Главная » Просмотр файлов » Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2

Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 7

Файл №952249 Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2) 7 страницаЧемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249) страница 72013-09-22СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Для случая непериодической функции, т. е. при Т-~ со, частотный интервал между смежными гармониками Льэ-~О, следовательно, интеграл (24) дает разложение, представляющее собой сумму бесконечно большого числа гармоник, амплитуды которых бесконечно малы, а частоты смежных гармоник отличаются друг от друга бесконечно мало. Комплексная бесконечно малая амплитуда каждой гармоники, как следует из интеграла (24), будет э(С= — Р Цьэ) йо.

! (32) Итак, если с помощью ряда Фурье можно периодическую функцию разложить на сумму бесконечного числа гармоник с частотами, принимающими дискретные значения, то интеграл Фурье позволяет непериодическую функцию представить в виде бесконечного числа гармоник, частоты которых образуют непрерывную последовательность. Амплитуда А каждой из гармоник в разложении с помощью интеграла Фурье непериодической функции 7(1) является величиной бесконечно малой, поэтому изобразить графически амплитудный частотный спектр такой функции не представляется возможным.

Для того чтобы можно было использовать спектральные представления и для анализа непериодических процессов, при построении графика амплитудного частотного спектра гю оси ординат откладывают не амплитудное значение гармоники А, а значение относительной амплитуды, равной и —. Если подобию' нос построение выполнить для случая, когда функция 7(т) является периодической с периодом Т, то вместо графика амплитудного спектра Аа получится график 1г" ()йЛю) ~=я — средней Аа 71ы плотности амплитуды, т.

е. график, характеризующий значение амплитуды, приходящейся на единицу длины данного интервала частот. В пределе при Т- со функция Р(7)еЛьу) превращается в спектральную плотность Р()гв) непериодической функции 7(Г), которая, как следует из (27), с точностью до посюянного множителя и представляет собой отношение бесконечно малого приращения комплексной амплитуды, имеющее место при бесконечно малом приращении частоты, к указанному приращению частоты, т. е. и ()тв) =и —. вС аы ' (33) Аргумент спектральной плотности агд г" (/то) = «р (со) характеризует начальную фазу гармоник разложения непериодической ( функции)(г), а функция -„- (г"()га) ! 1 является относительной амплитудой этих гармоник.

Пример 2. Определить частстиые свойства одиночного импульса высотой А„ и длительиссгью т„ (рис. 101), Функция, характеризующая этот импульс, А„цри — тч/2 ( ( ( т„!2, /(1)= 0 при 1) те/2 и 7~ — те/2. п)=( " ис. 101 2Аи ° й оыти Ьа О, аа= — "мп —" (а=о, 1, 2, ...), пй 2 Прежде всего попытаемся получить график амплитудного частотного спектра заданного импульса. Из примера 7 $ 34 видно, что для периодической после- довательиссти такого рода импульсов с периодом Т 2п где Ью= — — частотный интервал между смежными гармониками. Запишем Т выражение для аа в виде т„А „з/п й «>юти/2 аа= — "" /гв м /«бфт /2 Последовательность импульсов (см. рис. 99) при Т-«-со импульсом.

Расстояние между линиями спектра бы -«-0 при ния амплитуд гармоник разложения заменится одним Т -+ со„ а значе- й йе>ти 2 1'пп Аа= 1пп )аа( 1нп — "" />ы Г ч«т со зм о й быти Б)п — — Вш бю и зи о !пп ьм о й йЛюта 2 Амплитуды гармонических составляющих разложения заданного импульса в ряд Фурье являются величинами бесконечно малыми, поэтому графически невозможно изобразить амплитудный частотный спектр заданного импульса в виде отрезков линий, паразлельиых оси ординат, как это наблюдается для периодической последовательности импульсов (см. рис. 100, 6).

Построим теперь график функции 1г" (/й Лю) 1, т. е. график средней плотности амплитуд гармоник разложения периодйческой последовательности 2са аа импульсов (см. рис. 99) в ряд Фурье. Так как Г(/й Лм) = — и, се= — —— ба ' 2 .зз — / †, то, учитывая, что в рассматриваемом случае /«з=О, найдем 2 ' ~Р(/йб ) ~= — = — "~'.

— "~. !пз1п йди 1 йбыта бы Ьма ~ 2 При й=О, 1, 2, ... функция (Р(/лбы) ! принимает дискретный ряд значений 1г" (/Ью) ), 1Г(/ ° аз>) ~, .... Зги значения будем обозначать, как и при графическом изображении частотных спектров, в виде вертикальных отрезков соответствующей длины. Через концы отрезков проходит огибающая ) Г(/а) ), представляющая собой зависимость ие от дискретного аргумента й, а от непрерывной частоты в. Для ы~ 0 огибыощая изображена на рис.

102, а пунктирной линией. Величина площадей заштрихованных прямоугольников с точностью до мно. жителя и равна соответствующим коэффициентам аз (я О, 1, 2, ...) разложе. иия периодической последовательности импульсов в ряд Фурье. Нетрудно видеть, что в отличие от огибающей для частотного спектра аа кривая ) Г (/м) ( не зависит от уменьшения (увеличении) частотного интервала Лсе, происходящего при увеличении (уменьшении) периода Т последовательности импульсов. 2п При увеличении, например,. периода Т в дэа раза расстояние бе= — между Т вертикальными линиями в два раза уменьшится (рис. 102, б), при этом вид огибакяцей 1г(/га)! не изменится. При Т-ьоо частотный интервал Лм сделается величиной бесконечно малой (рис.

