Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Так как интеграл ) (Р()в) бв, по условию, сходится, то интеграл (3) сходится равномерно относительно 1. В ряде задач автоматического регулирования функция 1 (1) характеризует процесс, имеющий место лишь начиная с некоторого момента времени 1, который можно принять за нулевой. В атом случае 1(г) 0 при 1~0 и формула (1) принимает вид Интеграл в правой части формулы (5) следует определять с помощью предельной операции ~ / (1) е-l"' сМ = 1пп ~ / (1) е-~ ' с//, о г о/е е +о где е-~-+О означает правый предельный переход. В дальнейшем операция предельного перехода будет предполагаться выполненной.
Преобразование, определяемое формулой (5), называется прямым односторонним преобразоеонием Фурье. Обратное преобразование Фурье, соответствующее прямому одностороннему преобразованию, остается двусторонним по переменной со и дается равенством /(/) = — — ~ Р(/со) еу™йо (1) 0), (7) где г'(/со) определяется формулой (5), или символически / р-т(Г(/со)=/(г) (1)0). (8) При 1=0 значение правой части равенства (7), как это следует из равенства (25) $ 35, равно -- 11гп /(/); при1(0 /(/)— = О. 1 2г +о Если функция г" (/со) удовлетворяет условию леммы Жордана (см.
2 32), тО в форь1уле (7) интеграл Р (/тв) еl"' о(со = 2п/ ~ ', Вез Р (/то) еу ' ~ = (1 ) О), — СО о/ где тоо — особые точки функции Р(/со), расположенные в верхней полуплоскости плоскости со. В этом случае / (/) / У'„Коз Р (/со) е/"' 1„, (/ ~ О). (9) и Пример 2. Найти спектральную характеристику Ч/ункции е /// при т О, /(1) = О при 1 СО, причем а) О. Очевидно, что одностороннему преобразованию Фурье могут быть подвергнуты те функции /(1), которые в любом интервале, заключенном в пределах 0(/~со, удовлетворяют условиям СО Дирихле, и интеграл ~ 1/(/) ~ о// существует.
о Данная функция удовлетворяет условиям применимости преобразования Фурье. Из формулы (5) получим 1 ~1сь 1 Г ()йв) = ~ е и'е ДИ о'1 = — —. е '~+Лап ~ а+!и )о а+1ю' в т. е. Пример 3. Найти функцию !(1) при 1~0, если спектральная харахтерн- 1 стиха этой фуницин ь'(/и)= —. а+!са 1 1 Функция с ()ы)= — — имеет в верхней полуплосности единственную и ы+-- ) особ!чо точи)' м=мь= — —.=!Иь Следовательно„ принимая во внимание формулу (9), получаем (1) О); 1 1 .,! 1 )(1)=! Вез —; . едя~ = !пп (ы — )са) —.еяи=е ол 1 м — 1» ~м= ° в +(о сэ — ях 1 при 1~01(1)— = 0; и 1=0)(й= )нп 2г +в ( я л ьу Д )4ь(()~= 'Я )ьРь()со) мц ь=ь я л У'-' ~~Д Ларь ((со)) = ~', )ьь~а (1).
.=1 ь 1 Доказательство. По формуле (1) найдем (10) (11) Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, а множитель, не зависящий от переменной интегрирования, можно выносить за знак интеграла, то С а э ОЭ П Р ~ ~ , ')еЬ (1)) = ~"„) а ~ )а (1) е-т'" Й = ~ ),арл фо). а з а ь-т 2. Спектральные характеристики суммы, производной и интеграла.
Рассмотрим основные теоремы, относящиеся к преобразованию Фурье. Теорема 1„Если функции 1'т((), !а(1), ..., )'„(1) преобразуемы по Фурье и их спектральными характеристиками являются соответственно Р, ()со), Ра ()ю), ..., Р„()со) и если ) ы ) „..., Մ— величины, не зависящие от 1 и ю, то справедливы следующие равенства: Аналогично получим, используя формулу (3), ( л сл л '1~'" ""') =-'. ~ ~"" """"" = а=а — сл а=! л со л ~) ) а —, ~ га ((ю) и( ' йю = ~) Ха(е ((). И а — 1 — сл а 1 Эта теорема устанавливает линейность преобразования Фурье, т.
е. показывает, что линейной комбинации функций соответ- ствует линейная комбинация спектральных характеристик этих функций. Пример 4. Найти спектральную характеристику функции ((О = =( е от+е рЕ при т>О при г л..о (сс> О, Р > О). Принимая ио внимание доказанную теорему и результат примера 2, вайлем .елс(е +е Ре)=ле(е 9)+т(е Ре) + (с>О) ' -=+на р+(ее Теорема 2. Если функция ((() и ее производная ('(() преобра- вуеиы по Фурье и ( (() имеет спектральную характеристику Р ((го), то спектральная характеристика производной ~ (( ((Н=(юрою).
(12) До к а з а т е л ь от в о. Преобразование по Фурье производной определяется равенством У' ((' (()) = ') (' (() е-~'" й(. Проинтегрируем правую часть этого выражения по частям, тогда Р ((' (()) = ( (() е-("' ~" + (ьз ~ ( (() е '"' Й. Так как функция ((() преобразуема по Фурье, то Игп ((()=О, откуда ((()е-Км!+' =О. 1 Замечая, что ) ((()е т"'й(=-Р((ю), найдем р ((' (с)) =(ьзр((ьз). И Используя и-кратное интегрирование по частям, можно показать, что спектральная характеристика абсолютно интегрируемой в интервале ( — со, со) производной ~<л) (() определяется равенством лр ((сл] (()) ((ге)л Е ((м) (13) если 1пп (<а)(() О (й=О, 1, 2, ..., п — 1).
