Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Автоматическая система будет устойчива, если при возрастании го от нуля до со вектор В(1ог) повернется на угол — п, где л — степень характеристического многочлена В(к), или, что то же самое, если характеристическая кривая при изменении со от нуля до оо обходит, начиная с положительной действительной полуоси, последовательно в положительном направлении и квадрантов.
Кривая, которую опишет своим концом вектор 1)(1го) при изменении го от нуля до со, называется частааигьгм годографом Михайлова. Из равенства (4) 2 39 и равенства (1) следует, что В (1го) является знаменателем амплитудно-фазовой частотной характеристики системы. Пример 1. Определить, является ли устойчивой автоматическая система, если ее характеристический мвогочлек есп О(Х)=О4!4 !О еа +ОЗ88 ° 1О Хе+8,41 ° !О як+1,88я +Зал+888 88 Заменим в данном многочлене Л на 1а и вьщелим вещественную и мнимую части: Р((та)=Р(ы)+!У (ы). В рассматриваемом случае (7 (ш) = 0,388 ° 10 оЛо — 1,83шо+ 380, У (ы) =0,414 ° 10 оыо — 3,47 ° !О 'ог+58оь Кривая, вычерченная концом вектора Р фа) при изменения ы от нуля до бесконечности, изображена на рнс.
122 (длины векторов отложены в логарифмическом масштабе). Каждой точке кривой поставлено.в соответствие определенное аначеиие частоты ш. Частстный годограф начинается на положительной части действительной оси (при а=о Р (ы) 380, У (ы) 0) и обходит последовательно в положительном направлении пять квандрантов. В соответствии с иритерием Михайлова автоматическая система является устойчивой. 2.
Критерий Найивиста. Этот критерий позволяет судить об устойчивости автоматической системы по виду ее амплитуднофазовой характеристики в разомкнутом состоянии. ! ч'И Рис. 123 Рис. 122 В соответствии с формулой (82) 2 15 передаточная функция замкнутой автоматической системы (рис.
123) может быть выражена через передаточную функцию (р(р) разомкнутой системы Ф(р) + „( ). Пусть йт (р) (14) где М (р) и Я(р) — многочлены от р, причем степень многочлена М(р) меньше степени многочлена Я(р). Передаточная функция замкнутой системы имеет внд ) й( (Р) М(8) ' Ф вЂ”:"'Г'"' где О(р) =О()')+М(р). (16) Многочлен Й (Л) является характеристическим многочленом замкнутой, а многочлен Я (Л) — характеристическим многочленом разомкнутой автоматической системы; очевидно, что степени этих многочленов равны.
Образуем сумму Д((йд) Ри ) 1+1~('")=1+Е(? ) = ()йм)' (1?) Из критерия Михайлова следует, что замкнутая автоматическая система будет устойчивой, если приращение аргумента Л агн 17((в) = а —, где л — степень характеристического мпогоО<а<со члена 0 (Х); прн этом условии характеристический многочлен Й (Х) не имеет корней в правой полуплоскости плоскости ),. В разомкнутом состоянии автоматическая система в общем случае может быть неустойчивой, т. е. характеристический много- член Я (Х) может иметь корни в правой полуплоскости (полагаем, что на мнимой осн многочлен Я(Л) корней не имеет). Если число +)уОгп)) а) РИО.
1о4 таких корней равно 1, то, имея в виду формулу (12), найдем приращение аргумента." Л ага Я((в) =(а — 21) —. О<а.<со Следовательно, приращение аргумента суммы (17) будет Л агц (1+ В' ()в)1 = Л агн О) (ув) — Л аги Ог ((в) = О<а<со О<а<со О<а<со 2 = а — — (п — 21) — = (п. (18) Лаги 11+йг(/в)1=0, О<а« т.
е. автоматическая система в замкнутом состоянии устойчива. Если система в разомкнутом состоянии неустойчива, причем ее характеристический многочлен имеет 1 корней в правой части Используя равенство (18), можно судить об устойчивости автоматической системы по характеру годографа вектора 1 + + И'(7в) при изменении в от нуля до оо. Действительно, если в разомкнутом состоянии автоматическая система устойчива (1 =0) и годограф вектора 1 + )Р'()в) не охватывает начало координат (рис.
124, а), то плоскости Л, и если годограф вектора 1+ )Р' (1ю) охватывает 1 в положительном направлении начало координат — раз, то Аагп [1+)Р'(1юЦ=1п, о~и(сь т. е. автоматическая система будет устойчивой в замкнутом состоянии. Полученное условие устойчивости системы легко распространить на плоскость амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы )и" (1тл). Годограф вектора (р' (1ю), являющийся отображением положительной части мнимой оси плоскости корней Л на плоскость (г' (Л), получается из годографа вектора 1+)Р(1ю), если вектор 1+(Р'(/от) сложить с — 1.
