Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с теоремой Морера (см. 9 27) изображение Р (я) будет аналитической функцией в полуплоскости цея)са, если, во-первых, в этой полуплоскости функция Р(я) непрерывна и, во-вторых, ее интеграл вдоль м При таком определении следует допустить существование и отрицательных значений с,. 'ю См., например: Фи хтеи гол ьц Г. М.
Курс лнФференциального н интегрального исчисления, т. П. Фнзматгиз, !962, с. 669. любой замкнутой кривой, расположенной в этой полуплоскости, равен нулю. Непрерывность Р (з) при гче з > са вытекает из доказанной выше равномерной сходимости интеграла Лапласа в указанной полуплоскости относительно параметра з. Проинтегрируем функцию Е(з) по какому-либо произвольному замкнутому контуру (, расположенному в полуплоскости Кез ) с,: !г>>г -!(!»» а)гк ( г (о Интеграл Лапласа при Вез)сз сходится равномерно, в этом случае, как известно з', можно изменить порядок интегрирования в правой части написанного равенства: )г Г (з) с(з = ) / (/) (') е-" с(з1 Й. э Подынтегральная функция во внутреннем интеграле яв)гяется функцией аналитической, поэтому в соответствии с теоремой Коши внутренний интеграл равен нулю.
Следовательно, выполнено и второе условие теоремы Морера. ° Приведем примеры нахождения изображений. Пример 1. Найти изображение единичной ступенчатой функции (см. рис 106, а) ( 1 при 1~0, 1 (г) 0 при Г (О. Учитывая равенство (1), при Коз) 0 имеем ,й (! (Г)) — ~ 1 (1) е-гг Й )г е-зг >/Г з-гг/з ~ 1/з о - о Следовательно, справедливо соответствие 1 (б: !/3, нли Ж (1 (б) = 1/3 (6) Абсцисса абсолютной сходимости для функции 1(Г) сз О.
Изображение 1/з при з=О имеет особую точку — полюс. При КозО интеграл Лапласа, вообпге говоря, расходится, поэтому изображение определено в полуплоскости, для иоторой Ке з) О, в втой полуплоскостн оно является аначитичаской фуннцией. Пример 2. Найти изображение функции /(Г)=с">1 (1), где а — действитель- ное или комплексное число (на рис. !38 изображена усеченная экспонента при действительном а ( 0). Имеем Я[за>1(Г)) ~зо>1(Г)е гг>!Г )е 'з п>г>!Г. При Ке(з — >х)) О, о > т.
е. прв Коз) Кем, о» з-и-а>г»» з и "а>г>6 г — >х !о з — а ч> См., например: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т П. Фнэматгиэ, 1962, с. 716, 1!5 Получили соответствие ео!1 (/) — ' —, или 1 з сс а — а Для рассматриваемой функции абсцисса абсолютной сходимости с,=Кеа.
1 При Кез) Кем изображение всюду определено и являегся анвзитн- 5 — сс ческой функцией. Наличие у функции з"'! (/) в последнем примере множителя ! (/) обеспечивает выполнение условия 2 существования оригинала. В дальнейшем будем полагать зто условие выполненйым и при записи функций, подлежащих преобразованию по Лапласу, опускать множитель 1 (!). Например„ соответствие (7) будем кратко записывать следующим образом: Ж (е"т] = —, Рнс. 138. При этом будем подразумевать, что преобразовывалась по Лапласу функция е ! ем при /)О, ет1(!) =~ ( 0 при !<О. Пример 3.
Найти изображение функции /(/)=Ь Интегрируя по частям, получаем при Кез) О СО СО Я ]/]= ~!е " гй — /е и/з ~ + — е и о( = — е зг/зз ~ ]о з ~ ]з зз' о следовательно, 1 ' 1/зз, или Х(/]=!/за. Повторным ийтегрнрованием по частям легко показать, что Я (/в] п1/за+1 (8) где л)0 — целое число. Р (з) = ~ / (!) е " г(! (9) причем здесь )(!)ФО при !(О. 116 Интеграл вида (1) определяет одностороннее преобразование Лапласа.
