Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Если положить в рассмотренных выше передаточных функциях в = ]ы, то получим соответствующие амплитудно-фазовые частотные характеристики системы. Например, Ф, 9о) — амплитудно-фазовая характеристика ошибки; У ([оо) — амплитудно-фазовая характеристика системы по отношению к возмущающему воздействию; ]]у (]ы) — амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы н т.
д. С помощью частотных характеристик могут быть рассмотрены многие стороны работы САР, например, используя характеристику ]р([ы), можно выполнить анализ устойчивости системы на основе критерия Найквиста (см. $40). оценить точность работы системы и т. п. Отметим некоторые свойства передаточных функций и частотных характеристик САР. Пусть на вход системы (см.
рис. 147) поступает управляющее воздействие в виде единичной ступенчатой — уравнение сервомеханизма. В преобразованном по Лапласу виде при нулевых начальных условиях уравнения (35) и (36) имеют вид [)о (з) Х (з) = Мо (з) Р (з) +Со (з) ]т (з) В (з) )т (з) = й((в) С (в). Из этих уравнений получим Х(о (о) Со (о) у (о) ))о (о) ()о (о) д (о) Учитывая равенства (17) и (18), вместо выражения (39) будем иметь следующее: Х (з) = г'(з) Р (з) + [е (з) С (з).
(40) функции, т. е. зс(!)=1(1). Реакция системы х(1) на зто воздействие, как было указано в ~ 16, является переходной функцией. В соответствии с равенством (30) изображение переходной функции гс(Ю) есть Ж[сс(!)1=Ф(з)Я[1(с)). Так как Я[1(1)1= —, то будем иметь ~[А(!Н=Ф(з)— (43) Используя теорему о начальном значении (см, й 43), найдем, что !1~ й(1)=11~ зФ(з) —, =Вгп Ф().
1 (44) о +о с со с со Положим з = !ы, Ф (но) = Р (оо)+Ф (м), где Р (со), !2 (оо) — зеп!ественная и мнимая частотные характеристики САР. Тогда из равенства (44) получим, что 1!щ й (1) = 1!щ Р (оо), (46) с +о со со Таким образом, начальное значение переходной функции равно конечному значению вещественной частотной характеристики САР. Если 4!щ Р(оо) =О, то переходный процесс в системе начинается из начала координат. Учитывая теорему о предельном значении (см. $ 43), из равенства (43) получаем 1пп Ь (г) = Ищ зФ (з) — = ! пп Ф (з). ! (46) О со с о с о При з=!оо имеем Вгпй(Г) =1пп [Р(а)+ф(оо)1=1!пт Р(оо),, (47) о- со о со так как 1!щ Я (оо) = О вследствие нечетности функции Я (со).
Следосо о вательно, конечное значение переходной функции равно начальному значению вещественной частотной характеристики САР. Теорема о предельном значении оказывается полезной и при анализе свойств передаточных функций статических и астатических систем (см. 5 16). Из равенства (32) найдем, принимая во внимание теорему о предельном значении, что 1!щ е(1) = 1ип зФ,(з) б(з). о со с Пусть на вход САР поступает управляющее воздействие д (1) = 1 = 1(1), тогда б(з) = —, и вместо последнего равенства будем иметь 1 ип е (г) = 1!щ Ф, (з). (49) О со с (50) где функция Кд(з) не имеет нулей и полюсов при з=О.
Тогда, учитывая равенство (25), вместо равенства (49) получим с 1 сд 1пп е(1) = 1пв + — — Иш,+ (51) Отсюда найдем, что 1пп е(1) =О, т. е. система является астатнс ы ческой, если передаточная функция разомкнутой системы ЯГ(з) имеет при а=О полюс какой-либо кратности.
