Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 10
Текст из файла (страница 10)
108, а) от гладких функций последовательности (б), является дельта-образной последовательностью, так как !!гп 7а(г, Л) =б((). В самом деле, при (~0 л Рис. 108 имеем 1пп, =О, при (=0 1ип, = 1ип — = Л . Л ~ ° Л п (1+Ллн) л п(1+Л () л = со, причем —,, "- г((= — агс!дИ~ = -„-~ — — ( — — )~=1.
Следовательно, функция, определяемая как предел последовательности функций (11) при Л вЂ” ~-оо, является дельта-функцией, т. е. последовательность (11) представляет собой дельта-образную последовательность. При таком определении дельта-функции оиа является четной функцией. Нетрудно убедиться, что производные по ( от последовательностей гладких функций (7) и (8) также являются дельта-образными последовательностями. Дельта-фуни(ия может аппроксимироваться и разрывными функциями.
Например, последовательность функций 1 00 — 1 (( — а) )а((, а)= (12) 1 характеризующих импульсы высотой — и длительностью а (рис. 108, б), при а-ьО сходится к дельта-функции, т. е. б (() = 1ип 7а ((, а) = !ипс с о Смещенная делыпа-функция 6 (! — т) определяется равенством 10 при 1~х, 6(! — т) =~ ()з) (со при (=т, при этом 6 (! — т) с(1 = 1. (14) Х )в(г — т к)= „1!+х (г )~1 ° (15) 6(à — т)=1пп Ге(! — т, Х) л- т. е, Выше было отмечено, что гладкие дельта-образные последовательности образуются в результате дифференцирования последовательностей гладких функций, сходящихся к единичной ступенчатой функции; поэтому дельта-функцию 6(! — т) можно считать производной по ! от единичной ступенчатой функции 1 (! — т), т.
е. 6 (! — т) = 1' (! — т). (16) Таким образом, понятие дельта-функции оказывается плодотворным при распространении операции дифференцирования на разрывные функции. Если выполнить дифференцирование по ! дельта-образной последовательности, то получим последовательность, сходящуюся к производной от дельта-функции. Например, дифференцируя выражение (15), получим последовательность 27Р (г — т) л ~'- ™ = кгсетг--.и Тогда производная от дельта-функции по аргументу ! будет 6' (! — т) = Вгп ~ь (1 — т, Ц. На рис.
109 приведены графики функций Д(1 — т, Х) для различных значений параметра Х при т=О. Первую производную от дельта-функции называют также импульсивной функцией второо порядка. Производная порядка п от дельта-функции би (1 т) — 11ш ~а (1 т Ц (17) может быть названа импульсивной функцией (п+1)-го порядка. 63 Функцию 6(! — т) следует понимать как предел,при А-+ со смещенных дельта-образных последовательностей, например последовательностей гладких функций вида Рассмотрим важное свойство дельта-функции. Пусть функция ~(1) непрерывна и ограничена в интервале — оо(1 -оо, тогда справедливо равенство ~ ~(1) 6(Р-т) й=~(т).
(18) Действительно, подынтегральная функция согласно равенству (13) равна нул1о при 1~т, поэтому СО и+е ~(1)б(1 — т)й= ~ ~(1)6(г-т)й. Здесь в)0 — произвольно малая величина. При 1=т функция 1 (1) имеет значение 1 (т) и может быть вынесена за знак интеграла при интегрировании в бесконечно малой окрестности точки 1 =т, тогда получим 1(г) 6(1 — т) й = с+и = 1(т) ~ 6(1 — т) й= т-е =~(.) ~ 6(1-т) (т-~(,), следовательно, соотношение (18) Рис. 109 является справедливым. Это соотношение определяет так называемое афильтруакцее>, или авиватываюи(ее» свойство дельта- функции.
Пусть 1(1)=д'(Г); тогда вместо равенства (18) получим д' (г) 6 (1 — т) й = 8" (т). Проинтегрируем интеграл в левой части равенства по частям: 8'(1)б((-т) й=д(1) 6((-т) ~ — '1 д(1)б'(1 — т) й= — у(1) 6'(1-т) й, так как произведение у(1)б(1 — г) обращается в ноль при 1 .+.со. Следовательно, — ~ д(1)б'(1 — т)й=д'(т) или, сме- нив наименование функции д(Г) на ) (!), найдем, что Аналогичным образом можно показать справедливость соотношения ~(!) б(в! (! т) ~Ц ( ца~(п! (т) (20) если функция !(!) имеет непрерывные производные до п-го порядка в интервале — со(г'(со.
