Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Условия, указанные в теореме 5, называются условиями Дирихле. 3. Разложение в интервале (О, и). Пусть функция ! (1) задана в интервале (О, и) и удовлетворяет в этом интервале условиям разложения в ряд Фурье. Функцию 7 (1) можно продолжить в интервале ( — п, 0) как четным, так и нечетным образом (рис. 94, а, б) и, таким образом, свести задачу о разложении функции 7(1) в ряд Фурье в интервале (О, п) к рассмотренной выше задаче о разложении функции 7(г) в ряд Фурье в интервале ( — и, и).
При четном продолжении функции 7 (1) в интервале ( — и, 0) ба=О (й=1, 2, ...) и разложение имеет вид Коэффициенты а, и аь определяются при этом по формулам (12) и (13). Если функция 1(1) продолжена нечетным образом в интервал ( — и, 0), то а,=О, аь=О (й=1, 2, 3, ...) и разложение получим в виде (25) ): (1) ~ч ', Ь, ып Н сМ. Здесь коэффициент Ь» определяется по формуле (14). В первом случае функция )'(У) оказывается разложенной в интервале (О, и) по косинусам, а во втором случае — по синусам. Оба ряда (24) и (25) в интервале (О, и) имеют своей суммой заданную функ- Ряс. 94 цию 1Щ, однако вне этого интервала суммы указанных рядов различны.
Заметим, что в формулах (12) — (14~ вычисление коэффициентов а„, аы Ьь производится в пределах от 0 до и, поэтому при вычислениях этих коэффициентов нет необходимости производить фактическое четное или нечетное продолжение функции Г(1) в интервал ( — и, 0). Однако график функции, получающейся из функции ) (1) четным (или нечетным) продолжением в интервал ( — и, 0), а затем периодически продолжением с периодом 2п вне интервала ( — и, и) на всю ось 01, полезен, так как он позволяет проанализировать поведение ряда Фурье иа концах интервала (О, и). Пусть функция 1(1) непрерывна при 8= 0 и (=п. Если эта функция раскладывается в ряд Фурье по косинусам в интервале (О, и), то ее следует продолжить четным образом в интервал ( — и, 0).
Тогда для интервала ( — и, п)1( — 1)=1(1), следовательно, при 1=0 и (=п непрерывность продолженной функции сохраняется, т. е. если ряд Фурье сходится в интервале (О, я), то при 1=0 и (=п ряд сходится именно к значениям функций )(0) и 1(п). Если функция 1(8) раскладывается в ряд Фурье по ! г синусам, то опа нечетным образом продолжается в интервал ( — л, О). В этом случае вг интервале ( — н, О)! ( — !) = — ! (!) и, пшчит, прн 1=0 и (=и непрерывность продолженной функции пе сохраняется. При (=0 и (=зс сумма ряда Фурье равна !+о)+!(г-о) +, т.
е. ряд сходится при г=0 и (=н к значениям 2 функций /(О) и /(и) лишь в том случае, если эти значения равны нулю. Пример 3. Разложить в ряд Фурье по синусам в интервале (О, и) фуннпню (!)4 Ь (рис. %). аданная функция, продолженная в интервал ( — и, 0), является нечетной, поэтому для искомого разложения а,=О, аз=О (а=1, 2, 3, ...) и ряд Фурье ис. % определяется формулой (26).
Учитывая равенство (!4), найдем коэффициент Ьа, выполнив интегрирование по частям: 2 Г 21 !соей( К и 1 г' Ьа — 3! !мпй!г)г — — — ~ + — созйгй и п~ Ь (!=о Х~ е 2 Г п сот йп 1 И н1 созйп ( — 1)" г — ~- — + — з(пйт~ ~ — 2 — =2 ',(а=1, 2, ...). А Ь' !г о! Ь А В соответствии а теоремой 3 ряд Фурье прн 0(г(п для функции )(г)=г будет 1=2(а)п! — + ... + мп 2Г 2 ( — !)" тмийт й При Г и сумма ряда обращается в ноль. г Пример 4. Разложить в ряд ть / ъ г Фурье по косинусам в интервале (О, и) функцию )(Г)=Р -ЛТ "Ета -Х я Ед дч С (рнс. 96).
