Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Системная функция характеризует физические особенности динамической системы, в том числе учитывает ее параметры, связи и т. п. Знаменателем системной функции является характеристический многочлен; приравнивая его нулю, можно получить характеристическое уравнение системы: аоУ + агэ + ао = 0 Множитель в квадратной скобке в равенстве (2) содержит сведения об иэображении воздействия, приложенного к системе, а также о начальных условиях. Из (2) следует, что изменение координаты х(1) может произойти или при приложении к системе воздействия г((), или из-за ненулевых начальных условий.
Этот множитель дает представление о причинах возбуждения системы и называется возбуждающей функцией. Таким образом, изображение решения дифференциального уравнения представляет собой произведение системной функции на возбуждающую функцию. Каждая из указанных функций вносит свой вклад в формирование процесса изменения координаты х(1). Структурный облик изображения решения (2) не изменяется и для дифференциальных уравнений более высокого порядка. Заметим, что в состав возбуждающей функции входят правые начальные значения функций х(+0), )(+0) и их производных.
Это утверждение следует из теоремы 2 ~ 43, при доказательстве которой предполагалось„что преобразуемая по Лапласу функция дифференцируема требуемое число раз и существуют предельные значения при г — о-+О как самой функции, так и ее производных. Если функция Г(о) в правой части дифференциального уравнения (содержащей производные) является разрывной, то при ее дифференцировании появляются дельта-функции н их производные, 149 которые можно считать преобразуемыми по Лапласу лишь условно (см. п. 7 2 43).
Если использовать формулы (8) 2 43 при определении изображений дельта-функций и их производных, то необходимо положить )(+О) =у'(+0)=...у(х-') (+О) =О. В самом деле, изображение, например, дельта-функции Я[6 (1)) 1; однако, если непосредственно применить теорему 2 2 43, то найдем, что Ж[6(!))=*Я ~ — „, 1= аЖ(1(1)) — 1(+О) = з —,— 1=0. Получили неверный результат, поэтому необходимо считать в данном случае, что значение ! (+О) равно не единице, а нулю.
Такие же рассуждения имеют смысл и при определении изображений производных от дельта-функций. Учитывая сделанное замечание, в формуле (2) следует положить Д, О, если например, )'(!)=1(1). При этом Р(з)=1/з и изображение решения примет вид Особое внимание при решении дифференциальных уравнений, в правой части которых входят дельта-функции и их производные, следует обращать на определение начальных условий, так каи в 'этом случае правые и левые начальные условия могут не совпадать, лзх бх Прлмер б.
Найтн решение уравнения (см. пример 1 $16) — +2 — +х = би Ф вЂ” где л(0=1(0 н заданы левые начальные условия х( — 0)=0, дя бт ' х' ( — 0) =О. Предположим, что х(+О)=х( — 0), х'(+0)=х'( — 0). Тогда, преобразуя уравнение но Лапласу н учитывая, что --=6(т), ю[6(Г)[=1, получаем алгеббд и) ранческое уравнение относительно изображения Х(з): зеХ(з)+2аХ(з)+Х(з) 1, откуда Х(з) = —. 1 (а+1) ' Учитывая формулу (23) $43, будем иметь решение двфференцнального уравнения в виде х(0 ге г (С)О). Проверим, удовлетворяет лн найденное решение заданному днфференцвальному уравнению н начальным условиям. Имеем — (1 — 0 е, — ( — 2+ Ое йх г лзх г лт ' дгз Подставляя зтв выражения в левую часть дифференциального уравнения, най.
дем, что о — +2 — +х ( — 2+1)е ~+2(1 — 0е ~+Ге г О. Лзх лх Таким образом, найденное решение не удовлетворяет исходному днфференцнальному уравнению. Так как х (+0) =Ге г [г че О, х' (+0)=(! — 0 Х Х е ' [т че 1, то начальные условия также не удовлетворяются. 150 Однако полученное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению изх 2)з Й вЂ” — +2 — +к=о и начальным условиям х(+0)=0, х'(+О)=! Так как Ь(!)=0 при ГФО, то при 1~0 найденное решение удовлетворяет также н заданному дифференциальному уранненню.
Покажем, как изменить полученное решение, с тем чтобы оно удовлетво- гЬ ряло исходному уравнению н заданным начальным условиям. Пусть ог = (! — 1) е г ° ! (Г), т. е, при 1=0 первая производная от решения имеет разрыв ачх непрерывности первого рода; тогда — „=- ( — 2+ Г) е ° 1 (1) + 6 (Г). Подставляя указанные выражения в исходное дифференциальное уравнение, получаем, что его левая часть будет равна не нулю, а б(1).
