Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 3
Текст из файла (страница 3)
в„(1) =1 для любого и, и формула (19) приобретает вид в)п (и+ — ) и 1= — ~ йи (и 1, 2, 3, ...). (20) и 2нп2 Подынтегральная функция является четной, поэтому вместо (19) можно также записать: 11 в!и (и+ — ) и 2 и г и йи. о 2в)п 2 Полученные равенства также будут в дальнейшем использованы. Прежде чем переходить к установлению условий сходимости ряда Фурье, необходимо доказать лемму. Лемма. Если функция )(!) непрерывна или кусочно-непрерывна в интервале (а, Ь), совподающел с интерволол ( — вв„п) или являющемся его частью, то справедливы равенства ь ь 1нп ~~(1)созп(Й=О, 1пп ~~(1)в(пп(й1=0. (21) д-соо д д сод 1В Доказательство. Пусть интервал (а, Ь) совпадает с ин- тервалом ( — и, и), при этом утверждение леммы следует из доказанной выше теоремы 2. Обратимся к случаю, когда интервал (и, Ь) является частью интервала ( — и, и).
Введем в рассмотрение новую функцию )' (() п ри а ( г ( Ь, 6(1) = О при Ь (г' и+ 2п. Продолжим функцию )д(г) периодически с периодом 2п на всю ось ОЕ Учитывая равенство (2), где будем полагать Т=2п, Ь = — и, получим а+ ьс л 7'д(() созп1йоо ~ Гд(() созйй, а Л а+ 2Л Л Гд(1) здпп1 й= ~ ~д(Оз(ппдй. а — Л Но из определения функции Гд(д) следует, что О+2Л ь ~д (() соз п( й = ~ 12 (г) соз и( й, О а а+ 2Л ь )д (1) здп пд Й = ~ 12 (д) зш М Й, поэтому ь Л ь Л )((г) сов пдй= ~ 12 (г) соз п( й, )1 (21 з(п п(й= ) 12 (г) з(п пг й. а — Л а Л Если функция Г (() непрерывна или кусочна-непрерывна в интервале (а, Ь), то функция )д(() будет непрерывна или кусочно-непрерывна в интервале ( — и, и). Применяя теорему 2, получим, что Иш с) гд(() сов п(Й=О; 1пп ~ )д(()з(ппдй=О, л со л со следовательно, справедливы и равенства (21). И Обратимся теперь к теореме, устанавливающей достаточные условия сходимости ряда Фурье.
Теорема 3. Если функция 1(1) непрерывно или кусочно-непрерывна в интервале ( — и, и), то ее ряд Фурье сходится в эпим интервале; сумма ряда ровно )(1) тдхдках, где функция непрерывна и равна в тех точках разрыва непрерывно- 2 сти, в которых существуют привоя и левая производные.
Доказ ате л ьст во. Доказательство теоремы выполним в два этапа. Сначала докажем, что ряд Фурье сходится и его сумма равна )(1) в точках, где функция ((д) не только непре- 17 рывна, но и дифференцируема, а затем докажем теорему применительно к случаю, когда рассматриваются сходимость ряда и значение его суммы в точках, где функция 1(1) нли непрерывна, или имеет разрывы непрерывности первого рода. По условию теоремы, функция1(1) кусочно-непрерывна на интервале ( — и, и).
Периодически продолжая зту функцию вяе интервала ( — го, н), получим периодическую функцию, имеющую период 2и. Пусть функция 1(1) в точке 1 дифференцируема, т. е. суще- 1(1+и»-1(О ствует конечный предел »!гп независимо от характера и сю стремления приращения и к нулю. Будет установлено, что ряд Фурье сходится к функции 1(1) и его сумма равна значению этой функции в точках 1, где функция дифференцируема, если удастся показать, что при а-» со разность з„(1) — 1(1) стремится к нулю. Умножим обе части равенства (20) на 1(1) и, учитывая формулу ()9), образуем разность Ы(п+,')и з (1) — 1(1)= — ~ (1(1+и)+1(1)) Ни, — и 2 юп— 2 которую перепишем в виде 3 (1) — 1(1)= — $ ° " згп(л+ — )иг(и.
— Л 2 Рассмотрим функцию ф (и) = ° — ' в интервале 1(1+и» вЂ” 1(О,; и 2 Мп— 2 ( — и, и). Так как функция 1(1) имеет в точке 1 производную и, кроме того, !!ш = (, то ((шар(и)=~'(1), т. е. при о2апи ' и о 2 и-»О функция «р(и) валяется ограниченной. При иФО функция <р(и) может иметь разрывы непрерывности в тех точках, в которых имеет разрывы непрерывности функция 1(1+ и). Функция 1(1) является кусочно-непрерывной, поэтому функция ф(и) также является кусочно-непрерывной функцией на интервале ( — и, и).
