Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Операционное исчисление нашло широкое применение в теории автоматического регулирования, где с его помощью производится анализ переходных и установившихся процессов в автоматических системах. Сущность операционного метода заключается в следующем. Пусть задана некоторая функция Г(Г) действительной переменной г, причем такая, что для нее существует преобразование Лапласа (Х-преобразование) ~У()))=Р(з) =~1(О о т. е. интеграл в правой части этого равенства является сходящимся.
Используя Х-преобразование, можно каждой преобразуемой по Лапласу функции Г (Г) (такие функции составляют класс функций, называемых «оригиналами») поставить в соответствие функцию г" (з) комплексной переменной з (при этом функция )г(з) называется «изображением» функции ~(Г)). Преобразование Лапласа обладает рядом замечательных свойств. Например, дифференцированию оригинала ) (1) по переменной ( соответствует операция умножения Г(з) на комплексную переменную з, а интегрированию оригинала ~(О соответствует операция деления г (з) на з.
Таким образом. операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются в пространстве изображений более простыми операциями алгебры †соответствен умножением и делением изображения г"(з) на з. Это позволяет диф- ыо ференциальное уравнение, записанное относительно искомой функции )(г), заменить в пространстве изображений на алгебраическое уравнение относительно изображения г'(з) =Х(1(1)). Решив это алгебраическое уравнение и найдя г (з), мы получим изображение решения исходного дифференциальнотго уравнения, Для определения самого решения можно воспользоваться о б р а тным преобразованием Лапласа (Х-'-преобразованием), устанавливающим связь между изображением Р(з) и ему соответствующим оригиналом ~(1): где с=цез. Во многях случаях при нахождении решения 1(1) можно избежать непосредственного вычисления этого интеграла, воспользовавшись таблицей соответствий коригинал —.изображение» (см. таблицу оригиналов и изображений, с.
139; более подробная таблица приведена в [6)), а также рассмотренными в настоящей главе способами определения оригинала по соответствующему изображению. Метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью операционного исчисления сводится, таким образом, к следующей наглядной схеме: Пространство оригиналов Пространство изображений УРавнение отно- Н б а сительно изображения г (з) Ниже рассмотрены основные свойства преобразования Лапласа, показано применение операционного исчисления для решения линейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений, а также рассмотрены некоторые приложения операционного метода к анализу автоматических систем.
2. Интеграл Лапласа. Аналитичность изображения. Рассмотрим функцию 1(1) вещественной переменной 1, при этом будем предполагать выполненными следующие условия: 1 г (1), ~-~ ()г (з)) — ~ л (з) а»г из 2л) с — 1»» Уравнение относительно 1(1) и начальные уело вия ! Х-преобразование Искомая функция ) (1) ! ! Х-'-преобразование 1 1) Функция 1(!) непрерывна для всех значений 1~0. Непрерывность может быть нарушена лишь в отдельных точках, являющихся точками разрыва непрерывности первого рода, причем число этих точек должно быть конечным на любом интервале ограниченной длины.
2) Функция 1(!) =0 для значений !(О. 3) Функция 1(!) имеет ограниченный порядок возрастания, т. е. можно указать такие постоянные числа М~О и со~О, при которых выполняется неравенство 1(!) (Ме"' (! ) 0). Число с является показателем роста функции !' (!). Функция ! (!), удовлетворяющая условиям 1 — 3, называется оригиналом. Многие функции, встречающиеся при описании процессов в автоматических системах, являются оригиналами. Например, оригиналами будут функции 1 (!), А зш ы|! (!), А соз в!! (!), г'1 (!) (п=О, 1, 2, ...), е"! (!), е-"1(!) (а)0) и ряд других. Наличие в этих функциях множителя — единичной ступенчатой функции 1(!) — обеспечивает выполнение второго условия, т. е.
обращение функции 1(г) в ноль при !(О. С физической точки зрения это условие является вполне естественным. Лействнтельно, в автоматических системах обычно представляют интерес процессы, начинающиеся с некоторого момента времени. Например, если функция Г(!) характеризует отклонение регулируемой величины, происходящее при приложении к системе в момент 1=!о возмущающего воздействия, то очевидно, что при !(!о 1(!)=О, так как реакция на возмущение не может возникнуть ранее момента времени приложения к системе самого возмущения. Этот момент времени может быть принят за нулевой момент, т.
