т=-1 где Х вЂ” произвольные постоянные.
Это утверждение легко доказать, подставляя выражение и с ~ Х,.(,[п1 в формулу Ю'-преобразования (1) 2 52. т=1 Рассмотрим пример, в котором используется свойство линейности -'Р-преобразования. Пример !. Найти изображения тригонометрических решетчатых функций мивл и ссавл (лзео). В соотиетстаии с теоремой ! имеем ! г3' [мп вл) =2т.у [е(~ва — е ~м"[=--. ЬР [енин(! —.ву [е '~"Ц. Используя формулу (8) 4 52, получаем окончательный результат 4)! [ее — е(в ее — е гв'1 ем — 2етсозв+! Аналогично найдем Ы [гоавп)= — гру [е(в"))+,у ~е (уаа[]= ™в . ! (З) 2 ете — 2св соз в+ ! Ф 2.
Смещение в области оригиналов и в области изображений. Прежде чем формулировать теорему о смещении в области оригиналов, заметим, что значения смещенной функции — оригинала ([и+я) (й)Π— целое число) могут быть отличными от нуля при отрицательных значениях аргумента п= О, — 1, ..., — я+1. В то же время !'[и — Ц вЂ” О для и=О, 1, ..., й — 1, (4) С учетом этого замечания докажем следующую теорему. 240 (6) Полученное равенство доказывает справедливость формулы (5). Докажем теперь формулу (5).
Принимая во внимание тождество (4), получаем .У' Яп — Ц) = )~ !'[п — Це-чп= ~ !'[и — Це-чп=* л=о п=а =е ч" ~ [[т)е ч"'=е-чаР* (г)). Теорема 2. Если фуннцг!я 7" [и) являеп1ся оригина!олг и Гь (г))— ее изображение, то Ы-преобразовании сжегценной решетчато!! функции опргделяется равенствшии л а — 1 и !11,./.л1! и с '(г !а — з - 1! !), !г! гл=о Ы Яп — Ц) = е-Оауа (17). Доказательство. Воспользуемся формулой (!) 2 52: .У'Дп+Ц) = ~, е ""[[п+Ц вЂ” ~, еч!"- )[[т)= л=о м=а ( гп а-1 - "(~""и 1- т г!+ лг=о лг= о а-1 =Е"а са (Г)) — У Е-О [[т1 .
лг= о Таким образом, формула (5) справедлива. ° Если, в частности, равны нулю значения решетчатой функции 7[0), 7[)), ..., !'[!г — 11, то вместо формулы (5) мы получим Ю '([[п+я!) =-ег" ва [7[п!). (7) Пример 2. Определить .У"-преобразование функций 1(и — )г), 1(и+л), гда й †положительн целое число. По формуле (6) найдем ГЧ Е 'гга " Я'(!!и — ай=а чаЯ(1(п))=е чь — = —. (8) ач — 1 ач — ! Но втором случае следует воспользоваться формулой (6), так как значения рассматриваемой решьтчатой функции при о=б, 1, ..., й — ! не равны нулю; получим а-! Я'(1(п+а))=еча .У (1 (пД вЂ” ~ 1)лг) е чм = лл -Π— ач* еча ав ! — е Оа гч аз †! ! — еч ет — 1 Теорема 2 позволяет определить изображение периодической решетчатой функции. Рассмотрим -'2'-преобразование периодической решетчатой функции ц [и') с периодом М.
Функция гр[гг) 241 удовлетворяет условию !р[и)=!р [и+АМ], где й — положительное целое число., По формуле (5) найдем ма †! и!ч! 11-е !т! ~-ем!1- ""[к ее! — Х "ч!1). Е! с=о где Фе(д)=Ы[ф[п1). Равенство (9) можно переписать следующим образом: ма-! Ф*, (!)) (1 — есме) = — ееме я е-е'% [г"1 (10) =о Положим в этой формуле 1 =1, тогда М вЂ” !' еем Ф*(([)=,„м ! У "фИ. е=е Определим теперь функцию )[п], совпадающую с функцией ф[п] на протяжении одного периода в точках п=0, 1, ..., М вЂ” 1 и равную нулю при всех остальных значениях аргумента п. Тогда мы сможем определить изображение периодической функции ф[п] через изображение функции [[и] по формуле (11), которая примет вид е „лм (е))=,~м 1 ~ (и) (12) (11) Перейдем к теореме о смещении в области изображений.
Теорема 3. Если решетчатая функция [[и') является оригиналом и ге (д) — ее изображение, то справедливо равенство г*(с)-1-а) — — Я (е е"[[п]), (13) где а — произвольное число, комплексное или вещественное. До к а за тельство. Примейяя формулу ее-преобразования (1) 9 52, получаем Ге (е) + а) = у е — 'е— ' е!адп),тз е еп(ете"[[и]) =Ы' [ез" ] [п$, л о л что и доказывает теорему. И 242 где Ее(д) = пт У[п)).