Выше рассматривались свойства передаточных функций астатических и статических САР по отношению к управляющему воздействию. Аналогичным образом могут быть получены свойства передаточных функций астатических и статических САР по отношению к возмущающему воздействию. Из равенства (34) найдем с учетом теоремы о предельном значении, что Игп х (() = Иш зУ (з) Е (з). (52) с со 5 сс Если к системе приложено возмущающее воздействие в виде единичной ступенчатой функции, т. е. ~(0=1((), то Р(з) = — и 1 )пп х (с) = 1пп У (з). (53) с с Введем обозначение У(з) = — „, где функция Уд(з) не имеет )со (8) при а=О ни нулей, ни полюсов.
Учитывая зто обозначение и под- ставляя в формулу (53) вместо У(з) правую часть равенства (24), получим с учетом выражения (50) 1пп х (() = 1пп с,о, ссд +д'о(с), Отсюда следует, что Игв х(с) =О, если дробь в правой части равенства (54) имеет прн з=О ноль какой-либо кратности, т. е. если т >Х. Таким образом, САР будет астатической по отношению к возмущающему воздействию, если порядок полюса при а=О передаточной функции разомкнутой САР по отношению к управляю- 6 дср. чедодаиова в. к„с, 3 161 Если передаточная функция ошибки Ф,(з) имеет при з=О ноль какого-либо порядка, то Иш е(() =0 и САР является астас тической. Если же функция Ф,(з) не имеет нулей при з=О, то Вше(~)~0 и САР является статической. Используя формулу (49), найдем, каким свойством должна обладать передаточная функция разомкнутой САР Ю'(з), для того чтобы система была астатической. Введем обозначение щему воздействию выше порядка полюса при з=0 передаточной функции разомкнутой САР (объекта регулирования) по отношению к возмущающему воздействию.
Очевидно, что САР может быть астатической по отношению к управляющему воздействию и статической по отношению к возмущающему воздействию. й 47. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ В 2 44 были указаны способы нахождения оригиналов по известным изображениям. Эти способы могут быть применены при определении процесса регулирования в автоматической системе. Пусть иа вход САР (см. рис. 146) поступает управляющее воздействие а(1).
Требуется определить процесс регулирования, т. е, найти функцию х(1), характеризующую изменение регулируемой величины. Для решения этой задачи необходимо записать дифференциальное уравнение, связывающее регулируемую величину х(1) с управляющим воздействием д(1), в преобразованном по Лапласу виде с учетом начальных условий. Пусть уравнение относительно изображения регулируемой величины Х (з) записывается в виде (см.
5 46) (У (з) Х (з) = М (з) 6 (з) + М, (з), (1) где 1.1(з), М(з), М„(з) — многочлены относительно з; 6(з) — изображение управляющего воздействия д(1). В общем случае регулируемая величина х(1), являющаяся оригиналом, может быть найдена с помощью формулы обращения (1) 2 44; при этом с+1 с л(1)=~ ~1Х(з))= —.
) ~ О() + —," тенг(з (1)0), (2) с Сса откуда получим л х(1) = ~ Кез[ 1'1 ('1 + Л1л(')~е" ~ (1~ 0) (Ч) с=~ где з=з,— полюсы изображения Х(з), или л х(1)лл ~> Кез~Ф(з)б(з)+ " ~е"~ (1)0), (4) лен где Ф(з) — передаточная функция САР, Однако во многих случаях удается избежать необходимости непосредственного вычисления х(1) по формуле обращения.
Зти случай рассмотрены в $ 44. Наиболее просто определяется процесс изменения регулируемой величины х(с), когда изображение Х (з) имеет вид рациональной дроби. 162 Пример 1. Передаточная функция разомкнутой САР (Р(з)=, 10 Определить процесс изменения в САР регулируемой величины х(!) при нелични управляющего воздействия д(г) ! (О. начальные условия — нулевые. Найдем прежде всего передаточную функцию замкнутой САР. По формуле (22) 5 чб имеем Я [х (()] (Р (я) 1О У [д (Г)] 1 + )Р (я) О, !яз+ я+ Ю Так как Я[1(Г)] 1/я, то изображение по Лапласу регулируемой величины определяется равенством 10 100 Я (О, 1 за+ з+ 10) я (я' -1- 1Оз -[- 100) Для нахождения оригинала х (1) воспользуемся формулой (3), где следует по. ложить Мэ(я)=0, так как начальные условия — нулевые.