е. можно полагать, что !о=О; тогда при !(О получим 1(!)=О. Условие 2 поэтому, естественно, учитывает начальные условия, в которых находится автоматическая система и не является обременительным с математической точки зрения. Как правило, условия 1 и 3 также выполняются для большинства функций 1(!), характеризующих процессы в автоматических системах. Если хотя бы одно нз условий 1 — 3 не выполняется, то функция !'(!) не будет являться оригиналом.
Согласно условию 1 оригинал !'(!) не может обращаться в бесконечность при 0(!( ! (со, поэтому не является оригиналами функции —, !я го!. Не является оригиналом также функция е", поскольку для этой функции не выполнено условие 3: функция е' при (-эоо возрастает быстрее, чем возрастает функция ег'. Функция Р(з) комплвксного переменного з=с+ро, определяемая равенством называется изображением функции !'(!) по Лапласу„Интеграл в правой части равенства (1) называется интегралом Лапласа. 112 Этот несобственный интеграл, по определению, равен СО т ~ р (1) е-и д1 Дп| ~ 1 (1) е-н с(1 о Т сог е-+О (2) причем еэ-+О ознанает правый предельный переход.
С помощью интеграла Лапласа устанавливается соответствие между функцией г(1) и ее изображением Р(я). Процесс получения изображения Р(я) по заданной функции ((1) называется преобразованием-Лапласа. Как видно из (1), это преобразование состоит в умножении ~(1) на ег м н интегрировании по 1 получившегося произведения в пределах от О до со. Символически преобразование Лапласа записывается в виде ~ У (1)) = Р (я). (3) Интеграл Лапласа будет сходящимся, если существуег предел в правой части равенства (2).
Установим, для каких функций г(1) существует интеграл (1); другими словами — какие функции '~(1) преобразуемы по Лапласу? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: Теорема 1. Если функция ) (1) является оригиналом, то ята функция преобразуема по Лапласу и ее изображение Р(я) определено в полуплоскости це я ) с„где сь — показатель роста функции ) (1). Доказательство. Утверждение теоремы будет доказано, если окажется возможным показать, что интеграл в правой части равенства (1) сходится в части плоскости комплексного переменного я, для которой Рея) сь.
Учитывая условие 3 существования оригинала, получаем оценку ! СО сю ОЪ 1 ~ ) (1) е- и Щ 1 ) ) ) (1) 1е-м ) д( ( ') Ме'н ) е-и ) с(Е о о о но )е-")=(е-и+> ы)=е ", поэтому ОЗ ОЭ е <' гня кэ лл ~(1)е-нЖ ~М е — и — "миг= — М ~ = —. (4) с ся 1о -с со. 'Гак как М(со, то при с) с, (с=йея) интеграл Лапласа сходится. Следовательно, функция ((1), являющаяся оригиналом, преобразуема по Лапласу и ее изображение Р (я) определено в части плоскости комплексного переменного я, находящейся правее пря- ыз Если функции )(1) соответствует изображение Р(я), то это соответствие часто записывают следующим образом: ) (1) -:; Р (я) или 1 (1) ='.
Р (я). мой, параллельной мнимой осн и проходящей от нее на расстоянии с, (заштрихованная полуплоскость на рис. 137), ° Из доказательства теоремы следует, что существуег интеграл 17(!)е™!й(, т. е. интеграл Лапласа при !сея)со является не только сходящимся, но и абсолютно сходящимся интегралом. На этом основании число со называют абсииссой абсолютной сходимости интеграла (1). Ее можно определить как нижнюю грань СО совокупности чисел с, для которой интеграл ~ () (!) е™ ~ й! = о = ) ~ 1 (!) ! е " й1 сходится *>. о Покажем теперь, что интеграл Лапласа при Ре я ) се сходится равномерно. Имеем яЕЭ>С ~)(1)Е™) .
МЕ-1с е'и Прн !)О и при значениях я, для которых гсея >со и, кроме того, и У СО интеграл Г)Ме <' — мм й(, как по- равиомернойсходимостннесобственных интегралов ее! интеграл Лапласа сходится равномерно относительно я при !(е я ) со. Отметим еще одно свойство изображения Р(я), вытекающее из теоремы 1.
Из неравенства (4) получим, что при стремлении атея=с к +со модуль интеграла Лапласа стремится к нулю. Следовательно, если функция Р(я) является изображением, то справедливо равенство Вгп г (я) ~0. (5) аез=с со Следующая теорема устанавливает свойство изображения Р(я). Теорема 2. Иэображение г (я) оригинала 1(!) в полуплоскссти, для которой це я ) с„где с, — показатель роста оригинала, является аналитической функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