В некоторых случаях в теории автоматического регулирования используется двустороннее преобразоииие Лапласа, которое задается равенством Для существования изображения (9) необходимо, чтобы интег- рал ~ (1(!)1в-"сУ был сходящимся. Этому требованию не удовсо летворяют многие функции, например функции г (!) = сопз(, !(!) =Аз(пы(, !(!) =А совой и др.; поэтому применение двусто- роннего преобразования Лапласа в теории автоматического регу- лирования является ограниченным. В дальнейшем под преобразованием Лапласа будем понимать именно одностороннее преобразование (1). 3.
Формула обращения. Для перехода от изображения Р(з) к ему' соответствующему оригиналу !(!) необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа. В следующей теореме опреде- ляется аналитическое выражение оригинала через изображение.
Теорема 3. Оригинал) (!) в точках непрерывности определяется равенствам с+ /со ! 1(!)= —. ~ Р(з)г" йз, 1 (1О) 2п! где Р(э) — иэображение по Лапласу оригинала !'(!), а интеграл в правой части этого равенства понимается в смысле главного значения, т. е. с+ !со с+ !оо Р (з) г" дз = Ип1 )с Р1в) е" сЬ, с-!оо 'о ос — Но и берется вдоль прямой, параллельной мнимой оси и расположенной в полуплоскости Кез)со. Доказательство. Теорема будет доказана, если окажется возможным показать, что с+ !оо Иш 2 . ~ Р(з)го да=!'(1).
1 2п! с — усо Принимая во внимание равенство (1), найдем с+ яо с+но со 1 сн:с*-1,1 (!м с .с. с — !и с — !со 5 Интеграл Лапласа, как показано выше, сходится при Вез=с) с, равномерно относительно параметра з, поэтому в правой части этого равенства можно изменить порядок интегрирования, при этом получим с+ !е со с+!а 2' г () 2 с-яо о с-!со 117 Так как с~+ ~а ~с+ (а е'к-низ= — е'о-о~ с — т ~с — ас с — са (е~с+~аси с~ — а~с тана ~)) =21есп сс — — 1 с — т то имеем с+та сс с- ) с-~а Введем новую переменную т — 1= $, кроме того, положим ~(г)е-а=ср(1) то да с+/а ОО 2ф — ( Р() " Ь =-' " ~ И+1) -'"'" ""' ж = и Д с-/а = — е" ~ грант+ ~-) — чг(т), где г)=е4, или «+ /а ОЭ вЂ” г (з) е" дз = †„ е" ~ [ср ~ 1 + '1 ) — гр (Д)~ †""„ Ч й~ + с — та — ас +-.'-~(1) ~ — '",'" (и.
(11) — ас Рассмотрим пределы каждого из интегралов в правой части равенства (11) при в-а со. Как известно, ~ ~~ й)=п, поэтому и 1пп — 1" (1) ~ — "' ~ Й)=1(1). (12) а со Ч Интеграл в первом слагаемом правой части равенства (11) представим в виде суммы трех интегралов: ~ [~р1г+ ),'р(1)~ ~(т)= ~ [ф(1+ ) (1)~ф от1+ -ОФ вЂ” са о ОЭ с- 1 (с(«-с)-са) — ",""ссс)(с(~с.с)-са)~сс. функция Г (1) является оригиналом, поэтому функция ~р (1) в интервале (О, со) ограничена. Все трн интеграла в правой 118 части последнего равенства являются сходящимися, т. е. можно подобрать постоянные значения мс и (с настолько большими, что модули интегралов по интервалам ( — ыс, — мс() (где зс) ыс произвольно) и (11, оо) будут меньше всякого наперед заданного и сколь угодно малого положительного числа з.