Иэображение Х(я) имеет трн полюса: зя=О, я,= — 5+] ~ 75, зя= — 5 — ) гг75, поэтому в данном случае имеем з Х Ьз (за+ 1Оз+ 100)~ [я=я т=! з - У'В~ 100езг [я [з — ( — 5+) )У 75)] [я — ( — 5 — ] )/75) ] ~ ]я я * Вычисляя по формуле (6) 5 32 вычеты относительно кюкдого нз полюсов, получаем 100ям х(1)=!1щ — — + я о[я — ( — 5-[-[рг75))[я — ( — 5 — 1) 75)] 100 1Обе'г 51 !Уз!5 я[я — ( — 5 — Я75)] я 5 (Утз за[я ( 5+)]У75)] 100 !00 ( — 5+/ъ тя)г !И) ( — 5 — !Утя) я ( — 5)з+( 75)' ( — 5+]]775)2И'й ( — 5 — )]'75)( — И'75) яг'Утзвя я — )Утзг е!Утз| я е — 1Утяя =1 — =е м ° — е чя 1 — е Р—. 5[о'г' 751+соя)Г75(~ (!) О), (]' 75 Получен процесс регулирования в САР при наличии заданного управляющего воздействия.
Определим теперь процесс регулирования х(1) другим, более простым способом. Представим изображение Х (я) в виде суммы двух слагаемых: 100 А Вя+С яз+ Юя+ ЮО) я + Ю + !00 ° Неизвестные коэффициенты А, В н С определии из равенства 1ОО=Аяз+ 1ОАз+100А+Вяз+Ся, которое может быть представлено в ваде систем уравнеккй А+В=О, ЮА+С=О, 100=!ООА, 6* откуда найдем А=1, В= — 1, С вЂ” 1О. Изображение Х (э) может быль теперь ааписзно в виде 1 3 1О (4,:+!Оз+!00 .э+!О.+!00. Определим оригинал, саответствукзций каждому ич слагаемых в правой части этого равенства.
Известно, что 1/зля!(!). Для нахождения оригиналов, соответствующих двум другим изображениям, предварительно запишем квадратный трехчлен в виде за+ !ба+100=(з+5)э —.25+ 100=(э+5)з-]-75, ю 3 г ., ю тогда„учитывая, что мпсэ(: —, омю( '. —,е зюю(+ зэ+юэ' зэ+юэ' (з.[-сз) ]юэ~ иь, у 3+м (з+п)э+юэ ' з э+5 †з+5 5 рг75 . зэ-[-10з+ 100 (з+ 5)э+75 (э+ 5)э+ ()' 75) (э+ 5)э+ 9~ 75)э )7Т5 ' -'-. е У' соз ] 75 ! — е Э' мп )' 75 !! )' 75 !О 1О У75 . !О ., —. -: —..
е й' мп г' 75 !. за+ !Ох+ 100 (э+5)э+ [)7 75) )775 ]' 75 Окончательно найдем х(1)=1 — е М~ — з!п~ 75)+ссэ)775(~ (1~0), гГ 5 что совпаданг с ранее полученным результатом. Во втором способе вычнсэ щя оказываются менее громоздкими. Пример 2. В САР, рассмотренной в предыдущем примере, имеется начальное рассогласование х (0) =х„, причем начальная скорость х (0) =О, ()предо.
