Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Сумма двух комплексно-сопряженных членов с!Лз+сЯ, где Л,=р(соз>р+)з)п!р), Л>=р(соз!р — 1з)п>р), с,=а!+]Ь>, г>= = а! — /Ь>, может быть записана как ср" (соз >рп+/з)п >гп)+с р" (соз ч>п — )з)па>п) = = 2 (а!рп соз >рп — Ь!рп з(п >рп). Таким образом, решение 5 [и] разностного уравнения (65) представимо в виде линейной комбинации с вещественными коэффициентами решетчатых функций Л", р" соз>рп, риз)п>рп, где Л— вещественный корень характеристического уравнения (67).
Рассмотрим теперь случай кратных корней. Пусть корень Л> характеристического уравнения (67) имеет кратность г>) 1. Будем ИСКатЬ РЕШЕНИЕ раЗНОСтНО>О уранисиня (65) В ВИДЕ $[П]=Лиг[я], 19! где г[п] — неизвестная решетчатая функция. Из уравнения (65) получим Л"г[п+А)+Б,Ль — 'г[л+А — Ц+...+Ьь,Лг[п+ Ц+Бьг[п]=0.
(70) Выражая функции г[л+А), г[п+А — Ц, ..., г[п+ Ц через конечные разности функции г[а] по формуле (10) 9 48 и группируя члены при разностях функции г[и) одного и того же порядка, получаем разностное уравнение порядка А относительно функции г[п):- Р(Л) г [л]+ЛР'(Л) ?та[л]+ ... + —,П" >(Л) >х' г[п)+ ... + — А> Рм> (Л) й'г[л)=0, (71) где Р(Ц вЂ” левая часть характеристического уравнения (67), Р(Л)=Л" +Ь,Л"-'+ ... +Ь,Л+Ь, а РП> (Л) (> = 1, 2, ..., А) — производная многочлена Р (Л) порядка В Ри>(Л) = А (А — 1) ... (А — > + 1) Лэ ' + (А — 1) (А — 2) ...
... (А 1)Ль->-'Ь,+ ... +П Ьэ > (1=1, 2, ..., А). (72) Мы предположили, что корень Л, характеристического уравне- ния (67) имеет кратность г,) 1, тогда Р (Л,) =Р' (Л>) = ... ... =,Р" — '> (Л>) = О, но Р>" > (Л,) чь 0; поэтому уравнение (71) при Л = Л, принимает вид Лп ?г,+> г~! — Р>" >(Л,) А" г[л)+ ' Р4'1+'>(Л,)>ло ь>г[п)+ ... (~~+ >)> ... + —,>' Ро» (Л>) >Льг [п] = О.
(73) Из этого соотношения можно определить неизвестные функции г[л]. Соотношение (73) содержит разности, начиная с порядка г, от функции г[п], поэтому ему удовлетворяют функции 1, п, п',... ..., л"-', так как разность порядка А)г, от каждой из этих функций равна нулю. Линейная комбинация указанных функций также удовлетворяет уравнению (73). Следовательно, функцию г[п] можно определить следующим образом: и — 1 г[л]= ~х, 'с;л', (74) где с> — постоянные коэффициенты. Теперь можно, наконец, получить решения разностного уравнения (65), соответствующие корню Л,. В соответствии с формулой $,[п)=л>г[п] решениями будут следующие решетчатые функции: Л"„Л"п, ..., Л",п' -'.
Решение однородного уравнения (66), 199 соответствующее корню А! кратности г„можно представить как линейную комбинацию этих функций: гг — ! а![и[= ~ч~ с!игл!а, г=о где с! — произвольные постоянные. Для того чтобы написать общее решение этого уравнения в виде лиг[ейной комбинации решений (75), необходимо доказать, что найденные для кратных корней решения линейно независимы. Мы не приводим здесь дОКаЗатЕЛЬСтВа ЭТОГО фаКта е1. Пример 2. Найти решение разностного уравнения с постоянными коэффициентами г х [л+ 3] — 4х [л+ 2)+ 5х [л+ 1] — 2х [л] и при нулевых начальных условиях х[0)=х[1] х[2)=0.
