Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е. положим го=АЛго. Под знаком суммы бесконечного ряда в правой части равенства (6) величина го принимает дискретные значения; если же Т-ь со, то частота го сделается непрерывной величиной. В атом случае *1 со ~[а )~т Х з з=! — пз т 1 -и — Хз ")!ь!, зь !(-ее= Т оэ !! з=! /з ! = — 1 Йо ~т(т) созга(1 — т)Ь. 1 Г 0 — со Следовательно, для непериодической функции ) (1), удовлетворяющей указанным выше условиям, справедливо равенство 1(1)=-- ~ г(оз ~ 1(т) созе!(1 — т) г(т. 1 о Равенство (7) имеет место для тех значений независимой переменной 1, для которых функция т (1) является непрерывной.
В точках разрыва непрерывности функции 1 (1) в интервале (-- -~ т т! — — — сумма членов ряда Фурье (1) равна (см. р 34). Можно показать 141, что в точках разрыва непрерывности правая часть выражения (7) будет определяться равенством и .) .) ('Д„( ~(,) „,„(1,) „, 711+о)+7(! — о) я Интеграл в правой части равенства (7) называется инлтегралгьн Фурье.
м Более строгое доказательство предельного перехода см., например: Б удак Б. 1и., Фомин С. Б Кратные интегралы и рады. Физматгиз, 1967, с Б11. Получим выражение для интеграла Фурье в виде, несколько оглнчиом от (?). Учитывая формулу для косинуса разности, найдем СО СО 4 — ~ дм ~ ~(т) сов в(1 — т) г(т= 1 Г Ь Введем обозначения". и( )= ~ Цт) ° бт У(м) = ~ ~ (т) з(п ол дт (а) О), (9) (10) тогда 1(г)= Я[и(ы) ы(+У(м) ' (),( . (11) д Сравнивая разложения (11) и (1), а также формулы (9) и (10) соответственно с формулами (3) и (4), можно установить определенную аналогию между рядом и интегралом Фурье.
В обоих случаях функция 1(г) раскладывается на сумму гармонических составляющих. Однако в ряде Фурье суммирование производится по индексу А, принимающему дискретные значения й = = 1, 2, ..., вследствие чего смежные гармоники ряда имеют частоты, отличающиеся друг от друга на величину б<о. В интеграле Фурье в отличие от ряда Фурье производится интегрирование по непрерывной переменной ю. Коэффициенты ряда Фурье аь = ад (я Ла), Ьь = Ьь (А Ла) есть функции дискретной переменной А, являющейся номером гармоники в разложении.
Функции ~/(м) и У (гз) напоминают коэффициенты Фурье, однако зти функции зависят бт переменной ы, изменяющейся не дискретно, а непрерывно. Следовательно, частоты смежных гармоник в представлении функции 1(1) в виде интеграла Фурье непрерывно переходят одна в другую, т. е. отличаются на величину бесконечно малую. Рассмотрим частные случаи разложения 111). Пусть функция ~(1) — четная. Тогда, как следует из (9) и (10), (l(ы) =2 $ г" (т) сов атг(т, Ъ'(оэ) =О. (12) о В атом случае функция 1(1) может быть представлена в виде интеграла Фурье по формуле е ) (1) = — „~ У (ы) сов М е(гь, 1 Г о где У(гь) определяется первым равенством (12).
Пусть теперь ~(1) — нечетная функция. Для такой функции (13) Е/(гь) =О, Р(гь) =2 ~ 1(т)вшсотА о (14) и интеграл Фурье ~ (1) = — Р (гь) в(п и( с(гь. ! (16) ы (гь) = ~/ — ~ ) (т) сов втс(т, (16) о Р (гь) = ~, — '1 (т) в)п гьт ат, (17) тогда вместо формул (13) и (15) соответственно получим: 7 (1) = )/ — ~ О (гь) сов а1 сЬ, п~-у' —,') и )и"и..
Функции 0 (в) и Рт(ы) называются соответственно косинус-преобразованием и синус-преобразованием фурье. Из формул (16) и (18) видно, что 0 (ы) определяется по заданной функции Г(1) точно так же, как определяется ~(г) по заданной функции 0 (гь). То же самое можно сказать и в отношении функций ((г) и Р(в). Другими словами, функции )".(1) и б(в) за (18) (19) Формула (11) и ее частные случаи — формулы (13), (15)— характеризуют разложение непериодической функции ) (1) на сумму гармонических составляющих с частотами ы, непрерывно изменяющимися от О до со.
Заметим, что если функция 1(1) задана лишь в интервале (О, оо), то формула (13) продолжает эту функцию четным образом, а формула (15) — нечетным образом на всю ось 01. При 1)0 обе формулы дают один и тот же результат. Введем обозначения: взаимно являются косинус-преобразованиями, а функции )". (1) н 'к'(ш) взаимно являются синус-преобразованиями. Равенство (!8) (плн (17)) можно рассматривать как интегральное уравнение, селя задана функция (7 (со) (илн (7(ш)), а определению подлежит функция )'(1). Формула (18) (нлн (19)) дает решение этого уравпепня.
Пример !. Задана фувкция 1(1)=( (а~ О, 1~0) 1<о. Определить косинус- и синус-преобразования для этой функции. По формулам (16) и (17) найдем: Г2 а У(ш) = ~' — Зт е "'сев ыт от = ~Г и и аз+аз о Г2 ы Ь'(ш) й/ — 1 е "та)пштт)т= ~/ и,) — Г и а+а. СО СО 2а Г совы| 2 Г шзюш) — -ош=е а1 11)0), — ' ош=е *' (Ю)0), и,) сР+еР сР+ оР о 2. Комплексная форма интеграла Фурье.
