Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Для случая непериодической функции, т. е. при Т-~ со, частотный интервал между смежными гармониками Льэ-~О, следовательно, интеграл (24) дает разложение, представляющее собой сумму бесконечно большого числа гармоник, амплитуды которых бесконечно малы, а частоты смежных гармоник отличаются друг от друга бесконечно мало. Комплексная бесконечно малая амплитуда каждой гармоники, как следует из интеграла (24), будет э(С= — Р Цьэ) йо.
! (32) Итак, если с помощью ряда Фурье можно периодическую функцию разложить на сумму бесконечного числа гармоник с частотами, принимающими дискретные значения, то интеграл Фурье позволяет непериодическую функцию представить в виде бесконечного числа гармоник, частоты которых образуют непрерывную последовательность. Амплитуда А каждой из гармоник в разложении с помощью интеграла Фурье непериодической функции 7(1) является величиной бесконечно малой, поэтому изобразить графически амплитудный частотный спектр такой функции не представляется возможным.
Для того чтобы можно было использовать спектральные представления и для анализа непериодических процессов, при построении графика амплитудного частотного спектра гю оси ординат откладывают не амплитудное значение гармоники А, а значение относительной амплитуды, равной и —. Если подобию' нос построение выполнить для случая, когда функция 7(т) является периодической с периодом Т, то вместо графика амплитудного спектра Аа получится график 1г" ()йЛю) ~=я — средней Аа 71ы плотности амплитуды, т.
е. график, характеризующий значение амплитуды, приходящейся на единицу длины данного интервала частот. В пределе при Т- со функция Р(7)еЛьу) превращается в спектральную плотность Р()гв) непериодической функции 7(Г), которая, как следует из (27), с точностью до посюянного множителя и представляет собой отношение бесконечно малого приращения комплексной амплитуды, имеющее место при бесконечно малом приращении частоты, к указанному приращению частоты, т. е. и ()тв) =и —. вС аы ' (33) Аргумент спектральной плотности агд г" (/то) = «р (со) характеризует начальную фазу гармоник разложения непериодической ( функции)(г), а функция -„- (г"()га) ! 1 является относительной амплитудой этих гармоник.
Пример 2. Определить частстиые свойства одиночного импульса высотой А„ и длительиссгью т„ (рис. 101), Функция, характеризующая этот импульс, А„цри — тч/2 ( ( ( т„!2, /(1)= 0 при 1) те/2 и 7~ — те/2. п)=( " ис. 101 2Аи ° й оыти Ьа О, аа= — "мп —" (а=о, 1, 2, ...), пй 2 Прежде всего попытаемся получить график амплитудного частотного спектра заданного импульса. Из примера 7 $ 34 видно, что для периодической после- довательиссти такого рода импульсов с периодом Т 2п где Ью= — — частотный интервал между смежными гармониками. Запишем Т выражение для аа в виде т„А „з/п й «>юти/2 аа= — "" /гв м /«бфт /2 Последовательность импульсов (см. рис. 99) при Т-«-со импульсом.
Расстояние между линиями спектра бы -«-0 при ния амплитуд гармоник разложения заменится одним Т -+ со„ а значе- й йе>ти 2 1'пп Аа= 1пп )аа( 1нп — "" />ы Г ч«т со зм о й быти Б)п — — Вш бю и зи о !пп ьм о й йЛюта 2 Амплитуды гармонических составляющих разложения заданного импульса в ряд Фурье являются величинами бесконечно малыми, поэтому графически невозможно изобразить амплитудный частотный спектр заданного импульса в виде отрезков линий, паразлельиых оси ординат, как это наблюдается для периодической последовательности импульсов (см. рис. 100, 6).
Построим теперь график функции 1г" (/й Лю) 1, т. е. график средней плотности амплитуд гармоник разложения периодйческой последовательности 2са аа импульсов (см. рис. 99) в ряд Фурье. Так как Г(/й Лм) = — и, се= — —— ба ' 2 .зз — / †, то, учитывая, что в рассматриваемом случае /«з=О, найдем 2 ' ~Р(/йб ) ~= — = — "~'.
— "~. !пз1п йди 1 йбыта бы Ьма ~ 2 При й=О, 1, 2, ... функция (Р(/лбы) ! принимает дискретный ряд значений 1г" (/Ью) ), 1Г(/ ° аз>) ~, .... Зги значения будем обозначать, как и при графическом изображении частотных спектров, в виде вертикальных отрезков соответствующей длины. Через концы отрезков проходит огибающая ) Г(/а) ), представляющая собой зависимость ие от дискретного аргумента й, а от непрерывной частоты в. Для ы~ 0 огибыощая изображена на рис.
102, а пунктирной линией. Величина площадей заштрихованных прямоугольников с точностью до мно. жителя и равна соответствующим коэффициентам аз (я О, 1, 2, ...) разложе. иия периодической последовательности импульсов в ряд Фурье. Нетрудно видеть, что в отличие от огибающей для частотного спектра аа кривая ) Г (/м) ( не зависит от уменьшения (увеличении) частотного интервала Лсе, происходящего при увеличении (уменьшении) периода Т последовательности импульсов. 2п При увеличении, например,. периода Т в дэа раза расстояние бе= — между Т вертикальными линиями в два раза уменьшится (рис. 102, б), при этом вид огибакяцей 1г(/га)! не изменится. При Т-ьоо частотный интервал Лм сделается величиной бесконечно малой (рис.