Началу координат на плоскости 1+97()со) соответствует точка ( — 1, 10) на плоскости Ят()тл) (рис. 124, 6). Если годограф вектора 1+ (Р'(1ю) при изменении ю от 0 до оэ охватывает (не охватывает) начало координат, то при атом годограф вектора )р' (1ю) охватывает (не охватывает) точку с координатами ( — 1, 10). Таким образом, мы приходим к следующему правилу — критерию успюйчивости Найквиспта. Правило.
Автоматическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы )Р" ((ю) не охватывает точку ( — 1, 10). Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и ее характеристический многочлен имеет 1 корней в правой полуплоскости, то для устойчивости автоматической системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика В'(1ю) охватывала точку ( — 1, 10) в положительном направлении 112 раз.
Выше мы предйолагали, что характеристический многочлен Д(Л) не имеет корней на мнимой оси плоскости Л. Подобное предположение позволило обойти затруднение, связанное с тем, что значение аргумента агам (Л1) является неопределенным, если Л; является корнем многочлена Я(Л), расположенным на мнимой оси*>. Однако известны системы с консервативными или интегрирующими звеньями, у которых передаточная функция )р' (р) имеет полюсы на мнимой оси. Наиболее распространен случай, при котором ят(р) имеет полюс в начале координат (автоматические системы с астатизмом первого порядка), соответствующий подобной передаточной функции характеристический миогочлен Я(Л) имеет корень в начале координат плоскости Л, т.
е. при Л=О. Распространим критерий устойчивости Найквиста на автоматические системы, содержащие интегрирующие звенья. Пусть *> при Л=Лт Я(ЛО=О, Напомним, что ноль является комплексным числом, не имеющим определенного значения аргумента. 91 многочлеи Я(Л) имеет при Л= О корень т-й кратности; тогда этот миогочлен можно представить в виде Я(Л) =ЗЛА(Л), (19) При изменении Л вдоль дуги бесконечно малого радиуса р имеем (21) В'(Л) = — = —.
= —, е-"г', М(Х) Ь и ХЧ~~ (Л) р~е~® Р где й= Игп —. м (л) л о 0~(Л) Из равенства (21) можно сделать вывод, по когда изображающая точка на плоскости Л обходит в положительном направлении дугу бесконечно малого радиуса, ей соответствующая изображающая точка на плоскости (Р'(Л) двигается в отрицательном направлении по дуге бесконечно большого радиуса. При этом приращенИю аргумента Л агн Л = — соответствует приращение аргумента Ь агд В' (Л) = — ч —. Следовательно, для получения годографа, с помощью которого можно судить об устойчивости автоматической системы, имеющей интегрирующие звенья, необхо- где Я,(Л) — многочлен, не имеющий корней в начале координат плоскости Л.
Будем, как и выше, полагать Л =)их если ю изменяется в пределах 0(ь(оо. Однако при и1-~0 положим Л=ре)ч. Здесь р-~0 и ф изменяется в пределах О ~ф -.—, Геометрически это означает, что иа плоскости Л начало координат, в котором значение аргумента агре(Л) неопределенно, обходится по дуге 'бесконечно малого радиуса (рис. 125).
С помощью такого приема удаегся устранить неопределенность аргумента агу)',)(Ц, так как в каждой точке дуги значение аргувил мента определено. Ол Для суждения об устойчивости автоматической системы следует построить амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой си- Ч стемы. Эта характеристика в данном случае является образом положительу=а хел ной части мнимой оси Л=)в плоскости корней, дополненной дугой (рис.
125) бесконечно малого радиуса. При измеРис. 125 ненни Л вдоль положительной части мнимой оси амплитудно фазовая характеристика разомкнутой системы определяется равенством )" ('") = (1 ) О. () ) ' М ()в) (20) годографа, то система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом виде. Для устойчивости системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии и имеющей 1 корней в правой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы годограф охватывал в положительном направлении точку ( — 1, 1'О) — раз. 2 эуфо) Пример 2. Исследовзть с помощью критерия Нвйквнстз устойчнвость системы звтоматнческого регулирования, рассмотренной в $ 15.
Структурная схема этой сн- стены изображена нз рнс. 2. Система имеет две петли сбрет- Рвс. 120 ной связи, поэтому необхо- димО прежде всего выполнять анализ устойчивости внутреннего контура. Передаточные функции элементов, входнщнх в состав внутреннего контура, е равны )Ре(р)= + +, л(р)=10~р, поэтому передаточная функция разомкнутого внугреййего контуре имеет внд (р)=)Р (р) х(р)= =(рз+1,2р+ 1) (0,02р+О' Положив р=)ы н изменяя ы от нуля до бесконечности, можно получить годогрвф змплнтудно-фвзовой частотной характеристики разомкнутого внутреннего контура йге я 0ы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