Определим теперь спектральные характеристики единичной ступенчатой функции. Единичная ступенчатая функция 1(!) не удовлетворяет условию абсолютной иитегрируемости, и поэтому преобразование Фурье для такой функции не существует. Однако, используя понятие дельта-функции, можно построить спектральную характеристику и для функции 1(!). Покажем, что ее спектральная характеристика определяется равенством ! г (1(!)) =Р()тв) = —.+ б(м). (21) Подставляя Р()го) в формулу (24) 9 36 обратного преобразования Фурье и учитывая фильтрующее свойство дельта-функции, получаем ) (!) = — ~ ( —, + пб (ео)) едм дев = — ~ .~ йэ+ —.
(22) Учитывая лемму Жордана и основанные на этой лемме способы вычисления несобственных интегралов (см. 5 32), найдем, что евган г е!ае — йо=)п при 1)0 и ! — йо= — )п при 1~0, Следовательно, ~(!)'= ~ ..1п+ ~ — — 1 при 1)0 ! . ! ~(!)= ~7-(-)п)+ —,=0 при г(0. ! . ! Таким образом, обратное преобразование Фурье функции Р(!го) приводит к единичной ступенчатой функции, и поэтому правая часть равенства (21) является спектральной характеристикой функции 1(!). 3 нао чемоданова в. К„т. 3 Отметим, что, отделяя в выражении (22) действительные и мнимые части, получим представление единичной ступенчатой функции в виде интеграла Фурье: 1 (1) = — ~ — дси+ —.
1 Г и!асс! 1 2и е и 2' Для смещенной единичной ступенчатой функции (2) найдем, учитывая равенство (21) и теорему 4 5 36, следующую спектральную характеристику: У (1(1 — т)) =Р(!си) = =е-1"'(- — +пб(оэ)). (24) Определим спектральную хаРис. 110 рактеристику дельта-функции (9). Получим, принимая во внимание фильтрующее свойство дельта-функции, что У (6(1))=Р(ро)= ~ 6(!)е-1"'И=1. (26) Спектральная характеристика смещенной дельта-функции будет У (6 (! — т)) = Р (/си) = е !'". (26) Из последних двух равенств видно, что модуль спектральной характеристики дельта-функции 1Р ()сс)! равен единице (рис. 110). Рис.
111 Найдем спектральную характеристику суммы двух дельта- функций 6(1 — т) и 6(1+т) (рис. 111, а): У (6 (! — т) + б (1+ т)) = Р (/сс) = $ [6 (1 — т) + 6 (!+ тЯ и!"' й = е !"'+Ф"'=2 сох сит, т. е. в этом случае спектральной характеристикой является косинусоида (рис. 111, б). Следует заметить, что полученные соотношения имеют чисто формальный характер, так как дельта-функция не является обычной функцией. Строгое обоснование этих формул может быть дано лишь с привлечением теории обобщенных функций, поскольку дельта-функция может рассматриваться как один из примеров обобщенных функций. 2. Гармонические колебания.
Пусть задана косинусондальная функция 1(1) = А, соз в,( (27) с амплитудой А, н частотой в,. Амплитудссый спектр этой функции состоит из двух отрезков высотой А, при частотах в = 1-со,; Рив 112 для других значений частоты в значения амплитудного спектра равны нулю (рис. 112, а). Косинусоида не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости на интервале ( — со, со), поэтому формула Г(7 ) = 1 ~(1»" не может быть непосредственно использована для определения спектральной характеристики функции (27).
Однако введенное выше понятие дельта-функции позволяет расширить область применимости этой формулы и, в частности, определить спектральную характеристику периодической функции. Покажем, что спектральная характеристика косинусоиды будет Е()в) = пАт 18 (в — в,) +6 (в+ в,)]. (28) Для этого подставим в формулу (26) 2 Зб обратного преобразования Фурье ) (1) = У -' (Е ()в)) = — Ке Р (1в) ес' ' с(в (29) с 67 8» выражение (28): » (1)= — Ке лАаб(в — ва)ег"'Во=А,Бее~"'. 1 Здесь мы использовали свойство (18) дельта-функции, причем точка в= в, расположена внутри интервала (О, со), а 6 (в+в,) = = О при в ) О.
