Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(24) Таким образом, при достаточно болыпих значениях аргумента реакция системы на воздействие вида А сазЫ в диснретные номенты времени представляет Ф Рис. 1б4 собой косинус той же частоты, отличающийся по амплитуде и фазе ат исходного. Зтот сустаповившийсяо процесс показан на рис. 164 сплошной линией.
Из рисунна видно, что при любом фиксированном значении е из интервала О*-е(1 процесс хг [л, е[ представляет собой решетчатую гармоническую функцию. Рассмотрим теперь замкнутую импульсную систему, содержащую импульсный элемент в канале ошибки е,(г) (рис. 166), которая равна ег(])«а([Т) = 8, (1) — х, (1). (26) Функция х, (г), описывающая выходную величину импульсной системы, может иметь разрывы непрерывности в моменты квантования (=а.
Поэтому при определении решетчатой функции е, [п] = йг [п]- хг [и] (26) следует оговорить, рассматривается ли значение х,[а] как предел справа или как предел слева, т. е, х~[п]= 1нп х,(Г), или х,[п]= 11ш х,(1). «+0 г «-о Принято рассматривать в этом случае предел справа, поскольку реальный импульсный элемент фиксирует именно правое значе- Рис. !65 ние модулируемого сигнала е(1) в точке разрыва непрерывности.
Подставляя выражение (26) в уравнение разомкнутой импульсной системы (14), получаем уравнение замкнутой системы «о хд(1)= ) , 'ед[п]йг (2 — п)= = Х аул]й,(1 — и) — ')~ х,[п]Иг(( — а). (27) «г а о Полагая в этом уравнении 1=я+в (0(з(1), окончательно находим: х,[т, е]=.У, 'яд[а]й,[т — п, е] — '5, 'хг[п]х,[т — и, э]. (28) «=0 «г 0 Для того чтобы определить процесс х, [и, е] в замкнутой импульсной системе по заданному входному воздействию д,[а], нужно решить уравнение (28), в которое входит неизвестная функция х,[а, е], свертка этой функции с заданной функцией Йг[п, е], а также свертка двух заданных функций у,[а] и Я,[л, е].
Уравнение (28) аналогично интегральному уравнению, описывающему непрерывную замкнутую систему регулирования (см. гл. Ч). Оно 919 асс ос, ~', с,',х",,'+ 'у, 'с',х',"+...+ '5', с'„х',о=у, (г). с=о с-о с'= о Вначале мы будем предполагать, что все коэффициенты, входящие в уравнения этой системы, постоянны. Как известно, систему дифференциальных уравнений (29) всегда можно привести к нормальному виду (см. сэ гл. 1Ъ'): ==Ах+Ву, (30) ссх с11 У где х- вектор-столбец размера йс= Л'с+ с1со+...+)У„А — квадРис. 166 ратная матрица размера сухй; у †вект-столбец размерз г; д — прямоугольная матрица размера ухг (ссс==-:г).
Рассматриваемая импульсная система имеет г импульсных элементов. Ради простоты будем предполагать, что все элементы работают синхронно и синфазно. Тогда их уравнения имеют вид (1), т. е. у, (1) = '~ ~ос(1 — и) ус [п1 (с = 1, ..., с). и о (31) Если ввести вектор-столбец л'[и1 и диагональную матрицу Ю(1), з,([) О ... О , о (1) = О зо (1) ... О дс [п1 уо[п) (32) юг [а~ О О ... з,(1) может быть решено, например, с помощью дискретного преобразования Лапласа (см. гл.
