Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Интеграл в правой части называется интегралом Дюамеля. В $ 17 соотношение, аналогичное соотношению (27), было получено с помощью формулы Коши. уМ Рассмотрим детальнее роль импульсной переходной функции я(1 — т). Управляющее воздействие д (1), поступающее в автоматическую систему, можно !1!!!!!! аппроксимировать ступенчатой ! ! ! ! ! ! ! ! ! ломаной с бесконечно большим !тт числом ступеней и бесконечно малым шагом каждой ступени (рис. 118, а). Тогда возбуждение системы воздействием и"Я д (1) сводится к возбуждению у(т) системы непрерывной серией импульсов величиной д (т) г(т. г й-г) Реакция системы на единичный я,й-г) импульс в виде дельта-функции, ! приложенной к системе в мо- г мент времени 1=т-, известна— зта импульсная переходная функция я(1 — т). Очевидно, что Рис.
118 реакция системы на импульс величиной д(т) Ж, приложенный к системе в тот же момент времени 1=т, есть к(1 — т)д(т) вт. Реакция системы на всю совокупность импульсов, т. е. на управляющее воздействие д (1), определяется равенством (27), т. е. состоит из суммы реакций на каждый импульс в отдельности. Пусть 1 является моментом наблюдения за реакцией системы х(1), разность 1 — т — интервалом времени (рис. 118, б) между моментом приложения к системе импульса д(т) г(т и рассматриваемым (текущим) моментом времени 1) т.
Функция А(1 — т) будет определять, таким образом, степень участия импульсов, приложенных к системе до рассматриваемого момента времени в образовании значения х(1) реакции системы в текущий' момент времени 1. Влияние импульсов, предшествующих моменту времени 1, на значение величины х(1) зависит от характера импульсной переходной функции А(1- т). Из рис. 118, б, например, видно, что импульс д(т) 0т проявляет себя в момент времени 1 более существенно, если импульсная переходная функ- 88 ция имеет вид й, (г — т). Если же эта функция имеет вид йт(г — т), то влияние импульса будет проявляться слабее.
Следовательно, импульсная переходная функция как бы «взвешнвает» роль каждого импульса, приложенного к системе в момент времени (=т, в образовании реакции системы в рассматриваемый момент времени г т. По этой причине часто импульсную переходную функцию называют также весовой функцией. Наряду с формулой (20) можно, принимая во внимание теорему 6 9 36, установить еще одно соответствие между импульсной переходной функцией й(() а амплитудно-фазовой частотной характеристикой Ф ()ю): аФ (а)ш) = ) А ( — ) е ~"'с(г, (28) где а — положительная постоянная, не зависящая от 1 и ю. Отсюда следует, что если функцию А (т) растягивать (сжимать) вдоль оси времени 1, то соответствующая ей амплитудно-частотная характеристика ~ Ф ()ю) ~ будет сжиматься (растягиваться) вдоль осн частот ю. Пример а.
Определить амплитудно.фа«оную и амплитудно-частотную харак, теристики линейной систеяы, если весовая функция этой системы й (1)=-йб(1). Рис. 119 По формуле (90), используя фильтрующее свойство дельта-функции, имеем Ф()ю)=~ йб(1)е М о(=А. Отсюда видно, что годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики системы представляет собой точку на действительной оси плоскости Ф()та) (рис 119, а), а амплитудно-частотная харахтеристика Ф()ю) явлвпгся прямой, параллельной оси частот (рис. 119, б).
Весовой функции й (т) в виде бесконечно короткого импульса соошетствует бесконечно широкая чаетотная характеристика (Ф()м)(=й. ач $40. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1. ° Критерий Михайлова. В 5 18 было показано, что для устойчивости линейной автоматической системы требуется, чтобы все корни характеристического многочлена этой системы Е>(Л) =авЛ" +а,Л"-"+...+а„1Л+а„ (1) были отрицательными, если они вещественны, и имели бы отрицательные вещественные части, если онн комплексные. В общем случае непосредственное вычисление корней характеристического многочлена порядка выше четвертого для анализа устойчивости представляет собой весьма трудоемкую задачу, хотя и решаемую с применением методов приближенных вычислений. Для ис- 1тЛ пользования в практике проектирования автоматических систем более )х удобны способы, не требующие непосредственного вычисления корней и позволяющие судить о характере корней характеристического много- члена по некоторым косвенным признакам.
Разработаны правила, устанавливающие необходимые и достаточные условия, которые следует наложить на систему, чтобы корни ее характеристического многочлена были бы отрицательными нлн имели бы отрицательные вещественные части. Эти правила называются критериями устойчивости системы. В 5 18 был получен алгебраический критерий устойчивости. Разработаны критерии устойчивости, базирующиеся на частотных представлениях.
Сначала рассмотрим критерий Михайлова. Этот критерий предусматривает использование частотного годографа О ()м), который может быть получен из характеристического многочлена системы с)(Л), если положить Л=)ы. Применяя принцип аргумента (см. й ЗЗ), найдем условия, при выполнении которых характеристический многочлен (1) не имеет корней (нулей) в правой полуплоскости плоскости независимой переменной Л=а+)ы. Для этой пели на плоскости образуем замкнутый контур 1х (рис. 120), состоящий из полуокружности Сл радиуса )г и отрезка [ — 1)г, (гг) мнимой оси (я.