Применяя к функции <р(и) доказанную выше лемму, найдем из (2!) )1$п ~ $р(и» $1п(л+ 2) и Й4= О~ откуда 1В 11 и 6!и (Л+ — (И Б ) (1'(1+~) — ~(1)) — „~ 11 =О. и со и 2мп— 2 Геометрически существование этих пределов означает, что в точке 1 график функции 1(1) имеет угловую точку-излом Рис. 93 (рис. 93, а) или разрыв непрерывности первого рода (рис.
93, б). Если Д.(1)~~' (1), то в точке 1 существуют правая и левая касательные (тонкие линии на рис. 93). Образуем разность з„(1) — . Теорема будет доказана, если покажем, что )1гп зп(1) (23) Умножим равенство (20) слева и справа сначала на 1(1+0), а затем на 1(1 — О): Ми (и+ — ) и йи, и 2ап— 2 ии ~и+ — )и ди, 10+в) 1 ~ (1+0) 19 Следовательно, !ип [з„(1) — 1(1)) =О, т. е.
ряд Фурье для функ- и си ции 1(1) сходится к этой функции и сумма его равна 1(1) в точках, где эта функция дифференцируема. Пусть теперь функция 1(1) в точке 1 непрерывна или даже имеет разрыв непрерывности первого рода и в этой точке существуют правая и левая производные, т„ е. имеются конечные, не равные друг другу пределы () 1(2+и) — 1(0 и () И 1(В+и) — 1(0 г (1) (22) о и и 0 и и)и и(0 Частичная сумма э«(1) ряда Фурье определяется равенством (19), поэтому л '!пп з«(1) — ! +!! ) = Иш — (1(!+и)-1(1+0)1Х «оо л со о ""("+ ~)" ' мп(+Р Х ди-1- 1!Ш вЂ” ~ Д(!+и) — 1с(1 — ОЦ ~ ди.
2 п1п— 2 2пп— 2 Рассмотрим первый интеграл в правой части этого равенства. Пусть ф(и)= . Функция 1(!) в точке 1 2мп —" 2 имеет конечную правую производную, поэтому !!шф(и)=~+((), «и «~п т. е. функция ф(и) остается ограниченной при и-оО (и >0). Рассуждая таким же образом. как и выше, мы придем к выводу, что функция ф(и) кусочно-непрерывна в интервале (О, — ). Прил' 11 меняя лемму, найдем, что !пп 1 ф(и) зш(п+ — ~исти=О.
«со> Вводя обозначение ! (!+и) — ! (1 — 0) и ф(и) = и и l 2ип— 2 11 аналогичным путем получим 1пп т ф(и) з)п! и+ — ) иди=О. Сле- «сод 2) дон ательно, Мп (л+ — ) п — 1 У(!+и) — 1(1+О)) ' 1( =О, «сои 2 з!и (л+ — ) и 1пп — 1 Ц(!+и) — ~(1 — 0)) ди=о, «со 2 язв л 2 т.
е. равенство (23) справедливо. ф На концах интервала, т. е. при 1= + и, сумма ряда Фурье 1( — и+О)+1! — О) равна ' , так как концы интервала являются для периодически продолженной (вне интервала ( — н, и)) функ- ции ) (1) точками разрыва непрерывности, если 1( — и+0) ~ ФР(п — О). Характер сходимости ряда Фурье определяет следующая теорема: 20 1(() = — "'+ ~~!' аьсозйгйг. а-! (24) " Доказательство теоремы см., иаприиер: Г.
П. Толстов. Ряды Фурье. Физматгиз, 1960, с. 106. **' Доказательство втой теоремы см., аапример, в кил Смирнов В. И. Курс высшей математики. ГИТТЛ, 1967, и. 2, с. 469. 2! Теорема 4. Ряд Фурье непрерывной или кусочно-непрерывной функции 1(1) сходится к ней абсолютно и равномерно в точках непрерывности функции. Теорему эту примем без доказательства а!. Применим теорему 3 к разложениям, рассмотренным в примерах.
Функция в примере 1 в точках О, + и, + 2п, ... имеет разрывы непрерывности первого рода, а в других точках она дифференцируема. Следовательно, во всех точках, в которых нет разрыва непрерывности, ряд Фурье сходится к значениям функ-. ции в этих точках. В точках разрыва непрерывности сумма ряда Фурье равна - 1, т. е. для рассматриваемой функции равна нулю. В примере 2 функция в точках О, + ы, +.2п непрерывна и удовлетворяет условиям (22), т. е.
имеет в этих точках левую и правую производные. В остальных точках функция днфференцируема. В соответствии с доказанной теоремой 3 ряд Фурье для такой функции сходится и имеет во всех точках сумму, равную значениям функции 1(1). Условия теоремы 3 являются достаточными, но не необходимыми. Существуют функции, удовлетворяющие более общим ограничениям и допускающие разложение в ряд Фурье. Например, справедлива следующая теорема: Теорема 5. Если функция 7(1) кусочно-монотонна в интервале ( — и, и) и имеет в нем конечное число точек разрыва непрерывности, то ее ряд Фурье сходится в этом интервале; сумма ряда равна 7" (1) в точках, где функция непрерывна и равна в каждой пшике разрыва непрерывности **!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