Пример 3. Найти Ю-преабразоиаиие решетчатой периодической функции, изображеииой иа рис. 169 (М=8)! /[!!)=1 [л] — 2 1 [л — 4]+1 [и — 8[ Учитыааи формулу (8), получаем р' (ч) ее 2е — еееч е зеве еч (1 — е еч)з ее †ее †ее — 1 + ее — ! По формуле (12) найдем изображеиие заданной периодической решетчатой функции [ ]и]: езч еч (1 — е еа)з ее (МЧ вЂ” 1) * е!е — ! е! — 1 (еч — 1) (1+е~е) Пример 4. Найти изображения решетчатых функций / [и) = вов сов шп.
ео" в1п йи По формуле (13) имеем еич-а~ еч-а сов „~ евв — еч" и сов е> ив)1ео" созыв] — . " (14) евш в 2еч псов ш+1 еве — 2егнважш+еве Аналогично найдем М Ж" «е' в)~ ~~] = е мп ~ ° (15) еж — 2Ф" и совы+ее" 8. Изображения конечных разностей н сумм решетчатых функций. Справедлива следующая теорема об изображении первой разности решетчатой функции. Теорема 4. Если решетчатая функция [[и] является оригиналом и Ев (д) — ее изображение, то первая разность Л) [п] функции ) [п] также является оригиналом, причем Ю Щ[и]) =(еч — 1) Еа (д) — е'Ч [0].
(16) Доказательство. Используя теоремы 1 и 2, а такжеопределение первой разности, получим, что Л)" [п] — оригинал и Ю «ЛЦп3 =,У" Яп+1] — [[пИ =ев «Е*(в)) — [[0]]-Ее (д)= =. (ее — 1) Рв (в)) — е»1 [0], что совпадает с формулой (16).
® Если функция 1 [п] допускает евт-преобразование, то ее разность произвольного порядка й также допускает ля -преобразование, поскольку разность Л»1[п] представима в соответствии с формулой (6) 2 48 в виде линейной комбинации решетчатых функций )[и], Цп+1], ..., 1 [п+й]. Прн атом справедливы следующие формулы, которые могут быть получены путем многократного применения формулы (16): .'еУ «Лвг [и]) = (ев — 1)' Е (в)) — ве (ге — 1) ) [0] — ге Л[ [0], У «Д'[[п]]=(гв — 1)'Ев (в)) — ее(ев — 1)'[[0]— — ев (ее — 1) Лг [О] — еч Лв) [0], »-1 м «Л» г [п]] = (ее — 1)» Ее (д) — ге,'» (еч — 1)' в-е Л' ( [0]. (17) в=о В том случае, когда решетчатая функция обращается в ноль при п=О, 1, ..., я — 1, формула (17) упрощается: Я «Л») [и]] = (ге — 1)»Ев (д).
(18) Пример В. Найти Яе-преобразование первой разности вкспоненциальной решетчатой функции е'"". По формуле (16) получим еч еч (еа — ц Я' (Лез") =(еч — 1) „— еч 243 Следующая теорема определяет изображение суммы значений решетчатой функции. Теорема 5. Если решетчатая функция у[п] является оригинал — ! ло',и и Е*([)) — ее иэображение, то сумма ~ )[т]такзсеявляется оригиналом, причем справедливо равенство л †! я ~ и [) - й'[л [[а [и =О Доказательство. Воспользуемся равенством (см.
2 48) л — ! Л ~~ !'[т]=1[и] (и =1, 2, ...). лг=е Применяя к обеим частям этого равенства -'е -преобразование и учитывая теорему 4, получаем и†! тл — ! '[[1 ! (л Х [[ !)=[ — 1[и)Х Л 1). [п =-О т=-О Из найденного выражения следует формула (19). Осталось доказать, л — ! что сумма ~ч , '1[т] является оригиналом. Учитывая, что для [п=е решетчатой функции [[и] выполнено условие (9) Я 52: ~ Цп]) =Ме" л (оО~О), будем иметь л-1 л †! ')' Цт] «и ~)' ~-=М вЂ” '".— '"-' ~М! ° (и,= —.' Елч ! ел' — !/ О[=О и=О л — ! ла — 1 л;1 Ы[ !! 1! ... ~> 1(пт] л =ела — — О л =О (20) Пример 6. Найти изображение степенной решетчатой функции па. л — ! При й=! Образуам сумму ~Э ~1(м)=п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
