Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Зтот годогрвф нзобракен на рнс. 127, а. Указанный годограф не охватывает точку ( — 1, /О), поэтому внутренний контур сястемь) устойчив. Исследуем теперь устойчивость системы евтомвтнческого регулнровзння в целом. Передаточная функция системы с рззоыкнутой главной связью есть 5'(р)=П (р) . Передаточная функцня последовательного корйго (р) димо, во-первых, построить амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (20) и, во-вторых, дополнить зту характеристику дугой бесконечно большого радиуса с центральным углом, равным — т —.
На рис. 126, а, б пунктиром показаны дуги для систем, содержащих соответственно одно и два интегрирующих звена (системы первого и второго порядков астатизма). Используя таким образом полученный частотный годограф, можно с помощью критерия Найквиста исследовать устойчивость автоматических систем с интегрирующими звеньями. Если точка ( — 1, )О) расположена вне ректируквщего устройства П(р)=, поэтому 80(р+ 1) 0,1р+1 200 (р+ 1) р 1(рз+1,2р+1) (002р+1)+40р) (0,!р+1) Положив р=)ю, получим амплитудно-фазовую характеристику 1Р ()ю) разомкнутой системы. Годограф этой характеристики изображен на рнс.
127, б. Так как годограф не охватывает точку ( — 1, /О), то в соответствии с критерием Найквиста система яаляегся устойчивой. й 41. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 1. Гармоническая линеаризация нелинейиостей. Гармоническое представление сигналов может быть положено в основу приближенного метода исследования периодических режимов в нелинейных автоматических системах.
Наличие в системе одного или нескольких нелинейных звеньев при опреф деленных условиях приводит Рис. 127 к появлению в системе пре- дельных циклов (см. 2 14)„ параметры которых — амплитуда и частота — могут быть приближенно определены путем гармонической линеаризации нелинейности. Предположим, что в структурной схеме автоматической системы, к которой не приложены внешние воздействия, выделены линейная и нелинейная части (рис.
128). Линейная часть системы представляет собой совокупность определенным образом взаимосвязанных линейных звеньев системы. Эта часть описывается линейным дифферен- Рис. 128 циальным уравнением с постоянными коэффициентами. Нелинейная часть системы является совокупностью определенным образом взаимосвязанных нелинейных звеньев.
В частном случае зто может быть, например, одно звено с нелинейной статической характеристикой. Нелинейная часть описывается нелинейным дифференциальным уравнением. Для ряда простых нелинейных звеньев уравнение динамики сводится к уравнению статики, имеющему нелинейный алгебраический характер. В дифференциальном или алгебраическом уравнении нелинейной части всегда имеется нелинейность, т. е. по крайней мере одна нелинейная функция, обусловливающая нелинейный характер динамических явлений в автоматической системе. Нелинейные функции могут иметь различный характер.
При исследовании автоматических систем, например, часто встречаются уравнения нелинейных частей, в которых под знак одной или нескольких нелинейных функций входит только одна входная координата х, (и ее производные) или только одна выходная координата х, (и .ее производные) нелинейной части системы. Такие уравнения имеют вид «2 =~ («1)~ К2 =1 (Хг~ Хз)~ Хз =~г (Х~) +1т (Хт), (1) ((Ха, «2) =Ко ~1 (Хм Х,)+~з (Х~) =Хь В более сложных случаях под знак нелинейной функции входят обе координаты хг и х„ например в уравнениях вида ~а(хм «2)=~1(хг) ~э(хи)+~э(хэ)=)т(х1), (2) 1(х„хь «1)=О, 7,(х,)+1,(х„х„) =О.
рассмотрим основную идею гармонической линеаризации нелинейностей. Пусть уравнение линейной части автоматической системы будет В, (р) хт (1) = — М, (р) х, (1), (3) где .0„(р) и М, (р) — операторные многочлены вида (2) Я 39, а уравнение нелинейной части, например, задано в виде Х,=~(хь х,). (4) Предположим, что в системе (рнс. 128) возник периодический режим (предельный цикл), т. е. при отсутствии внешних воздействий существуют собственные периодические колебания нелинейной автоматической системы. Изменения выходной коордняаты линейной части будем считать подчиняющимися синусоидальному закону хт (1) = А з(п о( с амплитудой А и частотой в.
В действительности периодические колебания на выходе линейной части не являются синусоидальными. Однако, как отмечено ниже, форма этих колебаний во многих случаях близка к синусоиде. Сннусоидальные колебании х„ пройдя через нелинейную часть системы, существенно изменяют свою форму. Периодические колебания на выходе нелинейной части х, всегда несинусоидальпые.
вид этих колебаний зависит от характера нелннейностей нелинейной части системы. На рис. 129 показано, например, прохождение синусондального сигнала ке через нелинейное звено релейного типа с идеальной статической характеристикой. Частота периодических колебаний на выходе этого звена совпадает с частотой в колебаний на его входе. Прямоугольная форма колебаний на выходе существенно отличается от синусондальных колебаний на входе звена.
Выполнив разложение функции х,(г) в ряд Фурье, можно представить прямоугольные периодические колебания в виде суммы гармонических составляющих (рис. 129) различной частоты. Каждая нз составляющих воздействует на линейную часть автоматической системы. Однако линейная часть Лереая гарзяяаяа Рис. 129 системы, как правило, является «фильтром низких частот».
Ее 1М бм) амплитуд~9-частотная характеристика ( ((я, (еея) ( = ~ - а —.— ~ удов- , ((М летворяет соотношениям причем ~-э 0 прн Й-~со. !.'(:. ) м„()ьео) л ((~е) Это означает, что высшие гармоники (прнменительно к рнс. !29 третья, пятая и т. д.) сигнала на выходе нелинейной части пройдут через линейную часть, будучи значительно уменьшенными по амплитуде. Кроме того, следует учесть, что амплитудные значения гармоник разложения тем меньше, чем больше номер гармоники. Эти обстоятельства позволяют сделать вывод, что х»=Г(А сйп оМ, А«асов «»1).