Легко убедиться, что при одностороннем преобразовании Фурье спектральная характеристика производной У Д' (1)) =)гор ()гь) — 7(+ 0), где 1(+ 0) = 1пп (1). с +о Теорема 3. Если функиия 1" (1) преобразуема по Фурье и Е(1в)-ее спектральная характеристика и если )О )'(г)А=О, то спектральная характристика интеграла ~ ) (т) дт ( 1 л() ПОО~- —. Р ((сь) НО (15) 1(т)с(т =+ (17) Доказательство. Найдем преобразование по Фурье интер м л(1~СОО~-1 (1~(ОО.) Л. Ос с рс интеграл в правой части этого равенства по частям. Тогда У ~ ~(т) Ус = —; — е-г ' ~ ~(т) г(т +.— ~ Г(1)е-г 'с(1. — СΠ— СΠ— СО Так как по условию теоремы ~ 1(т)дт=О (зто справедливо, например, для нечетной функции 1(1)), то первое слагаемое правой части обращается в ноль и мы имеем ( СО / У ~ ~ 1 (т) Ж~ = —. ~ 1 (1) е и" Й = —.
Р (Ро). ° Теорему можно распространить и на интегралы кратности и. Если ~ ... ~ 1(с) (Й)" =О, то справедливо равенство (НОСОГ)= — „.',. с(с С Сса ОΠ— СО При одностороннем преобразовании Фурье находится спектральная характеристика интеграла )7(т)с(т. Нетрудно убедиться, о что если справедливо равенство 11(т) с(т=О, то о Из последних двух теорем видно, что спектральная характеристика производной может быть получена умножением, а спектральная характеристика интеграла — делением спектральной характеристики функции 1(г) на ув.
3. Спектральная характеристика смещенной функции. Смещение спектральной характеристики. Сжатие и растяжение функции. Пусть задана функция )(г — а), которая отличается от функции 1(() тем, что первая смещена (запаздывает) по отношению ко второй на время а (рис. 103, а, б). Спектральная характеристика смещенной функции 1(1 — а) может быть определена с помощью следующей теоремы. Рис. 103 Теорема 4. Если функция 1'(() преобразуема по Фуры и Р (гв) ее спектральная характеристика, то спектральная характеристика слге1ценной функции 1(1 — а), еде а — положительное число, есть у (1 (( — а)) =е-л"Р ((в).
(18) До к аз а тел ь ство. При доказательстве теоремы используем равенство Р(гв) = ) ) (т) е-г ' йт. Введем новую переменную г=т+а; тогда Г(1'в) = ) 1 (1 — а) е-Го 1г-Ю йг. умножим зто равенство слева и справа на е-нв (а считаем не зависящим от г): е-г~'Г (ув) — г) Г (( а) е — ли сц Но 1'(( — а) е-Р" й1 = У (1(г' — а)), поэтому Р'() (1 — а)) =е /" Е((в).
И Заменяя а на — а, получим спектральную характеристику функции 1((+а), «опережающейз функцию 1((): Р Ц((+а)) =е)и'ГЦо). (19) Пример 5. Найти спектральную характеристику смещенного импульса высо. той А„и длительностью т„(рис.
104). Заданный импульс 'га 3'ге Аа при 6(1)= ти 3„ 0 при ГС вЂ” и Г> —. 2 2 Функция (т(1) является запаздывающей на время т„по отношению к функции 1(1), рассмотренной в примере 7,5 35. Следовательно, ее спектральная характеристика определяется формулой (18), где нужно положить а= с,. Так как спектрахьная характеристика несмещенной функции (см. пример 7 $ 35) 2А„ . от„ 4й) г" ((о) = —" мп — ", 2 то т((г(1))=е Гота —" Ип — ". Ан о 2 Теорема 5.
Если Функг4ия 7 (() преобразуема по Фурье и Е Цю) — ее спектральная характеристика, то ти г'(е-мгг (()) Е Ц (о+а)) (оо) Рис. 104 где а — лгобое ееи(естеенное неотриг(ательное число. Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя формулу преобразования Фурье ЕЦ«о) = ~ 1(() е) 'с(г, найдем У (е-Мг(" (()) = ~ 7 (1) е-'1 ' 1' с(1 = Г Ц (о+ а)) . ° Заменив а на — а, получим еще одну формулу: У' (ег '7 (1)) = Е Ц (о — а)). (21) Пример 6. Определить, какая функция имеет спектральную характери- 1 «тику, равную, где а ) О-вещественное число.
а+1(о+а) ' 1 Обозначим . через г" (1 (о+а)). Несмещенная спектральная а+1 (о+ а) 1 характеристика г" Цо) = ., как видно из примера 1, соответствует фунхции я+)о е'«г ' при 1) О, 1(1) = 0 при 1~0. 1 -(" 51 относительно р (см. п. 1 $ 36). В этом случае в правой части (соследнего равенства можно переменить порядок интегрирования: ' $ диьи~ =,— '„[с,< )~(с,(о~ сф.. Так как справедливо равенство ~' рд (с) е1 ' Ш = Рд ( — )о), то получим ~ 6 (~) 1д (~) й = — „~ Рд ()'о) Р, ( — )'о) с( . ° Утверждение, записываемое в виде равенства (23), носит название теоремы Ларсееоля. Теорема позволяет находить интеграл в бесконечных пределах от произведения двух функций, 'оперируя лишь со спектральными характеристиками этих функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