Вначале найдем общее решение однородного разностнога уравнения х [л+ 3) — 4х [п-[-2)-[-бх [и+ 1) — 2х [и) О. Составим для него характеристическое уравнение: Хз — 4Л«+ 5Д вЂ” 2 = О. Это уравнение имеет корень )ч-1 кратности 2 и простой корень Д 2. В аютветствии с формулами (31), (69), (75) общее решение однородного разностного уравнения имеет следующий вид: х [л] =с«Ха+с«)ггп+ с«Хи=с, +с л+с,2". Решение звданнога неоднородного уравнения будем искать методом вариации произвольных постоянных. Полагая с«, с„ сз решетчатыми функциями, зйпишел! для них систему уравнений (49): Ьс! [л]+ Ьсз [п) (И+!)+асз [Л] 2лт! О, 5 т[и]+5 з[лУи+2)+а з[и) 2л =О, ась[и)+ас«[п](и+3)+бсз[п) 2""' л.
Определитель этой системы равен 2л+! и система имеет при всех п~о единственное решение, равное аст[л)=пз. Ага [л)= — л, Лез[и)=л2 л !. Решетчатые функции с! [и), с, [п) найдем по формулам (28), (29) 4 48: л — ! л-! 1 кч 1 с [и) У тз= — л(и-1)(2п — 1), с,[л]= — ~ т= — — л(и — 1). 31 Функцию сз [и] найдем по формуле (24) 4 48, полагая в ией и — ! и[т]=т.
1г[т)= 2 м:с,[и]= ~ т2 и т= л — ! — т2 м~ + ~ 2-м-т — 1 (и [1)2-и т о *' Смл Гедьфопд А. О. Исчисление конечных разностей. «Науказ. 1967, с. 315, 193 7 и/р. чм«аданов« в. к., т. Я Решение неоднородного разнос!ного уравнения равно 1 х[и]=од [и)-1-сз [и) п-]-сз [и] 2" = — п(л — 1) (2« — 1)— 31 — — лз (л — 1)-1-2" — п — 1=2" — (в 1 „п(5+ля) 2 Пример 3.
Найти решение разностного уравнения с постоянными коэффициентами х [«+2]+х [л] еа" при нулевых начальных условиях я[О]=х[1]=0. Характеристическое уравнение ха+1=О, соответству!ощее од!юродному разностиому уравнению х [«+ 2]+ х [и] = О, имеет комплексно-сопряженные корни ).=е)пге, Х=е !а!~.
Поэтому общее решение однородного уравнения 'л и можно записать так; х [л) =с соз — л+сз Ып — л. 2 2 Решение неоднородною уравнения, как и в предыдущем примере, найдем методом вариации произвольных постоянных. В соответствии с уравнениями (49) получим: Ьс, [л] соз 2 (п+1)+Ьсз[я) мп 2 (п+ 1)=О, Ьс„[п] соз — (и+2)+Ьс, [л] мп — (л+2)=еа", 2 2 илн л и -Ьс, [п] мп — л+Ьсз [и) соз — «=О, л и — Ьс! [л] с!в — — л — Ьс, [и] з!п — л = ее".
2 2 Из втой системы уравнений найдем Ьсг[л)= — еа" с!я — п, Ьс [л]=-еа" Х л 2 3 Х вп — и. Искомые решетчатые функции равны: 2 « — 1 ( . и) (а+) — )« с! [л]==- Ке ~~ е — Ке г«=о а+ 1 — т- 1 — е — 1+ за" соз — и — еа !«+м а!п — п л л 2 2 1+ еза (а+1 — ) с, [п]= — )ш 7 е «г а л б!п — л 2 л соз — и+ 2 и и соз — л+го мп — л 2 2 л — л 2 .
л еа« 2п — 1+па Теперь можно записать решение нения — 1+за«соз — л — еа'«+м 2 х [л]— за и 2 — еа+еа«а(п — л+ еа «н.ю соз ']- 1+с"а л и «! аа 1-еа«з1п — л.[-еа~«+г~ соз — л 2 2 заданного неоднородного разпостного урав- й 50. СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Основные определения. Система разностных уравнений связывает решетчатые функции х,[п], х,[п], ..., х,[п] и их разности вплоть до порядков йо А„ ..., й, соответственно. В общем случае систему разностных уравнений можно записать следующим образом: г)ь [и» х» [и]» ° » Л~»х» [и] х» [и] ...