Продолжая заданную функцию Рнс 96 четным образом в интервал ( — и, О), а затем перкодически продолжая с периодом 2п вне интервала ( — и, и), получим график функции, изобрюкенный на рис. 96. Длн искомого разложении за=о (а=1, 2, ...). По формулам (12) и (13) вайдем: 2 Г 2 (а (т=н 2ле не= — тт Й= — —— и~ л31г о 3 пе — 34 1 стинг'Й л 3 — — ~ (а(п Н Й= — омйл=4— 4 1' 4 ( — 1)" йт де о о В соответствии с теоремой ложен не 3 при ОеК((л длв функции 7(1)=те имеем раз- П= — — 4 (сот1 — +...+ лт / соа 21 ( — 1)е соей т 3 т 2т "' йт„ 4.
Функции с периодом Т. Результаты разложения на сумму гармонических составляющих функции 7((), имею.цей период 2л, распространим иа периодические функции с периодом, отличным от 2л. Разложим в тригонометрический ряд функпию ) (1) с перио- дом Т. Введем новую переменную т1 — -(. Так как 1 — то 2л чт Т 2л ' ~(' =~(%) = Т Т'т Пусть функция ((1) задана в интервале ( — —, — 1, тогда, очевидно, функция д(т() определяется в интервале ( — л, л) переменной т1.
Из условия периодичности функции 1(() имеем 7((+пT) =1((). Следовательно, д(т(+2ЛЛ)=)( 2 ) 7 (2 +ПТ)=)'(()=Ьт(т)), т. е. функция д(т1) периодическая с периодом 2л. К функции а(т() применима формула (7) разложения периодической функпии с периодом 2л в ряд Фурье, т.
е. справедливо равенство д(т1) = — + ~~) (ае сов )тт(+ Ьа втп йт1), и-1 1(г)= — + г'(аесовл —. (+ь втй —,(), (2б) и-! г где а,= — ~ п(Ч) с(т(, аа= — „~ д(т() сов Ат)с(т( (1=1, 2, ...), Ь, = 1 Г 1 Г = — ~ п(т1) в(пйт( г(т( (Ь= 1, 2, ...). 1 г Переходя в этих формулах к старой переменной т', получим ' где, учитывая, что й1= — й, 2п г~з по= у /(г) Й, (27) ггт аз —— — 1 У(/)созй —" /г(/ (1=1, 2,,), (28) — р/т гр Ьз т ~ /(/)з(пй т / ( (ь 1 2 ) - (2о) — тп г(з т ~ ) (/) (3О) Т(2 и'=т 1) 1(/)созй т 1"/ (й=1 2 ") Ьь=О (й=1, 2, ...).
Для нечетной функции / (/) соответственно т(з Ь4 = ~ 1 ) (/) з( й — / г(/ 4 . 2п т о (32) аз=О (Й=О, 1, 2, ...). Функция /(/) в интервале (О, Т/2) может быть разложена по косинусам или по синусам так же. как и при разложении по косинусам или по синусам функции /(/) в интервале (О, и).
Интегрирование в зтих формулах может быть произведено и по другому интервалу длиной Т, например, по интервалу (О. Т). В отличие от разложения (7) с помощью формулы (26) разложение функции /(/) производится по косинусам и синусам углов, кратных не /, а 2п//Т. Так как разложение (26) является следствием разложения (7), то теорема (3) об условиях сходимости ряда Фурье остается справедливой и для интервала ( — Т/2, Т/2). Ряд Фурье для функции /" (/), заданной в интервале ( — Т/2, Т/2), имеет вид (26), а козффициенты а„а„, Ьа определяются по формулам (27) — (29).