ХИ1). Рассмотрим далее многомерную импульсную систему, структурная схема которой изображена на рис. 166. Непрерывная часть втой системы имеет г входов у„ у„ ..., у, и столько же выходов х„х„..., х,; соответствующие функции связаны системой дифференщсальных уравнений ссс~ сс~ г .'у', спх',о+ ); сс~4о+...+,'у, 'с'„х,"'=у, (1), о с-о с о \ ос ос хс сосхс + ~~ соохо + ° .+ ~~с сосхс =уо (1)~ (29) с-а с=о с=о и=О Пусть Х(!)-фундаментальная матрица решений однородной системы дифференциальных уравнений > ==Ах„ лх лр (34) удовлетворяющая условию Х(0) = Е. Решение неоднородной системы уравнений (30) имеет следующий вид: х(() =Х(() х(0)+$ Х(( — т) Ву(т) бт, (35) О где х (0) — вектор начальных условий.
В частности, прн нулевых начальных условиях т х (Т) = $ Х (( — т) Ву (т) О(т. (38) О Подставляя в эту формулу значение у(!) из (33), найдем х(г')=$ Х(! — т)В У', Ю(т — п)н[п)сЬ= О и =- О = ~ ) Х(г — т) ВЮ (т — а) Нщ[п). (37) и=ОО Рассмотрим выражение, стоящее под знаком интеграла. Вводя новые переменные ! — п=~, т — п=$, получим* т Ч ~ Х([ — т) ВЯ (т — а) Нт = ~ Х Я вЂ” $) Ку ($) с$. (38) Π— и Матрица Я($) обращается в нулевую матрицу прн $ и О, поэтому интеграл можно записать следующим образом: 0 при т1(0, ч (39) $ХЯ вЂ” $) ВЯф4 при т1~0. О Учитывая обозначение (39), запишем уравнение импульсной многомерной системы при нулевых начальных условиях в виде х®= 1', К(г' — и)хг[т).
(40) то систему уравнений (31) можно записать в виде одного векторного уравнении у (г) =,'У'„В (г — а) В[и). Полагая 1 = п+ е и учитывая пеРвое из равенств (39), можно окончательно записать х[п, е)=,У, 'К[и — т, а)В[т) ' «! =- а (41) Предположим теперь, что элементы матриц А и В в уравнении непрерывной части системы являются функциями времени. Обозначим по-прежнему через Х(1) фундаментальную матрицу соответствующей однородной системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющую условию Х(0) = Е. Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений, описывающих непрерывную часть, найдем по формуле (24) 3 11: х (1) = Х (г) х (О) + ~ Х (!) Х ' (т) В (ч) у(т) а(ч.
(42) а Вводя обозначение К„(г, !) = Х(!) Х-! (т) и полагая начальные условия нулевыми, получаем следующее уравнение непрерывной части: ! х(г)=) К„(г, )В(е)у(т) !(т., (43) о аа Подставляя в это уравнение у(т) из равенства (33), найдем урав- нение рассматриваемой импульсной системы: х(1)=)К„(1, т)В(ч) ~', Ю(т — п)д[п)г(т= о «=а = Д~ $ К„(1, т) В (т) 8 (т — И) а(т Гг [И). ° (44) «=оо Введем обозначение К(!, и)=~ К,(1, и) В(т)Я(т — и) аИ. о (45) Заметим, что при 1(и К(г', и)=0„ (46) так как матрица Я(т) обращается в нулевую при отрицательных значениях аргумента: Я(т)=0 при т(0. При значениях аргумента г)и функция К(1, и) описывается выражением т К(1, и)=) К„(1, )В(т)В(т — п) и.
« Учитывая это выражение, запишем уравнение многомерной им- пульсной системы при нулевых начальных условиях в виде х®= )~ К((, т)К[и). (48) Заменяя переменную в' по формуле в' =и+в и принимая во внимание условие (46), получаем уравнение многомерной-импульсной системы относительно решетчатых функций: х[п, з|= ',', К(п+з, и)К[и). (49) Н л х [и, е! = '5 К(п+ з, и! ЯпР~ — '~ К(п+ е, и) С [и1 х [и). (52) =о т=а 3. Уравнения импульсных систем в конечных разностях.
