Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Используя оценку (8) $ 27 коэффициентов разложения аналитической функции в степенной ряд, получим, что ! а» ~ = М вЂ” д (А = 1, 2, ...). Здесь М= !пах )г))(д) ~, Ся — окружность радиуса Р. на сд Убедимся теперь, что при этом условии, наложенном на коэффициенты а», ряд (15) сходится. Имеем ~~(() ~ ~ч(~~~ и» (»-х ~ '()ч ! "»! ~(~» х »-! »-! сь 1 м ъ~ !И» и — м1 "=- — „г, — й — — — е" — д Л й»»! — й »=п Следовательно, ряд (15) сходится для всех значений 1, причем в соответствии с признаком Вейерштрасса эта сходимость равномерная. Так как ~ ~ (г) 1 (1) ) (Мхес', т.
е. удовлетворяется условие 3 определения оригинала и, очевидно, условия 1 и 2 также выполняются, то функция 1(1) 1(() является оригиналом. Итак, мы показали, что справедливо соответствие — ~), -ф- (Кез) О, !з)~ — ). »=-1 » ! (17) а 1 1 1 1 Ъ! ( — 1)» — = — — — + — — — + ". У+1 а у Ф ат '",Л~ ам+ г ' »=е > Находя по бюрмуле (14) оригиналы, соответствующие каждому слагаемому правой части этого равенства, будем иметь а т 1 1 1(г)=~г" — ~=1(') — 21Р+41"- "= ( — !)"< ~~+!~в »=о !2» )С вЂ” =со»1 (!~О).
(и)! Этот пример имеет лишь иллюстративное значение. Для изображений, имеющих вид рациональной дроби, более удобно использовать при определении оригинала формулу (8). 145 Пример 4. Определить с помощью соотнетствия (17) оригинал 1((), име- 5 ющий своим иэображевием функцию Р(а) И+1' Укаэанная функция Р (э) аналитична в бесконечно удаленной точке, поэтому применение соответствия (17) является законным. Раскладывая Р (а) в ряд по степеням 1/а, получаем Заметим, что равенства (17) и (8) выражают соответственно первую и вторую теоремы разложения Хевисайда. Эти теоремы наряду с теоремами, приведенными в 9 43, позволяют определять оригинал по заданному его изображению. Из теорем 9 43 наиболее часто применяется для нахождения оригинала теорема о свертывании в вещественной области. й 43.
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Уравнения с постоянными коэффициентами. С помощью преобразования Лапласа можно весьма просто производить решение линейных дифференциальных (интегродифференциальных) уравнений с постоянными коэффициентами. Общая схема решения приведена выше (см. стр. 11!). В соответствии с этой схемой, преобразуя заданное дифференциальное уравнение по Лапласу и учитывая при этом начальные условия, приходят к алгебраическому уравнению относительно изображения решения дифференциального уравнения. Решая алгебраическое уравнение, находится изображение решейия дифференциального уравнения. Переход от изображения решения к самому решению может быть произведен способами, указанными в $ 44. В ряде случаев можно воспользоваться также имеющимися таблицами соответствий «оригинал — изображение»е'.
Пример 1. Найти решение уравнения , «их с!х дР' ' — +3 — +2х=0 с начальными у«лозняки: при 1=0 х(0)=0, х'(О) 1. Преобразуем каждый член этого уравнения по Лапласу При этом поло. жим .Е'(х(Г)1 Х (а) и используем 4юрмулы (8) $43, тогда Го«х1 Я ~ — »3! = »«Х (х) — ах (О) — х' (О) = х«Х (а) — 1, (ш ) Я ~ 3 — ~=ЗЯ ~ — э!=3«Х (т) — Зх(0)=3«Х(х), Я (2х1=2Х (е). После преобрааования по Лапласу исходное дифференциальное уравнение сделается алгебраическим относительно изображения Х (и): а»Х (а) — 1+3«Х (а)+ 2Х (а) = 0; ! найдем Х(х):Х(а)= .
Знаменатель этой дроби имеет корни а»= — 1, а»= — 2, поэтому Х (а) можно представить в виде суммы элементарных слага. емых: Х (а) 1 /г, й, б»+35+2 а+1 а+ 2' = — + —; здесь й»=1, й»= — 1. ю См., например: Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. «Высшая школа», 1965, а также Г а р днер М. Ф., Бэрнс Дж. Л.
Переходные процессы в линейных системах, Фиачатгиа, 1961. 146 Для определения оригинала х(Г), соответствующего изображению Х(з), т. е. решения заданного дифференциального уравнения, выполним обратное преобразование Лапласа, Учитывая соответствие (7) $42, имеем «(Г)=Я з(Х(з))=Х « ~ — ~ — Я з ~ — ~=з г — е ™ (1~0). При определении х(Г) можно было бы воспользоваться также формулой (8) $44.
