Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В этом ояучае функция— гв()ы) называется комплексным сопротивлением (импеданцем) системы. Исходя из формулы (6), амплитудно-фазовая характеристика может быть определена так же, как отношение спектральной характеристики сигнала на выходе системы к спектральной характеристике сигнала на ее входе.
Модуль амплитудно-фазовой частотной характеристики (Ф (/го)~ характеризует изменение амплитуды гармонического сигнала при прохождении последнего через систему, а аргумент ее — фазовый сдвиг сигнала. Функция 1Ф()ео) ~ получила название амплитудно-частотной характеристики, а функция агд Ф (гго) — фаза-частотной характеристики системе!. Пример 1. Определить частотные характеристики линейной автоматической системы, описываемой дифференциальным уравнением нторого порядка (Тер'+ йаТр+ Ц х (т) = йу (1).
[11) Здесь Т вЂ” постояннан времени системы, й — коаффициент относительного затухания, й — коаффицнент усиления систеиы. 76 По формуле (41 найдем амплитудно-фазовую частотную характеристику, соотвегсгвунвпую уравнению (11): й 4 " ) =То((в)о+от )в+1. (12) Изображающий вектор амплитудна-фазовай характеристики при изменении в ат О до со описывает своим концом кривую (рис. 114).
Каждой точке на этой кривой ставится в соответствие вполне определенное значение частоты в. Имея такую характеристику, легко определить с учетом формулы (9) значения амплитуды и начальной фазы вынужденных колебаний х (Г) на выходе системы при наличии на ее входе гармонического управляющего воздействия Л (Г) = Аг мп вгг (рнс.
115). ймплитудно-частотная характеристика имеет вид Ггу' (Ф()в) (= 7 ()в) +хйТ(в+1 ~ =! й (13) Рг(1 — Т"оР)з+4Д'7еоР а фаза-частотная характеристика определяется раненствам 74Тв агй Ф Цв) = — ага!2 (14) Найдем максимальное значение (Ф Цв) ), для чего определим минимум под. коренного выражения в знаменателе правой части равенства (13). Имеем бв — ((1 — ТзоР)з+ 4$эрзоР) = 2 (1 — ТзоР) ( — 2Тзв) + й~зТтв; приранняв правую часть этого равенства нутю, найдем ТзоР+звз — 1=О. Следовательно, экстремум (легко показать, что это максимум) амплитудно-частотной харакй)Ф(( тернстики будет существовать при частоте б)ф г47 Рис. !14 ~/ 1 феоа в — < —.
(15) 77 При атом значении частоты модуль изображающего веку%~ ) тора амплитудно-фазовой ха- рактеристики имеет наибольРис. 115 шее значение (см. рис. 114). При с О частота в сонпадает с собственной частотой в колебаний системы, т. е. во вс — ° 1 (16) Подставив значение в, в равенство (13), найдем максимальное значение амплитудно-частотной характеристики: (17) Чем меньше значение Э, тем больше величина ) Ф ((ы) ).
При С -ь 0 1Ф(/а)1-ьсо. На рис. 1!6 а, б изображены графики функции )Ф(гы)( и 401 гт~ а Е В' В гпТ агн (Ф)ю) для различных зна- чений $. 3тн графики удобны при анализе изменения амплитуды и сдвига фазы гармонического сигнала при его прохождении через линейную антоматическую систему, описываемую уравнением (11), В ндеальной автоматической системе должно выполняться равенство х (Г) =д(Г), однако в реальной системе оно не выполняется.
При малых значениях угловой частоты а гармонического управляющего воздействия л (Г) значения )ФЦа)) близки к единице, а фазовые сдвиги агйф фо) незначительно отличаются от нуля (рис. 116); поэтому для малых значений ы можно приближенно считать сигналы л (Г) и я (Г) разньпчи ~()Р л фВ друг другу. При частоте а=ге, амплитуда регулируемой величины Я 1Ф ()ю,) ( Рис.