102, в), однако относительные амплитуды остаются неизменными. Кривая ) Р(/ы) ! проходит через концы вертихальиых отрезков, бесконечно близко расположенных один к другому. Вся область под кривой оказывается заполненной этими отрезками. Функция / и (/ю) ( являетси мод> лем спектральной плотности рассматриваемого одиночного импульса 2А„. ют„ (см. рис. 101), т.

е. Р(/м)= — "мп ", которая в данном примере является 2 действительной функцией. В общем случае спектральная йлотаость есть функ« цня комплексная. Отметим, что часта функцию минологию спектрального анализа а) комплексным амплитудным частоптым спектром непериодической функции ~(г), а функцию ) Р ()са) ~ — амплитудным частотным спектром этой функции. Такая терминология может привести к неудобству, если приходится сравнивать спектральные представления для периодических и непериодических функций.

Следует еще раз подчеркнуть, что амплитудный частотный спектр Аь периодической функции характеризует распределение амплитуд гармоник разложения по частотам этих гармоник, а модуль ~Р (у«о)~ спектральной плотности непериодической функции характеризует распределение относительных амплитуд гармоник разложения. Однако термин «спектральная плотность» также не является вполне удачным, поскольку его использование тоже может привести к недоразумениям, так как подобная терминология используется в теории случайных процессов для обозначения распре.- деления мощности флюктуаций стационарного случайного процесса по спектру частот. Ниже, в й 66, указанное распределение мощности называется «спектральной плотностью мощности» (или просто спектральной плотностью).

Поскольку применительно к случайным процессам название «спектральная плотность» является общеупотребительным, та мы в дальнейшем будем избегать называт плотностью, оставляя за этой ная характеристика». ф Рнс. !02 ь фунитию Р()со) спектральной функцией название «спектраль. 1 Глава ХП ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ! й Зз. СВОЙСТВА ЛРНОВРАЗОВАНИЯ ФУРЬН !. Прямое и обратное преобразования. Выше, в 3 35, отмечено, что преобразованию Фурье могут быть подвергнуты функции 1(1), удовлетворяющие условиям Дирихле и являющиеся абсолютно интегрируемыми на всей оси ОЕ г(з формулы (23) й 35 Г()'го)= ) )(1)е-г 'г(1 видно, что преобразование Фурье состоит в умножении функции ) (() на множитель е ™ и интегрировании произведении в пределах от-со до+со.

Символически формулу (1) будем записывать в виде г-Р У(1)) =)'Ьы). (2) Интеграл в правой части равенства (1), как и выше, понимаем в смысле главного, значения, т. е. ) 1(() е-/от с(1= т =!пп )г 1(Ое-'огс(Т. г са г Равенство (1) устанавливает связь между функцией 1 (1), аргументом которой служит время г, и ей соответствующей комплексной функцией Г()го), имеющей в качестве аргумента частоту го. Пример !. Найти спектральную характеристику фуннции /(Г)=е причем сг) Π— действительное число.

Заданная фуанция на всей оси ОГ кусочно-непрерывна и абсолютно инте. грируема, вследствие чего она преобраауема по Фурье. Имеем Р()ьт) г )е он'е Дега=)г е <о+Гоыбс-~- )г евх )ембà — чо о СО ь е-~а+/юг ь есачто~ г а+)го ~е и — )се ~- ь ах-(-ыя ' т. е. Р(е о~ ~)=— оса+ ые ' Покажем, что интеграл (1) сходится абсолютно и равномерно относительно го. Действительно, получим следующую оценку, учитывая равенство (5) 3 35: 44 Так как интеграл ~ ~Г(1)е-~'" ~ й сходится, то интеграл (1) сходится абсолютно, а так как !1 (1) е-Па ! = ~ 1(г) ~ и интеграл ()(1) ~й сходится, то в соответствии с признаком равномерной сходимости несобственных интегралов интеграл (1) сходится равномерно относительно в. Формула интеграла Фурье 1(1) = — ~ Р ()в) еляков 1 2п (3) позволяет по известной функции Р()в) определить ей соответствующую функцию 1(1); на атом основании формулу (3) (или формулу (26) $ 35) называют обратным преобразованием Фурье.

Символически зто преобразование можно записать в виде .~- (Р(1 )) =Р(г). (4) Интеграл в правой части равенства (3) также следует рассматривать в смысле главного значения, т. е. Р(1в)елнав= Пт ~ Р(1в)е/"'Йо. 4Р й~ со Р(1в) =) 1(1) е-' ю (б) или символически г (Д (1) ) = Р (рв) (Г ) О). (б) 45 Нетрудно показать, что если интеграл ~ Р ()в) бв абсолютно сходится, то интеграл в правой части равенства (3) сходится равномерно относительно 1. В самом деле, справедлива оценка ! ( ~ь )~~+1 ~г(м~" и — ( ~~ь на .

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее