Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Значение с, для каждой функции Г(1) является вполне определенным. Используя формулу прямого односторонс *' Доказательство теоремы см., например, в кн.с Лаврентьев М. й. и Ш а 6 ат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. сНауквв, 1966, с 496. 120 него преобразования Фурье Е()м)=~ 1(г)е-г'Й, будемпреобрва зовывать по Фурье не функцию Г(1), а функцн!о ~(г) е-", удовлетворяющую условиям применения этого преобразования: (16) Р (с, )в) = ~ Г (1) е-"е l ' г)1.
о Введя новую комплексную переменную з = с+ !ы, получаем г (з) =- ~ ~ (1) е-м й. Это выражение представляет собой формулу (1) о прямого преобразования Лапласа. Таким образом, преобразование Лапласа является результатом распространения преобразования Фурье на функции, которые, удовлетворяя условиям Дирихле в интервале 0 ( Г (оо, не удовлетворяют в этом интервале условию абсолютной интегрируемости. В гл, ХП функция г'(1в) частоты а! названа спектральной характеристикой функции 1(1).
Аналогичным образом функция г (з) комплексной переменной з является спектральной характеристикой убывающей функции времени 1(1)е-с!. Рассмотрим теперь формулу обратного преобразования Фурье (см. 5 36) !!!- -, ( ~.фп.— а)~.. Заменив в левой н правой частях этого равенстваг(1) на) (г)е.", ° у-.!!! "- ) ~ (1!!! " ~)~' у! ОЭ а с+ !са ! а=с+1!О, Йа=дзд, найдем 1(1)= —. ~ г'(з)емдз. Это равен2я) с — /са ство, как видно из (9), является формулой обратного преобразования Лапласа. Таким образом, обратное преобразование Лапласа может рассматриваться как развитие обратного преобразования Фурье. В гл. Х1 было отмечено, что представление функции в виде интеграла Фурье соответствует представлению' функции в виде суммы бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами, причем частоты гармоник отличаются друг от друга бесконечно мало.
Аналогично этому, представление функции 1(г) в виде интеграла (10) соответствует представлению этой функции в виде бесконечно большого числа бесконечно малых составляющих, являющихся колебаниями с бесконечно малыми амплитудами, затухающими по экспоненциальному закону. й 43.
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА е и Х ~ ~ ', )м(е (!)) = ~~ ', Цра (з), »=» *» е е ~-' ~,').„)»Е» (з)) = ~.', А»(» (!). *4а е» (2) Доказательство атой теоремы совпадает с доказательством теоремы 1 2 36. Пример !. Найти изображения по Лапласу функций мп Ы, ам ат, е пг ми мб е свсоэсог, где а~ Π— вещественное число.
Определим иэображение по Лапласу ми а!. Принимая во внимание тео- рему 1, получаем Х[ип м(]=Х~ 1= — -[Х[с»тм] — йу [е ' '11 Ге»мг — е Фг) 1 21 Учитывая соответствие (7) $42, нейдем далее 1 ( 1 1 1 1 2(м ,к [япс]11 — »! —.— . )= —. ° —, 2! ~з — 1»а э+!та) 21 з»+а» ' Ж [з(п а!) за+ и» ' (з) Аналогвчно будем иметь Х [соэ мт] =— зе 1 гф" Определим теперь иэображение по Лапласу е аг зщ ыб г - ея»г — е д»г! ! ,л [е и Ип и!1 Ж~е»г .
) = —.[,В'[е' ат(ви] — Ж[е <а+я»н]). Принимая во внимание соответствие (7) 4 42, получаем 1 ( 1 1 1 1 2(а 2( '1»+а — 1»» э+а+!ее/ 2( (э+а)е+ы»' (4) т. е. Х [е е)п а(1 = (б) Аналогично нейдем Ж [е "г соз мг] = (6) 2. Дифференцирование и интегрирование оригинала. Следуюп(ие теореиы устанавливают два важных свойства преобразования Лапласа, [. Линейность преобразования.