Со; ставим разностные уравнения импульсных систем, эквивалентные уравнениям, содержащим суммы решетчатых функций (48) или (49). Сначала рассмотрим многомерную импульсную систему (см. рис. 166), непрерывная часть которой описывается системой линейных дифференциальных уравнений (30). Элементы матриц А и В могут быть функциями времени. Импульсные элементы, ра. ботающие синхронно и синфазно, описываются уравнениями (33). !!аз Используя уравнения (48) и (49), можно составлять уравнения более сложных систем. Рассмотрим, например, многомерную систему с обратной связью, изображенную на рис.
167. г (в! - И! а,Ю Эта система описывается [ 8(е! уравнением (49): г (е! е в в! неареевво- !!(й! т,(8 х[п, е)= е~(е) аае П еаевов = ~ч„" К(п+ е. и) е [т) ва = о Ге (е! ! (50) ! 1 ве(в) аа(е! ! ! где матрица К((, и) опре- ! ее(в! деляется формулой (47); е [и! — вектор-столбец размера г, определяемый «уравнением замыл!анна» е[п) =7[п) — С [и) х[п). (51) Рис. !67 Здесь С [и] — матрица решетчатых функций размера г х Л!. Подставляя вектор-функцию е [п1 из уравнения (51) в уравнение (50), получаем уравнение замкнутой многомерной импульсной системы: Выберем начальные условия в момент времени (,=п.
Тогда решение неоднородной системы дифференциальных уравнений (30), удовлетворяющее этим начальным условиям, может быть записано в виде х(1)=К„(1, п)х[гг]+~ К„(1, ч) В(е)у(е) г(т, л (53) где х [и] — вектор начальных условий, а К„(г, е) — матрица Коши, связанная с фундаментальной матрицей Х(г) однородной системы дифференциальных уравнений (34) оютношением К„(1, е) = Х(г) Х-' (т).
(54) Полагая в уравнении непрерывной части (53) (=п+е, получим л+л х[п, е]=К„(п+е, и) х[п]+ ) К„(п+е, т)В(т)у(т)г(т. (55) л Используя обозначение (47), мы окончательно получим х[п, е]=К(п+е, п)х[п]+К(п+в„п)К[п]. (58) Предполагая, что х(г) не имеет разрывов непрерывности в дискретные моменты времени 1 =-гг, перейдем в обеих частях.
равенства (58) к пределу при а-~1 и получим х[гг+1]=Кл(п+1, п)х[п]+К(гг+1, гг)В[гг]. (59) Г Найденное разностное уравнение описывает многомерную импульсную систему. Его решение х[п] определяет процесс в этой системе, соответствующий вектору внешних воздействий В'[п], в ди. скретные моменты времени. Для того чтобы найти процесс в системе в любой момент времени, достаточно подставить решение уравнения (59) в правую часть уравнения (58). Если элементы матриц А и В в уравнении (30).постоянны, то матрица Коши Кл(г, е) зависит только от разности аргументов 1 и гп К.(1, т)-Х(()Х- ()-ХК вЂ”.), (60) 224 Векторное уравнение (33), описывающее импульсные элементы, в интервале гг~1(гг+е, 0 =.в<1, имеет вид у (г) = о' (1 — и) и [п].
(56) Подставляя это выражение в уравнение (55) непрерывной части, получим уравнение многомерной импульсной системы х[гг, е]=К„(п+е, гг) х[гг]+ л+е л + ) К„(п-(-е, т)В(е)Ю(т — п)аг[п]г(е. (57) л где Х(г) — фундаментальная матрица однородной системы уравнений (34), удовлетворяющая условию Х(0) = Е (см гл. 1Ч). Матрица К(г, п), определяемая равенством (47) в этом случае зависит также только от разности аргументов 1 и л. Таким образом, для импульсной системы с постоянными параметрами получаем уравнение х [л е] = К„(е) х [п]+ К[е] д'[л]. (61) В частности, при е=1 х [п+ Ц = К„(1) х [п] + К(1) хр [п]. (62) В этих уравнениях матрица К„(г) совпадает с фундаментальной матрицей решений соответствующей системы однородных дифференциальных уравнений непрерывной части (34), т е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