Если функция /(/) четная, то Пример 6. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию /(/), заданную втинтервале (О. Т/2), следующим образом: 1 (0~1~ Т/4), /(/) = Т вЂ” — 1 (Т/4 (1 ( Т/2). Продолжим функцию /(1) нечетным образом в интервале ( — Т(л, 0), а затем периодически с периодом Т продолжим график полученной функции на всю ось 01 (рис. 97). В соответствии с теоремой 3 ряд Фурье сходится для всех значений аргумента и имеет своей суммой значения функции /(1). Так как Рис. 97 продолженная функция является нечетной, то аз=О (А=О, ! 2, ...), Коэффициент Ьь найдем в соответствии с формулой (32): Г/З г/4 т/и Ьв = — /(1) ап Ь вЂ” 1Ю= — 1а!п А — 1гМ+ — ) ~ — — 1) з(п А —,гг(Г, Т Т Т~ Т Т 3~2 ) Т г/ч 2п нли полагая Т Т Г Т Г Ьь= — — ~ г) ми йг) г(т)+ — 3в (и — т!) мийцбт). = л3 и) о Интегрируя по частям, найдем $з Т г) ~йт) !и="/з Т Т (и — П) соз Ат) (ч =я Ь,= — —, — ~ + —, вй Ьйбц — —,.
пв' й ~ч=о пзй 3 лз А )ч=п/з о Т Г 2Т, пй — — ~ совйт) бг)= — з)п — (Ь= ), 2, ...). пзй,) лайз 2 2Т/. 2п ! . Оп ! — !(яп — 1 — — мп — 1+ — мп пз ~ Т 3' Т йз я Следовательно, ряд будет иметь вид Т 1 при 0~1~ —, (Оп ) 4' — — 1 при — <1к —.
2 4 2' 5. Комплексная форма ряда Фурье. Запишем тригонометрический ряд (6) в комплексной форме. Используя формулы Эйлера (см. 2 25) е~ »»е + е Е»"'~ е»»е" — е соз Ле»1 =, зш Леег = 2! получим е'»»"'+ е Г»»ее еы »ее — е а»сояйЛОМ+Ь»з1пйбееà — а» 2 +Ь» 2) или, вводя обозначения с» —— 2, с» = о» вЂ” 1»» е»+1»» а» соз й Леег+ Ь» з(п й еег = с»ее» ™+с»е-!»»"'.
(33) Обозначив се= 2, получим для функции Г(е), заданной в инт тч тервале ~- —, — ), ряд Фурье (6) в комплексной форме: 1(г) =,'У', с»ее»»". » — со (34) »» — ! вьяе— 2с» = и' а»+ Ь»е '» = А»е — ее». (35) Величину С»=2с» называют комплексной амплитудой й-й гармоники. Очевидно, что амплитуда й-й гармоники А»=2(с»~. Формулу (34) иногда удобнее записывать в виде т ~ (Г) = — ~~) Р ((й бее) Лом~~ '»"', (36) где Г(1'ййв)= — '„" н (37) относительная комплексмал амплитуда й-й гармоники, Здесь, как и выше, Лез= — представляет собой частоту первой 2 т гармоники разложения функции в ряд Фурье, или, что одно и то же, приращение частоты при переходе от гармоники с номером й к гармонике с номером й+!.
Величины с» являются комплексными коэффициентами разложения функции 7(е) в ряд (34). Функция е~»»"' называется комплексной гармоникой. Если ряд (6) сходится к функции г(г), то к той же функции сходится и ряд (34). Так как 2с»=໠— )Ь», то, принимая во внимание формулу (27) 2 25 и равенство (15), найдем Получим формулу для определения неизвестных коэффициентов в разложении (34). Принимая во внимание равенства (28) и (29), имеем тр тля се= = — /(1)созкЛМйе — '1 — /(1)з1п/еЛ/в1а(= а,— /ь, 1 1 — /2 - т/е 1 те [е/ее"/+е /" еее е/" ь~/ — е 2 / 2/ /е Из последнего равенства получим тн сь = — / (1) е- гл е"' аг. 1 т /Я (38) Учитывая равенство (37), найдем выражение для г (/7/Ьее): Т/2 Г (Де Лее) = ) / (1) е-/е ье» й/. (39) -тн Если разложение функции /(1) на сумму гармонических составляющих производится в интервале ( — и, и), то формула (34) заменится следующей: (40) /(1) = Х сее/е/, е= — со где се=2 — ~ /(/)е-/мй (А=О, .+-1, -+ 2, ...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