116 имеет максимальное" значе- ние; при этом фазовый сдвиг агй Ф()а ) гармонического сигнала на выходе системы по отношению к гармо. ннческому сигналу на ее входе близок или равен 90'. При а) а амплитудно- частотная характеристика быстро уменьшается, а фазовый сдвиг увеличивается.
В атом случае амплитуда регулируемой величины становится меньше амплитуды управляющего воздействия. Автоматическая система не успевает отрабатывать гармонический входной сигнал, изменяющийся с большой частотой. Пусть воздействие й((), приложенное к автоматической системе, представляет собой комплексную гармонику с частотой го, (см. и. 5 2 34), т. е. д(1) =е)е". Реакция системы на подобное воздействие в установившемся режиме определяется равенством 1 х(г) = — ~ Ф()в) У (едмг) е)"гч(в. Или, используя формулу Эйлера и учитывая формулы (30) и (35) 2 37, получаем х (() = — „~ Ф ()в) (и [6 (в — аг) + 6 (го+ вг)(+ тг [6 (в — в,)— 1 — 6(в+в,)1) е)"Чв= ~ Ф()в) 6 (оз — вг) едм г(в. Интеграл в правой части этого равенства найдем, используя фильтрующее свойство дельта-функции.
Тогда искомое значение х(() определится выражением х (1) = Ф ()в,) ег"' (18) Следовательно, для того чтобы получить в комплексной форме установившуюся составляющую реакции системы на воздействие в виде комплексной гармоники с частотой в„необходимо значение амплитудно-фазовой частотной характеристики системы Ф((вг) умножить на ег" '. Амплитудно-фазовая частотная характеристика Ф()в) может быть использована не только для анализа установившихся колебаний на выходе автоматической системы, но и для определения процесса регулирования в целом. В последнем случае момент времени гз приложения к системе управляющего воздействия удобно считать нулевым моментом времени и воспользоваться формулами одностороннего преобразования Фурье. Определив спектральную характеристику и (й())) и найдя спектральную характеристику регулируемой величины по формуле У (х(г)) =Ф()в) Х (д(() ),, (19) изменение регулируемой величины х(() после приложения воздей- ствия д(() находим с использованием формулы (9) 9 36.
Пример 2. Определить характер изменения регулнруемой величины л(т) в автоматической системе, описываемой дифференциальным уравнением (11), если управляющее воздействие я(Г) имеет вид: (а-е' при 1) о (а) О). 1О при )~О; 2) я(г)=1(г). Начальные условия системы — нулевые.
Для псриого вида управчя!ощсго воздЕйетВИя «(т) СПЕКтраЛЬНая ХараКтЕрИСтИКа (СМ НрНМЕр 3 $ 30) гя (я(1)) = 1 = — н спектральная характеристика регулируемой пслпчппы с учетом се+ )ы 1 А Фч"~ "(ел !*(е! — — г — — т ш ження, очевидно, удовлетворяет условй!о леммы 7Кордана, поэтому для нахождения х (1) можно воспользоваться формулой (9) $36: '(1)='Х "и(+ )( )'+ЖТ +1)! -, (1)0) т=! Здесь ы„ †особ точки спектральной характеристики тг (х (т)), расположенные в верхней полуплоскасти. Особые точки названной спектральной характеристики есть Т' Все они расположены в верхней полуплоскости, поэтому — й я(Г)= — Х вЂ” гг — 'и(-~ е п.~.( эД ~ г~ ( $г й! е г2 1 у! ~е Т Х ' Т)'1:Г~)~ (1 0).
1 80 з «ьг "- ("-(Ф~ ФИ"-(-г -+Ф)1 й е о' 1 $1 — $ + ~( — (ф)'~:~ +(ф)Ц1 — ( — -'-й"В'+! фД ('- -~+-1 г! ет , '(т т) -- 1- 1 — .$ .12 — ) 1 — и'+1 — 1! — у1 — й' Т Т 1)т < 1 ~ — у т'Т-В*+1-Ц ! е (-)г-т $-+Ф '-]) е )~ ( ~1.+/ ! тl! 1з)г ~1 ),г — „.