А» х» [и] х [п] с» 'хааа]]=О ((=1, 2, ..., 1). (Ц Переходя по формуле (6) 2 48 от разностей к решетчатым функциям, получаем грм[п, х»[п], ..., х»[к»+и], х»[п], ..., х»[й»+и], ..., х,[п], ... ..., к~Я+о]]=О. (2) Если система разностных уравнений (2) содержит в явном виде функции х~[п] и х,[о+АД, то она вместе с исходной системой (1) называется системой порядка А~ по отношеншо к решетчатой функции х» [и]. Может оказаться, что в систему (2) не входит в явном виде какая-либо из функций х~[п], например х,[п], т.
е. система разностных уравнений (2) имеет вид: »Эм[п, х»[о+Ц, ..., х,[п+А»], х,[п], ..., х,[п+к»], ... ..., хоп], ..., х,[п+йг]]=О (1=1, 2, ..., 1). (3) Система (3) и соответствующая ей система (1) называются системами порядка А, — 1 относительно х,[п]. Вообще, если в систему разностных уравнений (2) не входят функции х~[п], х~[п+Ц, ... ..., хДп+т] (т(А,— 1), то система имеет порядок А» — т — 1 относительно функции х [и]. Сумма порядков системы относительно каждой из функций х,[п], х,[п], ..., х,[п] называется порядком системы разностных уравнений. Если система разностных уравнений имеет порядок А, относительйо каждой функции х [п] (1 = 1, 2, ..., 1), то порядок этой системы равен к= к, + +А,+ ...
+Аь Решением системы разностных уравнений (1) называется совокупность решетчатых функций х»[п], ..., х~[п], обращающих все уравнения системы в тождества. Если систему (2) можно разрешить относительно1решетчатых функций х,[к,+п], х,[й,+и], ... ..., х, [А, + и], то получается следующая система разностных уравнений: х [и+Ц=Р,[п, х»[п], ..., х»[п+к,— Ц, ... ..., х, [и], ..., хааа+ й, — Ц] (1= 1, 2, ..., 1). (4) Будем предполагать, что функции Р; [п, уь ..., д»„..., ун ... .;., у»,] определены, ограничены и однозначны при любых ограниченных значениях аргументов и, ум ..., у»с Тогда для заданных при п = пь начальных условиях существует единственное решение системы (4), которое можно определить, осуществляя 7" 195 процесс последовательного вычисления функций х~[п+АД при и = в„яэ+1, л, +2, ...
из системы рекуррентных соотношений (4). Пусть при и и, заданы начальные условия хм =хя[лэ]»,, х;э,-, хАпэ-)-й;- Ц (1=1, 2, ..., 1). По заданным начальным условиям найдем из системы (4) значения х»[пэ+й8]~» Г[пэ» х10» ' » х»А~-1» хм» х~эр-1] (1=1, 2, ..., 1). Используя найденные значения, на следующем этапе вычислений определим х» [лэ+ Щ+ Ц. Продолжая процесс вычислений, найдем решение системы разностных уравнений (4) для любого значения аргумента п)лэ в зависимости от заданных начальных условий храп]=Вг[п, хто хп, ..., хтх,-ь "., хм* ха ..., х,э, Д. (5) Заменяя здесь начальные условия произвольными постоянными, получим общее решение системы разностных уравнений (4): хам[а]=й;[п, сы. см ..., стэ,-о, сэ„сц, ..., с»эг-т]. (6) Если система уравнений (4) не содержит в явном виде какую- либо из функций х,[п], например х,[п], т. е. имеет вид хДп+й;]=Ем[в, х,[в+ Ц, ..., хЛл+йъ — Ц, ..., хю[л], ...
..., х,[в+А,— Ц], (1=1, 2, ..., 1), (7) то решение системы определяется следующими начальными условиями: хм=х»[п,] (1=2, 3, ..., 1), х„=х,[ьэ+Ц ((=1, 2, ..., Е), ... ..., хв а,-~ = хАпо+ й~ — Ц (1 = 1, 2, ..., 1), число которых меньше на единицу, чем в предыдущем случае. Вообще число начальных условий, необходимых для определения решения системы разностных уравнений. совпадает с порядком системы. Систему разностных уравнений (4) можно привести к нормальному виду, если ввести новые решетчатые функции: хм[я]=к»[п], хн[п]=х»[и+1], °, х»э т[л]=х»[0+Ау — 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