Приведем теорему, используемую при установлении соответствий <оригииал — изображение». Теорема !. Если функции (,(!), (з(!)„..., ]„(!) являются оригиналами и ик изображения есть соответственно Е, (в), Е,(з), ... ..., Е„(з) и если Хм йе„..., ).„— величйны, не зависящие от ! и з, то справедливы равенства Теорема 2. Если функция 7 (г) и ее производная 7" (1) являются оригиналами и Р(в) есть изображение оригинала 7((), то справедливо равенство Ж [7' (!)1 = зГ (э) — 7 (+ 0),, (7) где е) 7 (+ 0) =, 1!ш [(().
> 1 ' г-+о Доказательство. Изображение по Лапласу производной 7'(!), как следует из равенств (1) и (2) $ 42, есть ° о т .2'[1'(!))=~ Г(()е-»гау= Иш ~ [ (1)е-»гЖ О Т о»е е +О Проинтегрируем интеграл в правой части этого равенства по частям: т ' Ж [[' (!)! = !пп [ (1) е-и ~, + э 1!)п )г [ (() е™ Ж. со Т е з +О з +оз Так как 7(1) янляется оригиналом, то его модуль (7(!)! ц Месм прн 1) О, поэтому !1(!)е-»г!(Ме(" — ')', когда )сев=с~с„т. е. (нп 7(Т)е *7=0. Кроме того, найдем !пп 7(е)е-»з=)(+0). УчиТ о» е +О т тывая, что согласно равенствам (1) и (2) З 42 !)тп ) 7(г) е-"А = оо з +О = Е(э), получаем Х[['(1))=эт (э) — 7(+ 0).
° Если положить начальное значение 1(+0) =О, то из формулы (7) получим Я[1'(1))=вр(з), т. е. операции дифференцирования оригинала соответствует операция умножения изображения этого оригинала на комплексное число з. если производные высших порядков 7(з) ((), 1(з) (!), ..., )1 ) (1) являются оригиналами, то справедливы равенства ;ю [7(з) (()! ззт (э) 7(+0)э 7 ( ! 0) УУ)з)(()1 эзр() 7(+0)эз г ( ! 0)э !(з)(+0) (8) о Х [[(о) (!)) = э"с (з) — ~~ зо-з[(з-л)(+0). о~ Ранее отмечалось, что !(+ О)= 1пп 7((), т.
е. значение функции 1(0 г-+о при стремлении аргумента ! к вулю берется справа. Следует отличать лзначе. иия функции в точке» от предельного значеяня функции при ярибдижеини к втой точке. Например, для единичной ступенчатой функции 1 (О всегда Игп !(О 1, в то время кзк значение 1(О при 1=0 не определено н может г +о быть принято (в зависимости от.
аппрокснл»ируюп)ей последовательности функций — см. $ 37) равным 0,1 нли лз)бому дробному числу, заключенному в интервале (О, 1). l (9) Р-е (!) = 1) (1) д! =(1(т) Ь+У-~ (+0), о причем )'-/ (+О) — поспюянная величина. Доказательство. Прежде всего покажем, что интеграл / ~Г(!)/!! является оригиналом. Условия 1 и 2 существования ори- о гинала, очевидно, для этого интеграла выполняются, так как они выполняются для функции ) (/).
Проверим выполнение условия 3, Имеем оценку / ///р/ср «) ~//р/ ср~)М м- м /'-//(Мссг со о. Следовательно, условие 3 также выполняется. Убедимся теперь в справедливости равенства (9). Найдем /р изображение интеграла )1(т) /!т: о Г/ со // т // в/!/()с/=!(!///с) 'в- е 1/!/(/с),- м. о о о т сов е +о Интегрируя /ю частям, получаем 1!т ~ ~1(т)/(т г-"Й= 1пп — — в-*' 1(т)/(т ~ + т )/ е е +о.е е +о т + 1пп — ! )(1) в-е/г(1.