Если устремить )г к бесконечности, то замкнутый контур 1г будет охватывать всю правую полуплоскость плоскости Л, н если при этом в правой полуплоскости характеристический многочлен О (Л) имеет корни, то зти корни окажутся внутри замкнутого контура. В соответствии с принципом аргумента число полных оборотов изображающего вектора на плоскости 0(Л) вокруг начала Ь!„агйР (Л) = 2п!т' йя агяР(Л)+йс„агя0 (Л) =2пУ. или (4) Первое и второе слагаемые в левой части этого равенства характеризуют приращение аргумента при движении изображающей точки Л по отРезкУ [+ Я, — 1)г) и полУокРУжности Ся соответственно.
Обратимся к равенству (1). Имеем Кс, ага Р(Л) =бе„агфа,Л" (1-(-'— ' — +...+ — ' — „, +~ — ",— „'„) = / а~ ! ад г 1 а„ ! ! =Лс агцЛ" +ос агяа,!1+ — — +...+ — — + —" — ). аа Х '" а, М' АХ„!! Пусть !Л ~=Я-ч-оо; тогда и приращение аргумента Лс агфа (1+ — — +...+==+ — — 1-~-0. вл-т ! сл 1! о а, Л '" а, ~Р~ аох"/ Но бсл зги Л"=ил, поэтому справедливо танже равенство 11т йс агдР(Л)=ил. (5) я оо Таким образом, для определения приращения аргумента многочлена 0(Л), когда изображающая точка Л движется по полу- окружности Ся бесконечно большого радиуса, достаточно показатель степени многочлена умножить на число и. Для определения приращения аргумента б!„аги 0 (Л) при )г -оо необходимо найти образ мнимой оси плоскости Л на плоскости 0(Л). Подставив в выражение (1) Л=ро и изменяя ы координат, имеющее место при полном обходе изображающей точкой Л контура 1м определяется равенством А=й!.
(2) Здесь й! — число нулей многочлена 0(Л) внутри замкнутого контура (х (рис. 120), причем на мнимой оси многочлен 0(Л) нулей не имеет. Если при отображении контура (х на плоскость 0(Л) при й-~-со окажегся, что число оборотов й изображающего вектора на плоскости 0 (Л) равно нулю, то, как следствие, в правой полуплоскости плоскости Л нет нулей многочлена 0(Л), т. е. автоматическая система является устойчивой. Обозначим через Л! агиР(Л) приращение аргумента много- члена .0(Л) при полном обходе изображающей точкой Л контура 1х против часовой стрелки.
Очевидно, что от +со до — со, на плоскости Р(1е) получим кривую — образ мнимой оси плоскости Л. Используя эту кривую, можно опреде- лить приращение аргумента Л~, агяР(Л) при Я-~оо. Если ока- жется, что 1пп Л~„агйР(Л) — ял, я со 11п1 Ь! агяР(Л) =1пп Ьс, агяР(Л)+ 1пп Лс„агяР(Л) = и со и со я со = — па+ пл О (7) !пп й, агдР(Л)= — — "л. и со (8) Если движение происходит по положительной части мнимой оси Л= рв снизу вверх, т. е. если изменять значения м от нуля до + сс, то вместо равенства (8) найдем 1пп Ь|л агдР(Л)оо — и.
(9) и со Таким образом, равенство (8) или (9) устанавливает условия, при выполнении которых характеристический многочлен автоматической системы не имеет корней в правой полуплоскости, т. е. система является устойчивой. Найденные условия имеют простую геометрическую интерпретацию. Представим характеристический многочлен (1) в виде Р (Л) =, ао (Л вЂ” Лт) (Л вЂ” Лз)... (Л вЂ” Л„), (10) где Л; (1=1, 2, ..., а) — корни многочлена, которые в общем случае могут быть расположены как в левой, так и в правой полуплоскости плоскости корней Л (рис. 121). Полагая Л=(со, будем иметь Р(1' )=а (! — Лг)0 — 7 )".0м-Л,). (11) Каждому множителю ((а — Л,) можно поставить в соответствие вектор, начало которого находится в точке Ль а конец располо- В7 и в соответствии с равенством (3) Лс= О, т.
е. в этом случае многочлен Р(Л) не имеет нулей в правой полуплоскости плоскости Л. Кривая, получаемая на плоскости Р(Л) в результате отображения на эту плоскость мнимой оси плоскости Л, является симметричной относительно действительной оси, так как Р(1а) и Р ( — 1в) являются сопряженными функциями; поэтому можно производить отображение на плоскость Р(Л) не всей мнимой оси Л=7со, а лишь ее положительной части. Если справедливо равенство (6), то при изменении а от + со до О, т.
е. при движении по положительной части мнимой оси Л=(а сверху вниз, получим приращение аргумента жен на мнимой оси в точке 1о. При изменении го от нуля до со приращение аргумента Л агй (1го — Х!) равно — (или — --1, Е<а <се 2 2т' если корень Ц вещественный и расположен в левой (правой) полуплоскости (рис. 121).
Если Л! и Ц+г — сопряженные комплексные коРни, то сУмма Л аги (1ог — Ц)+Л агй (1ог — Хиг) о < м <со о<я<со будет равна и (или — и), если эти корни расположены в левой (правой) полуплоскости (рис. 121). Пусть в правой части плоскости Х многочлен В(Х) имеет 1 корней. Тогда в левой части он имеет и — 1 корней. В этом случае получим, что приращение аргумента Л аги Й(1ог) = 0<о<со = (и-1) — — 1 — = 2 2 2' '= (и — 21) —" .
(12) Автоматическая система является устойчивой, если в правой полуплоскости корней нет, т. е. 1=0. Следовательно„ для устойчивости системы необходимо выполнение равенства Рис. 12! Л агй й (1го) = и — ". (13) 0<в<со 2' Это условие не отличается от условия устойчивости (9). Полученное условие устойчивости системы можно сформули- ровать в виде следующего правила, получившего название критерия Михайлова. I Правило.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