(6) Разложим функцию х,(1) в ряд Фурье: хо= «+ ~ (а» сов Ьо««+Ь»в!пй«о1) (7) Введя новую переменную и=о»1, определим, учитывая формулы (9) — (11) з 34, коэффициенты разложения а„ао, Ь„: а,= — ~ г(А в!пи, А«осови)«(и, 1 С (8) о ао = — 1' (А в»п и, Ам сов и) сов Ии «1и, 1 о" (9) Ь»= — ~1(А в!пи, А«осови)в!пйио(и 1 Г о (й= 1, 2, 3, ...); (10) следовательно, хо = 2 — ! (А в1п и, А«о сов и) «1и+ 1 Г ) .«-„.~[)~<»ч .
А ш ) й «щ~« ~~. 1 о ~ о .«1н« ' » >о ь« ~ ы]. оо о Предположим, что периодические колебания хо(1) имеют симметрический характер, т. е. в. разложении (11) нет постоянной 4 о/р, ч«»кое«о»«Б. К„«. в в образовании сигнала на выходе линейной части основную роль играет первая гармоника сигнала, поступающего на вход линейной части системы. Таким образом, несмотря на то что нелинейная часть автоматической системы «генерирует» гармоники, можно рассматривать в качестве сигнала на выходе нелинейной части лишь первую гармонику и пренебрегать участием высших гармоник в формировании сигнала на выходе.
линейной части. В этом случае в качестве выходного сигнала линейной части можно рассматривать синусоидальный сигнал (5). Такой взгляд на процессы, происходящие в нелинейной автоматической системе, позволяет гармонически линеаризовать уравнения нелинейной части системы. Выполним гармоническую линеаризацию уравнения (4), которое после подстановки (5) получим в виде составляющей. Кроме того, пренебрежем в этом разложении в соот.
ветствии с приведенными выше соображениями второй, третьей и другими высшими гармониками. Тогда вместо равенства (11) приближенно получим 2ч 1Г ха= — „)(Аз(пи, Авсози)созийисозгет+ 2к + — „1~(Аз1пи, Аысози)з(пис1из(пела. (12) 1 Учитывая, что з1пге(= — „", сох Ы=+, и введя обозначения к„ д(А, в)= — — 1(А з(пи, Аасози) з(вийи, г д' (А, со) = — „„. 1(А з1п и, Ам сов и) соз и йи, 1 (15) (14) получаем приближенную запись сигнала на выходе нелинейной части снстемы д'(А, в) . х,=а(А, ы)хг+ „' х,. (15) (15) хе — — 1 (хг), то гармонически линеаризованное уравнение нелинейной части имеет вид х, = а (А) х, + — „Хм е' (л) (17) В этом случае коэффициенты гармонической линеаризацйи не зависят от частоты а синусондального сигнала на входе нелинейной При постоянных значениях амплитуды А и частоты ы синусоидального сигнала на входе нелинейной части коэффициенты гармонической линеаризации д(А, а) и д'(А, в) имеют постоянные значения, определяемые формулами (13) и (14).
Уравнение (15) представляет собой гармонически линеаризоеанное уравнение нелинейной части автоматической системы. Другими словами, нелинейное уравнение (6) при гармонической линеаризации заменяется линейным уравнением (15), коэффициенты которого д и д' зависят от значений параметров А и ы синусоидального сигнала хм Если выходная координата х, нелинейной части системы не зависит от величины производной х, входной координаты, т. е. имеется нелинейность части и определяются равенствами д (А) — А 1 (А $1п и) 31п и с(и~ г (18) д' (А) = „— у (А з!и и) соз и г(и. (! 9) эы ы ы 1 Г 1 ((г д (А) — 1(А ап ы) з)п ы Аы — с з!и и Ии+ 'э = с в(п ы г(й = А~ пА ~й ! й.
Из ы+ыэ 1(Р Г . 1 с — ~ сз(пийи — зв сап н Ии ~ — ( созп)ыг+созп!к+аз) пА Ц 3 ~ А( О41 1 и+ы, 20 — (соз вт — соз из). пА По Формуле (19) аналогично получим д' (А) ° =. -~- (з)п н, — в1п мзь Так кав 2с Ь тЬ Ь и! вгсз!и —, аз и — агав!и — з)п ы, ь —, Ып ьз гнЬ(А„ А' А' ' А' оса ы4 )/! — Ьз(АЗ, ссз из — )Г! — л Ь7Ав К уравнениям вила (16) могут быть отнесены, например, уравнения нелинейных звеньев, статические характеристики которых имеют петлю гистерезиса (рис. 130, а, в). На рис. 130, а изображена характеристика нелинейного звена релейного типа с петлей гистерезиса.
Наличие петля гнстерезиса приводит к неоднозначной зависимости х, от х„при этом значение хз зависит не от величины, а от знака производной х,. Применительно к характеристике на рис. !30, а при 21 ° 0 рабочей является правая ветвь характеристики, а при 21~0-левая ветвь характеристики. Второе слагаемое в правой части уравнения (17) учитывает указанную зависимость х, от знака производной х,. Если статическая характеристика нелинейной части является однозначной, т.
е. без петли гнстерезиса (рис. 130, б). то х, не зависит нн от величины, нн от знака производной х,. В этом случае гармонически линеаризованное уравнение нелинейной части имеет вид х,=в(А) хы (20) где в(А) определяется равенством (18). Коэффидиент в'(А) для таких нелннейносгей равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