Следовательно, с учетом формулы Эйлера найдем 1 (1) = А, Ке [соя в,»+ »я»п ваг» = А, соя ва», т. е. обратное преобразование Фурье спектральной -характеристики (28) дает косинусоиду (27). Итак, показали, что У ' [лА, [б (в — в,) + 6 (в+ в,)и = Аа соя ва», (ЗО) н, как следствие, получаем, что спектральная характеристика косинусоиды (рис. 112„6) У [А, соз ва») = Р (»в) = лА, [6 (в — ва) + 6 (в+ ваЦ. (31) Равенство (28) может быть доказано также с помощью предельного перехода.
Найдем предварительно спектральную характеристику произведения е-хм» А, соя в,1, где Х) Π— некоторый параметр: У (е-х»'» А, соя ва() = Р (»в, Х) = ) е-" »'» А, соя в 1е вм а»й Множитель е-хы» обеспечивает сходнмость интеграла в интервале ( — со, со); имеем г (»в, Х)= ~ е-х»'»А,сояв,4е — Г"' а»1= =Аа 1 е — оп»сояв,1сояв1й — 1Аа ) е-"М»сояв,1я»пв»а»1= =2А, ~ е "'соя в,1сояв1б».
о В атом равенстве мы приняли во внимание, что произведение е-"»и сов ва( соя в1 является четной, а произведение е-х»п соя в,1 х хя»п⻠— нечетной функцией относительно аргумента 1. Так как соя в,1 соя в1 = — [соя (в', — в) + соя (в, + в)1, » я то спектральная характеристика ЕЦв, Х) =А, ~ е-ха[соя(ва — в)»+соя(ва+в) 1»а»1= о =А,~ х Х ха 1 (а — а,)а + ха.» (в » аойа ~ Найдем теперь интеграл: Л Л д~ Лд+(в — вДд + Лд+(в+в1)д~ =А, ~агс!а — „' ~ +агс(н — '~ ~ 2пА,. После предельного перехода получим: Сравнивая полученные выражения со свойствами дельта-функции (12) и (13), найдем, что при Л- О спектральная характеристика Р(ув, Л) имеет характер суммы двух смещенных дельта- функций, т.
е. 1!пдР(уа, Л)=Р(ув) пАд[6(а-ад)+6(в+ад)!. д о Следовательно, равенство (28) является справедливым. Пусть теперь задана периодическая функция У(У)= Х АосоаУдвдг. (32) Ее спектральная характеристика ог ~ ~, 'АосоайвдУ1= 'Я Р'[АосоаУдадУ) = (д=~ о=1 Я', А,[6( — й,)+6 (в+й,)1, (33) т. е. равна сумме дельта-функций, смещенных по оси а на величину д удвд.
Спектральная характеристика синусоиды у(у) =Ада!п вдд (34) Р(ув) у" [6 (а- вд) -6 (а+ ад)3, (35) ее модуль )Е(ув) 1=Адп[6(а-ад)-6(в+ад)1. 1пп Г(ув, д о О В1 1!гпЕ(ув, Л)=0 при д а Л)=оо, 1пп Г(уа, Л)=оо, д о В О~ а~ +. ад, !пп ~ Р(ув, Л) йо=2пАд. д о Спектральная характеристика периодической функции 7(г)='.~ Льз(пйе!,1 и=1 (37) определяется равенством )е це!) = — ~, Аь ~б (е! — 7ее!,) — 6 (ги+ йе!,И. (38) е-! й за. спектрдльиые хАРАктеристики, зАВисящие От ВРемени Введем понятие л!екуи(ей спектральной характеристики, которую определим следующим образом: г'! Ое!) = 17 Е е лм а. е Пример.
Определить текущую спектральную характеристику синусоиды 7(О=А! ми мед " 70 Текущая спектральная характеристика позволяет со спектральной точки зрения описать свойства и историю развития реально существующего и наблюдаемого физического процесса. В самом деле, если функция 7(1) характеризует некоторый процесс, начинающийся в известный момент времени, который можно принять за нулевой, то в формуле преобразования Фурье г'(7ти) = ) (г) и-У"" е(г необходимо попожить ) (1) = О при — со <1<0, другими словами, следует перенести нижний предел интегрирования из -со в О. Вид функции 7(1) может быть точно установлен лишь в интервале наблюдения (О, 1), поэтому интегрирование надо производить в пределах от О до 1, а не от О до со, так. как после окончания наблюдения за процессом вид функции ! (1) в общем неизвестен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