Таким образом, если считать первую производную от решения разрывной функцией, то заданное дифференциальное уравневне и начальные условия будут удовлетворяться. Из последнего примера видно, что если в правой части дифференциального уравнения содержатся производные от разрывных функций, то при определении изображения решения следует в формуле (3), а также в формулах (8) 2 43 учитывать вместо правых левые начальные условия. После нахождения решения уравнения в соответствии с формалыюй процедурой его следует подвергнуть тщательному критическому анализу и должным образом доопределить, вводя в рассмотрение производные от решения, скачкообразно изменяющиеся при 1= О.
2. Уравнения с переменными коэффициентами. С помощью преобразования Лапласа можно выполнить интегрирование некоторых видов обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Пусть задано линейное обыкновенное дифференциальное уравнение цз Я вЂ” „,„-~ а, (1) „„, +... +а„т(1) — „+аз(1) х(1) =1(1), (4) причем коэффициенты этого уравнения а1(1) (1=0,1, 2, ..., и) являются многочленами от 1*!. Уравнение такого вида может .быть преобразовано по Лапласу, если воспользоваться теоремой 9 2 43, из которой следует, что дифференцирование по з изображения Х (з) оригинала х (1) соответствует операции умножения этого т оригинала на переменную 1 с изменением знака на обратный, т.
е. Ж [гх (1)1 = — —. Х (з). г( (5) Если оригинал х(1) умножается на 1л, то изображение этого произведения определится равенством Х (!ах(1Ц = ( — 1)" — „Х (к). з~ Операционное исчисление может быть использовано также при интегрировании обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами; см., например: Левин штейн М. Л.
Операционное исчисление и его приложения к задачам электротехники. аЭнергияэ, !964. 15! Из теоремы 2 $ 43, с другой стороны, известно, что изображе- ние производной и-го порядка есть Ж ~ — „„~~ = з"Х (з) — ~~ з"-"х',(а-"(О). Ь-1 (7) С помощью формул (5).— (7) могут быть образованы следующие соответствия: х (Е) —: Х (з), 8х (() —: — — Х (з), (вх (1) —: — Х (з), г( в . г(а бх (1) — —:зХ(з) — х(0), г и.
-.'— — — „-зХ(з), (а — —:„— зХ(з), бх(1) . г( бх (О . ба спх(1) я — 1зЯХ(з) — зх(0) — х'(О), 1 —,—: — — „заХ(з)+х(0), гвх (О рчрх(г) . г(а в — -: — — УХ(з) и т. д. й~ ~Ьт ' бзх г(х Пример б. Найти решение уравнения à — + — +Гх=о с начальными бтз бт условиями: при Г=О х(0)=1, х'(0)=0. Пусть х(Г) —:Х(а). Преобразуя заданное уравнение по Лапласу и принимая во внимание приведенные выше соответствия, получаем уравнение относительно изображения — — ааХ (а)+х (0)+аХ (а) — х(0) — — Х(а) =0 гЬ пз или (0+1) ()+зХ(а) =О.
Это уравнение также имеет переменные козффинненты, но является более простым, чем исходное, поскольку имеет разделяющиеся переменные. Разделяя переменные, получаем ЙХ(а)/Х(а) -яЬ/(У+1) и после интегрирования найдем 1 1п Х(а)= — — 1п(за+ 1)+с', или Х (а)=су)гР+1, 2 где с — постоянная интегрирования. 152 Преобразуя уравненве (4) по Лапласу с учетом указанных соответствий, приходим к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению относительно изображения Х(з); порядок этого уравнения равен наивысшей степени (, имеющейся в коэффициентах исходного уравнения. Решив уравнение относительно изобрах(ения Х(з), т. е.
определив это изображение, можно способами, рассмотренными в 2 44, перейти к оригиналу х(1), который является решением исходного уравнения. Целесообразность преобразования по Лапласу уравнения с переменными коэффициентами состоит в том, что преобразованное дифференциальное уравнение оказывается более простым, чем исходное уравнение. Для определения значения с воспользуемся теоремой 11 $ 43 о начальном значении оригинала с 1йп к(1)=х(0)= !йп зХ(з)= 1пп з — с; 1 о Б со 3 Оэ т д+! следовательно, постоянная интегрирования с=х(0) 1. 1 Определим оригинал, соответствующий изображениго Х(з)= —, для 'г' зз -(- 1 чего используем таблицу соответствий (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