Покажем, что интеграл Фурье для функции 1(1) может быть записан в комплексной форме 1(г) = — ~ йо ~ 7(т)еу "-'>с(т. (20) В самом деле, используя формулу Эйлера еу" "-'1 = соз св (г — т) + 1 вш оз (1 — т), найдем Выражения, стоящие в круглых скобках в первом н во втором слагаемых правой части, являются соответственно четной н нечет- ной функциями относительно переменной ш, поэтому 1(1 ро~ ь е — ее )е -о. Функция 1())=е "~ интегрируема в интервале (О, со), поэтому справедливы и взаимные отношения: Заметим, что здесь рассматривается главное значение з) несобственного внешнего интеграла, т. е.
полагаем итак, (21) Сравнивая формулы (21) и (7), видим, что они полностью совпадают друг с другом. Следовательно, интеграл Фурье для функции ('(() может быть представлен в комплексной форме (20). Так как г' не зависит от т„то множитель ег ' можно вынести из-под знака внутреннего интеграла в формуле (20), тогда ( (() = — 1 егм' г(г» ~ ~ (т) а-г"' г(т. 2п,) Величина интеграла не зависит от наименования переменной интегрирования, поэтому, вознращаясь к старой переменной г', т. е.
заменяя т на (, получим формулу для интеграла Фурье в следующем виде: ((() 1 $ нам г(г» ~ ('(г)а-лм и. (22) Комплексная форма интеграла Фурье (22) имеет своим аналогом комплексную форму ряда Фурье (34) (см. 3 34). Здесь роль коэффициеитной комплексной функции са выполняет внутренний интеграл, который обозначим Р()г»), т. е. Р()г») = ~ ((г) е-/"ге((; (23) следовательно, 1 (() = — ~ г (1'г») еим й». (24) а а' Может оказаться, что предел )пп ))(ба( не существует, если а и Ь '"' а а- стремятся к своим пределам независимо друг ст друга, т. е.
интеграл СО а ) )(0~(г расходится. но при атом может существовать предел 1!гп ) )(г)г(г, сс 'о — а который называется глазами значением несобственного инпыарола ) 1(бог. Ниже все несобственные интегралы рассматриващгсн в смысле их главных значений. Функция Р()ы) называется преобразованием Фурье функ. г(ии ) (() *). Как показано ниже, зта функция характеризует спектральный состав функции ~(г) и может быть названа также спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции ) (г) е*). Формула (24) определяет значение функции )(г) в точках, где зта функция непрерывна. В точках разрыва непрерывности получим,~учитывая равенство (8), что 1()+о)+) (т — о) (25) Формулу (24) можно представить в несколько ином виде.
Имеем Ж) = ~ (Р ()тв) Ы"+ Р ( — )то) е ) ')йю' ) (() = — Ке РОтв)е) 'йо). (26) В этой формуле интегрирование производится лишь по положительным значениям ю. Получим формулу преобразования Фурье в ином виде, для чего равенство (23) перепишем следующим образом, используя формулу Эйлера: Р()о)) = ~ ~(() (созМ вЂ” ) з(по)() йю. (27) Учитывая обозначения (9) и (10), будем иметь Р()ю) =(У(ю)-)У(о)), ь) (ю) = — 1ш Р Ою), () (о)) = т(е Р ()ы). где Из (9) и (10) видно, что функция (У(ю) является четной, а ь'(ы) — нечетной относительно переменной о). Функцию РОо)) можно записать в виде Р ()тв) = (Р ()ы) ) е)е("), (28) )гГ~))-)'П) ))-г' ) где (29) *) Преооразованнем Фурье называется также процесс определения функция Р(ри) с помощью формулы (23). **) Полагаем, что аргумент г имеет размерность времени, в этом случае аргумент в имеет размерность частоты.
так как слагаемые под знаком квадратных скобок являются сопряженными величинами, то — модуль преобразования Фурье — является функцией четной, а его аргумент чэ (ьэ) = агк Р Цоэ) = — агс1й !э (м) (30) — функция, нечетная относителыю ьэ. Так как (/(ьэ) =!РЦьэ) !Х х сов чэ (оэ), г'(оэ) = !Р Цоэ) ~ з(п чэ(оэ), то вместо формулы интеграла Фурье (11) можно использовать формулу ! (!) = — ~ ( Р Цьэ) ~ соз (ьэ1 — э!э (ьэ) ! э(ьэ. '- о Сравним преобразование Фурье РЦы) с относительной комп лексной амплитудой й-й гармоники Р Цй Льэ), определяемой тэз равенством (39) $ 34: РЦЙ Ьоэ) = ~ ) (1)е-!ь" 'й.
В пределе при -тэз У- сю (т. е. при Ьоэ-оО) правая часть этого равенства совпадает с правой частью равенства (23), т. е., учитывая формулы (35) и (37) 3 34, найдем РЦьэ)= 1пп РЦАЛьэ) = 1йп — оп= !пи и — "е эчь. Т оэ Т оо Л"О Т оо Функция Р Цйээеэ) дает при фиксированном й значение относительной комплексной амплитуды й-й гармоники разложения периодической функции в ряд Фурье. Если А принимает значения О, 1, 2, ..., то РЦйээоэ) будет принимать дискретный ряд значений РЦО), РЦЬьэ), РЦ2йоэ), .... Функция РЦы) характеризует закон изменения относительных комплексных амплитуд разложения непериодической функции на сумму гармоник. Так как частота ьэ принимает непрерывный ряд значений, то график функции ~ Р Цьэ) ~ состоит не из отдельных (дискретных) точек, а является непрерывной кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