Пример 2. Выполнить интегрирование дифференциального уравнения бзх з(х — — +5 — +Ох=! Фз бг с начальными условиями: при 1=0 х(0)=3, х'(0)= — 2. Пусть Я(х (Г)) Х(з), тогда, учитывая формулы (8) $43 и принимая 1 во внимание, что Я(1(!))= — (см. формулу (6) 9 42), получаем уравнение относительно изображения Х (з); 1 з-Х (з) — з«(0) — х' (0) + 5«Х (з) — 5« (0) + 6Х (з) Далее найдем Х(з) 6 2 3 . Для определения Риги- нала х(Г) применим формулу (9) 9 44 з «(г)= — + ~~ —, г (1=.0~ А(0) %« А(зг) зг =В,(О) Л В;(.31 г 2 Здесь А (з)=3«а+13«+1, В„(з)=««+5«+6, Вз — — 2«+5. Имеем А (0) 1, В (0) 6.
При зз= — 2, зз — 3, В1( — 2)=2( — 2)+5 1, Вг( — 3) = =2( — 3)+5= — 1; А( — 2)=3.4+13( — 2)+1= — 13, А( — З)=3 ° 9+ + !3( — 3)+1= — 'и. Следовательно, искомое решение дифференциального уравнения 6, 2. 3 х (!) — — + — е и — — е Ф (Г ) 0). 1 13 11 Пример 3. Найти решение иитегродифференциального уравнения — 4-Зх + 2 ~ х г(Г = е з з(г с начальными условиями: при 1=0 х(0) 2, х< н(0)=1.
Пусть Я (х Щ)=Х(з). Преобразуем заданное уравнение по Лапласу, прн этом будем использовать формулы (7) 9 42, (7) и (9) 9 43: «Х (з) — 2+ЭХ (з)+2 — + — = —. Х(з) 2 1 з з з+1 Изображение решения определится равенством 2Р+з — 2 2Р+з — 2 (з+1)(зз.(-3«+2) (з+1)'(з+2)' Для нахождения х(1) воспользуемся формулой (7) 4 44. В данном случае Ч= — 1, А,=2; з,= — 2, аз=1, поэтоиу 1 1!п!' о [ (я+1)з(2чз+з-2) ея 1 1!щ ( +2)(2зе+я — 2) ез' (2 — 1)! я — ! з(я [ (з+ 1)е (з+ х) [ з — з (3+ 1)я (3+2) [(4з+ 1) ез'+ (2яз+ з — 2) гез'[ (я+ 2) — (2яз+ з — 2) ея' з — 1 (я+ 2)' + )пп '.
+ ' — 2з Я+4з и — 1е г (1~0). (2яз+ я — 2) езг я — з (я+ 1) заданы начальные условия: при 1=0 х(0)=0, р(0)=3, я(0) — 2. Пусть Я [х (1)[ Х (я),,У [у(1)[=У (я), Я [я (1)) =2(я). Преобразуя каждое уравнение системы по Лапласу, получаем систему алгебраических уравнений (з — 1) Х(з)+2У(з)+22 (з)=0, -2Х(з)+(з — 7) У (я) — 52(з)=3, 2Х (з)+4У (з)+(з+2) Я (з) = — 2. Х (я): 2 2 з — 7 — 5 4 я+2 Иэ втой системы найдем 0 3 — 2 Х (з)— (з — 1) (з — 3)' 2 2 з-7 — 5 4 я -1-2 з — 1 — 2 2 откуда получим Х (я) = йя1 (я — 1) +Аз( (з — 3), где Ая= 1, Ц = — 1; поэтому х(1)=ея — езг (1) О). Аналогично найдем р(Г)= -2ег+2ем+Зяяг (1~ О), е (1)=йе' — 2ям — 2еяг (1~ 0). Приведенные примеры свидетельствуют о преимуществах метдда решения интегродифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа по сравнению с классическим методом решения.
Покажем на примере дифференциального уравнения второго порядка, что изображение решения уравнения имеет характерную структуру, отражающую физическую сущность процессов, происходящих в динамической системе, описываемой этим дифференциальным уравнением. !48 \ Решение системы линейных дифференциальных (или интегродифференциальных) уравнений с постоянными коэффициентами производится способом, аналогичным указанному выше. Каждое из уравнений, входящих в систему, при этом преобразуется по Лапласу, а затем получившаяся система алгебраических уравнений решается относительно изображения решения. Методика определения оригинала по найденному его изображению изложена ранее.
Пример 4. Решить систему уравнений пх лр Нз — х — 2у — 2я. — = 2х+ ту+ 5я, — = — 2х — 4р — 2е. я(1 я(1 я(1 Пусть дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, имеет вид ао — „., +а, — „+аох= Ьо„— +Ь~). (1) Здесь ) (г) — воздействие, приложенное к системе; х(1) — координата системы. Заданы начальные условия: при г = +0 х(+0) =хо, х'(+0) =хо, и задано начальное значение воздействия ~(1): при (=+О Г(+0)=Го.
Полагая Ж(х(1))=Х (э), Х(((1))=Р(э) и преобразуя уравнение (1) по Лапласу, будем иметь аоэоХ (э)+агэХ(э)+а,Х (э) = = ЬоэР (э) — )оуо+ Ььр (э) + аозхо+ аохо+ а,хо, откуда найдем изображение решения Х(э) =; о+„, + (Р (э) (Ьоэ+ Ьг) — 1оЬо+хо (аоэ+аэ) +поко) (2) Множитель в виде дроби в правой части этого равенства называется еиетеиной функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