лить процесс изменения регулируемой величины х (!), если к системе не прикладывается управляющее воздействие, т. е. л(1)=0. Из передаточной функции САР Ф(з), полученной в предыдущем примере, следует, что дифференциальное уравнение системы, записанное в операторной форме, имеет внд (0,!рэ+р+ 10)х(!)=10л(г). Преобразуем это уравнение по Лапласу, принимая во внимание начальные условия. Тогда, учитывая, что ю [р*х (~)] ФХ (з) — зх (О) — х (0), Я [рх (!)] = зХ (з) — х (0), я (!) = О, получаем уравнение 0,1зэх И О,!эхе+эх (3) — хе+ [юч (3) — 0 откуда найдем изображение регулируемой величины: зло+ 10хэ зхэ !Охэ э — + зэ+ 1Оз+ !00 (э+5)э+(р' 75)э (з+5)э+(рг75)э з+ 5 бхо У 75 1Охе У75 (з+ 5)э+ 9~ 75)э У75 (з+ 5)э+ (У75) У75 (з+ 5)э+ 9' 75)э з+ 5 5хе )775 (з+5)'+()/7о5) )'75 (э+5)'+ [ "75)э Принимая во внимание результат предыдущего примера, найдем ориги- нал х (!)' 1)= ~ '-' ]25 Это выражение и характеризует процесс изменения регулируемой величины при наличии в САР начального рассогласования хг.
Пример 3. Найти процесс изменения регулируемой величины х(/) в САР, рассмотренной в примере 2 4 16, если управляющее воздействие я(/) 1(/), а начальные условия †нулев. В укаэанном примере было получено дифференциальное уравнение системы, записанное в операторной форме: (О 002рь+0,1224рг+5,146рг+41,32ра+201р+200) х (/) =200 (р+ 1) д (/). Преобразуя это уравнение по Лапласу и учитывая, что Я(1(/)) 1/з, получаем иэображение регулируемой величины х(/) в виде 200 (а+ 1) 3 (0,0(йзь+ 0,1224зь+ 5. 146эа+ 41,3232+20! 3+200) ' Многочлен в знаменателе имеет корпи (см. пример 2 4 !6) за= — 1,28, аа,э= = — 3,75 -г 4,88/, зь, ь — — — 26,21 -ь- 37,!3/, поэтому изображение Х (з) ноже~ быть записано следующим образом: 103 (з+ 1) з (з+ 1,28) (за+ 7,53+ 37,8) (за+ 52,48+ 2055) з 3+ 1,28 3+ 3,75 — 4,88/ 3 + 3,75+ 4,88/ /), /), 2-1-26,2 — 37,13!' 3+26,2+37,13/ ' Определим неизвестные коэффициенты: 1Оь (3+!) а е г о (3+ 1,28) (за+7,53+37,8) (за+52,43-)-2055) В Игп (з+ 1,28) Х (з) = г — 1,28 г а 10ь (3+ 1) 0,375, — !жз з(за+7,52+37,8! (82+52,43+2055) Сь 1цп (3 — ( — 3,75+4,88/)) Х (3) г -3,75+ 4,88/ 1О" (з+ 1) э 75., ь 88/ 3 (а+1,28) (з+3,75+4,88/) (32+52,43+2055) — 0,686+ 0,655/; С,= Игп (8-(3.75 — 4,88/)) Х (3) = г — 3,75 — 4.88/ ! Оь (3+ 1) а 3 75 ь 88/з(з+1,28) (3+3,75 — 4,88/) (32+52,48+2055) = — 0,686 — 0,655/ Оь Игп [3 — ( — 26,2-!-37,13/))Х (з) -эад+зт,!з/ !О'(3+ !) — 282чзт!3/ з(з+ 1,28) (32+ 753+378) (2+26 2+37,13/) = — 0,0023 — 0,016/, Оа= !нп (3-( — 26 2 — 37,13/!) Х (3) г — 25,2 — 37,13/ 1О' (3+!) г -25,2-32,!3/ З(З+1,28) (3'+7,5З+3?,8) (3+26,2 — 37,13/) = =.0„0023+ 0,0016/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