102, в), однако относительные амплитуды остаются неизменными. Кривая ) Р(/ы) ! проходит через концы вертихальиых отрезков, бесконечно близко расположенных один к другому. Вся область под кривой оказывается заполненной этими отрезками. Функция / и (/ю) ( являетси мод> лем спектральной плотности рассматриваемого одиночного импульса 2А„. ют„ (см. рис. 101), т.
е. Р(/м)= — "мп ", которая в данном примере является 2 действительной функцией. В общем случае спектральная йлотаость есть функ« цня комплексная. Отметим, что часта функцию минологию спектрального анализа а) комплексным амплитудным частоптым спектром непериодической функции ~(г), а функцию ) Р ()са) ~ — амплитудным частотным спектром этой функции. Такая терминология может привести к неудобству, если приходится сравнивать спектральные представления для периодических и непериодических функций.
Следует еще раз подчеркнуть, что амплитудный частотный спектр Аь периодической функции характеризует распределение амплитуд гармоник разложения по частотам этих гармоник, а модуль ~Р (у«о)~ спектральной плотности непериодической функции характеризует распределение относительных амплитуд гармоник разложения. Однако термин «спектральная плотность» также не является вполне удачным, поскольку его использование тоже может привести к недоразумениям, так как подобная терминология используется в теории случайных процессов для обозначения распре.- деления мощности флюктуаций стационарного случайного процесса по спектру частот. Ниже, в й 66, указанное распределение мощности называется «спектральной плотностью мощности» (или просто спектральной плотностью).
Поскольку применительно к случайным процессам название «спектральная плотность» является общеупотребительным, та мы в дальнейшем будем избегать называт плотностью, оставляя за этой ная характеристика». ф Рнс. !02 ь фунитию Р()со) спектральной функцией название «спектраль. 1 Глава ХП ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ! й Зз. СВОЙСТВА ЛРНОВРАЗОВАНИЯ ФУРЬН !. Прямое и обратное преобразования. Выше, в 3 35, отмечено, что преобразованию Фурье могут быть подвергнуты функции 1(1), удовлетворяющие условиям Дирихле и являющиеся абсолютно интегрируемыми на всей оси ОЕ г(з формулы (23) й 35 Г()'го)= ) )(1)е-г 'г(1 видно, что преобразование Фурье состоит в умножении функции ) (() на множитель е ™ и интегрировании произведении в пределах от-со до+со.
Символически формулу (1) будем записывать в виде г-Р У(1)) =)'Ьы). (2) Интеграл в правой части равенства (1), как и выше, понимаем в смысле главного, значения, т. е. ) 1(() е-/от с(1= т =!пп )г 1(Ое-'огс(Т. г са г Равенство (1) устанавливает связь между функцией 1 (1), аргументом которой служит время г, и ей соответствующей комплексной функцией Г()го), имеющей в качестве аргумента частоту го. Пример !. Найти спектральную характеристику фуннции /(Г)=е причем сг) Π— действительное число.
Заданная фуанция на всей оси ОГ кусочно-непрерывна и абсолютно инте. грируема, вследствие чего она преобраауема по Фурье. Имеем Р()ьт) г )е он'е Дега=)г е <о+Гоыбс-~- )г евх )ембà — чо о СО ь е-~а+/юг ь есачто~ г а+)го ~е и — )се ~- ь ах-(-ыя ' т. е. Р(е о~ ~)=— оса+ ые ' Покажем, что интеграл (1) сходится абсолютно и равномерно относительно го. Действительно, получим следующую оценку, учитывая равенство (5) 3 35: 44 Так как интеграл ~ ~Г(1)е-~'" ~ й сходится, то интеграл (1) сходится абсолютно, а так как !1 (1) е-Па ! = ~ 1(г) ~ и интеграл ()(1) ~й сходится, то в соответствии с признаком равномерной сходимости несобственных интегралов интеграл (1) сходится равномерно относительно в. Формула интеграла Фурье 1(1) = — ~ Р ()в) еляков 1 2п (3) позволяет по известной функции Р()в) определить ей соответствующую функцию 1(1); на атом основании формулу (3) (или формулу (26) $ 35) называют обратным преобразованием Фурье.
Символически зто преобразование можно записать в виде .~- (Р(1 )) =Р(г). (4) Интеграл в правой части равенства (3) также следует рассматривать в смысле главного значения, т. е. Р(1в)елнав= Пт ~ Р(1в)е/"'Йо. 4Р й~ со Р(1в) =) 1(1) е-' ю (б) или символически г (Д (1) ) = Р (рв) (Г ) О). (б) 45 Нетрудно показать, что если интеграл ~ Р ()в) бв абсолютно сходится, то интеграл в правой части равенства (3) сходится равномерно относительно 1. В самом деле, справедлива оценка ! ( ~ь )~~+1 ~г(м~" и — ( ~~ь на .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