/ 3Я вЂ” (т — )тт:1))! +" Х Окоячательно получим й ! ~ О; при ! ~ О к (!) ьв О. Для второго вида управлянянего воздействия я(0=1 (г) найдем изменение регулируемой координаты к(Г), выполнив в последнем раненстве предельный переход при и-~.о. Тогда при !) О получим л(г)=й 1 — е т' )соч — )l! — йз)+ — ап — 1'1 — йаЯ г' ! и т )г! е. т ф при (~О к(!) =О. 2. Связь между частотнымн и временнймн характеристиками линейной системы. Пусть имеется предварительно невозбужденная (с нулевыми начальными условиями) линейная автоматическая система (рис. 117), причем ее амплитудно-фазоная частотная характеристика по отношению к управляющему воздействию есть Ф()ьз).
Предположим, что в момент вре- ~~~) чз()аз) мени ! = 0 на вход системы подано т(') Нуе) управляющее воздействие в виде дельта-функции, т. е. д(()=6((). Реакция Рнс. 117 х(!) системы на это воздействие называется изнпульсыой переходной функцией и обычно обозначается й (!) (см. $ 10). Импульсная переходная функция является одной из временных характеристик автоматической системы. Так как ,У (6 (!)) = 1, то в соответствии с формулой (19) найдем, что спектральная характеристика импульсной переходной функции системы есть 'г ()е((Н =Ф(14.1, или, учитывая, что й(!) = 0 при ((О, получаем Ф((оз)=~ й(1) е-Лмгй. (20) о Следовательно, амплитудно-фазовая частотная характеристика системы является спектральной характеристикой импульсной переходной функции.
Справедлива также формула обратного преобразования Фурье (21) Реакция х(() системы на воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1(() называется переходной функцией системы И и обозначается й ((). Используя формулы (21) 2 37 и (19), найдем спектральную характеристику переходной функции *'. К (й (1)) = Ф ()тв) ~ †.
+ пб (со)~ (22) или Ф((ш) ~.~+пй (ш)~ = ~ й (() е ун'с((, . (23) Ь(~) = — ~ Ф()ш) ~ —.+пй(ш)~е/"сйо (1:= О). (24) Иэ теоремы 2 2 36 известно, что умножению спектральной харак- теристики на )со соответствует операция дифференцирования во временной плоскости, поэтому пй (1) ! — = — 1 Ф((ш)(1+и/<об(ш))етенс(ш= от 2п,) 1 Г =2 1 Ф(! )и'~с( +2- 1 шй(а)Ф(! )е'ес(ш. г Используя фильтрую1цее свойство дельта-функции, получим при Ф(10) ~со, что второе слагаемое равно нулю, откуда найдем — = — ~ Ф()ш) еУ"'Ао. оЬ (1) 1 Г ог 2п (25) Сравнивая выражения (21) и (25), получим равенство (26) т.
е. импульсная .переходная функция является производной по времени от переходной функции. Пусть теперь на вход автоматической системы в момент времени г'=0 поступает управляющее воздействие й(() общего вида. Найдем реакцию х(() системы на это воздействие. Для этого воспользуемся теоремой 8 $ 36 о свертывании функций в вещест- е' Наличие дельта-Функции в правой части равенства (22) свидетельствует о том, что переходная Функция, так же как и единичная ступенчатая функция, преобразуема по Фурье лишь условно (см.
$ 37). так как й(()=0 при г с.0. Переходная функция является временнбй характеристикой 'системы; она может быть определена с помощью обратного преобразования Фурье: венной области. Принимая во внимание равенство (36) 8 36 и равенство (19), получим х (1) = ~ А (1 — т) д (т) А. а (27) Формула (27) является временнйм аналогом формулы (19), характеризующей спектральные (частотные) соотношения в автоматической системе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