Далее, значе- ния 1 характеризуют собой точки непрерывности функции ((1), т. е. при фиксированном г) имеем 1пп ср(1+- — ~ <р (1); поэтому с1 1 и сс сс 1 при сэ-с-оо модуль интеграла по интервалу ( †(, 1)) стремится к нулю. Следовательно, 1пп — есс ~ ~~р(1+ Ч ) — ср(1)~ ип Ч с(П 0 Из равенства (11) окончательно найдем с+/сс 1пп —. ~ Р(э)е*'с(э=[(1). В 1 2я/ с — гсс Формула (10) называется срорлулой обращения. С ее помощью устанавливается связь между изображением Р(з) и ему соответствующим оригиналом 1 (1).
Процесс получения оригинала по заданному изображению Р(э) представляет собой обрагпное нреобразоеание Лапласа. Это преобразование состоит в умножении Р (е) на еи, интегрировании по з получившегося произведения вдоль прямой, параллельной мнимой оси, н делении интеграла на 2п1. Символически обратное преобразование Лапласа записывают в виде ° ~" (Р(з)) =1(1) (1) О). (13) Условие 1 ~ 0 учитывает то обстоятельство, что оригинал 1(1) = 0 при 1(0 (см. 5 44).
Следует подчеркнуть, что формула (10) определяет оригинал только в точках его непрерывности. Однако оригинал 1(1) может иметь точки разрыва непрерывности первого рода. Методом, аналогичным использованному при доказательстве теоремы 3, можно показать, что в точках 1 разрыва непрерывности оригинала имеем .+ь 11щ й У Р(я)еис( — [И(+О)+[(1-ОН (14) с — /сс Следовательно, формула обращения определяет оригинал 1 (1) по изображению Р(з) с точностью до значений в точках разрыва непрерывности. Оригиналу всегда соответствует единственное изображение, которое может быть определено по формуле (1), так как значения оригинала в точках разрыва непрерывности не изменяют вида иэображения.
Однако одному и тому же иэображению можно поставить в соответствие множество оригиналов, значения которых отличаются друг от друга лишь в точках раз- 11Э рыва непрерывности. Если оригинал ) (1) является диффереицируемой функцией всюду в интервале 0(1(со, то оригинал по заданному изображению определяется однозначна. Следующая теорема устанавливает достаточные условия, при выполнении которых функция Р(а) является изображением.
Теорема 4. Если функция Р(з) аналитична е полуплоскости ссез) с„стремится к нулю при ~ з1-э-со в любой полуплсскости 1се е ) с ) со равномерно относительно агй з и интеграл с+ 1оо Р (в) йз абсолютно сходится, то Е (а) является изобразкением с — 1со функции с+ 1со ~(О= — „. ~ Р(з)е™сЬ. 1 рп1 с — 1со Данную теорему примем без доказательства о1. Из теоремы 4 ясно, что не все функции Р(з) комплексного переменного е могут быть изображениями. В частности, не являются изображениями периодические функции, например, вида е", созе, з(па, несмотря на то что зти функции являются аналитическими во всей плоскости з.
4. Связь преобразований Фурье и Лапласа. Формула (1) прямого преобразования Лапласа может рассматриваться как результат определенным образом построенного обобщения одностороннего преобразования Фурье. Пусть, например, функция ) (1) довлетворяет условиям Дирихле в интервале Оо= 1 ( со, причем (() =— 0 при 1 О. Как известно (см. $ 35), преобразование Фурье может быть применено к функциям 1((), для которых интеграл ~ 11' (1)1й( о существует (условие абсолютной интегрируемости). Этому условию не удовлетворяют многие функции, используемые при анализе процессов в автоматических системах, например функции 1(1), А з(пго(, А сазпсс, е" (при действительном а) О), 1 и др. Для того чтобы иметь возможность подобную функцию 1(1) преобразовать по Фурье, предварительно ее надо умножить на множитель е- ', где вещественное число с) с, выбрано таким образом, чтобы интеграл ( Ч(1) ~е- й (15) о был сходящимся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