т,о е е +о /р ~ !///с. ~мс -* /р~о, е ..- ~.,/, рр, о первого слагаемого правой части равен нулю. Для второго сланствам (1) и (2) $ 42, гаемого правои части наидем, согласно раве т Дт — г! )(/)г-е/Ж= — Р(в); следовательно, т ° 3 е +о в Теорема 3. Если функция г(!) являгтся оригиналом, причем Р(з) — его изображение, то интеграл ~) (г) /(! также является орио гиналом и справедливо равенство где Ж 1(т)дт = —,Г(в), (10) Теперь, учитывая свойство линейности преобразования Лапласа, имеем а()нча)-аЬ<ч«)ча~~н«в 1-о Так как Ю(+ОН=Я[Я+0) 1(1)) =((+0), то окончательно получим ~(~-'((И ="(')+"',+". ° (11) Если положить )-'(+О) =О, то из теоремы найдем, что операции интегрирования оригинала соответствует операция деления изображения этого оригинала на комплексное число в. Распространим теорему на интегралы высших порядков.
Пусть Г( "' (1) = ~ ... ~ Г(1) (Ф)а, тогда ~т«в(1)) о(а) 7 т(+О) 1 «'(+О) аз ав а у гг[-в) ( г" (а) 1 т (-)-0) р в' (+О) р а'(+О) (12) Я[1 (1 — а))=е-"Е(в). (1З) До к а з а те л ь с т в о этой теоремы аналогично доказательптву теоремы 4 2 36. Следует лишь иметь в виду, что Г(( — а) =0 при 1(а, так как оригинал 1(() =0 при 1(0. При обратном преобразовании Лапласа справедливо равенство 0 при 1(а, Ж-'(е «Е(в))=~ '1 )(1) при ()а. (14) Пример 2.
Найти иаображение смещенного оригинала (1 — а)в (рис. 139). По формуле (13), учитывая равенство (8) 4 42, имеем ,Х1(1 — а)а)=е Х(1«)=е "« —, 2 ф 123 3. Смещение в области оригиналов и в области изображений. Изменение масштаба. Рассмотренные ниже теоремы позволяют образовывать новые соответствия «оригинал — изображенневк Теорема 4. Если функция 1(1) является оригин лом и Е(в)— его изображение, то изображение смещенного оригинала 1(1 — а), где а — положительное число, определяется равенством Пример 3. Определить насбраженне функпнн 1(О А 11 (0+1 (1-т) + + 1(1 — 2т)+...1, хзрактернзующей бесконечный ступенчзпай ход (рнс.
140). Имеем Ж 11(01 =АХ11(!))+АХ(1 (! — т))+АХ 11 (1 — Зт)!+... — + е "'а — + е ага — + ...= — ° . (16) А А А 1 А а а а " а 1 — аат' Воспользовавшись теоремой (4), получим формулу, удобную для определения изображений кусочно-непрерывных оригиналов общего вида. Предположим, что -а) Рзс. 139 Рнс. 140 требуется определить изображение Р(з) оригинала )(!) (рис. 141), определяемого равенством 0 при !<1т, 7(!)= и(!) пРи 1а(!(1„ О при !)!а. (17) Изображение функции й(!) обозначим 6(з). Найдем изображение смещенной функции йг(!+ с). Пусть это изображение есть 6,(з), тогда в соответствии с формулой (15) получим: 0 при ((!1, ~-Че-" 6, ( И = а((+!а — !д =й'(!) при 1:~1„ 0 при !(!а, ~ Че "'6г,(зН= Д((+!а — 8а)=.й(!) при !)1.. Вычитая из первого равенства второе, будем иметь, учитывая равенство (17) ~'-'1 "6, (з))- л'-'1 -м 6г, (зй 7'(1). Следовательно, изображение кусочно-непрерывной функции 7 (!) определяется выражением 7' (з) е и 61, (з) — а™ 6г, (з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
