Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 25
Текст из файла (страница 25)
таблицу иа с. 1!1). Из таблицы имеем, что оригинал к(1), являющийся решением исходного уравнения, представляет собой бесселеву функцию х (1)- У„(Г) = ( — ць г изь в = 7„(й!)з ф) ° а-о Глава ХУ ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ДЛЯ АНАЛИЗА НЕПРЕРЫВНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ й 46.
ННРедаточные Функции и чАстотные ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с применением преобразования Лапласа к анализу непрерывных систем автоматического регулирования. Будем полагать, что процессы, происходящие в САР, описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными козффициентаыи. Таким образом, мы ограничимся в настоящей главе рассмотрением линейных САР с постоянными параметрами, т.
е. параметрами, не зависящими ни от времени, ни от состояния системы. Пусть для динамической системы (рис, 146) дифференциальное уравнение записано в операторной форме (см. ~ 16) О (р) х (в) = М (р) Е (г) (1) Здесь О(р) и М(р) — многочлены от р: Пу)=авр" +яр" '+ ... +а„из+а„, М(р)=Ь,р +Ь,р--+ ... +Ь,р+Ь; (2) р †операт дифференцирования; к(1) — выходная координата системы; д(1) — входное воздействие. Преобразуем уравнение (1) по Лапласу, предположив нулевые начальные условия.
Введя обозначения Х(в) =Ж [х(1)1, 6(в) =Х(д(1Ц, получим Т) (в) Х (в) = М (в) 6 (в), (3) (4) где ,0 (в) = а в" +а,в"-'+ ... +а„1в+а„, М(в)=Ь,в" +Ь,ь"'" '+ ... +Ь в+Ь . Используем обозначение Ф(в) = — в, М (в) 0 (в)' тогда уравнение (3) примет вид Х (в) = Ф (в) 6 (в). (6) Уравнение (6) связывает изображение Х (в) выходной координаты системы с изображением 6(в) входного воздействия. Функция Ф(в) характеризует динамические свойства системы. Как 161 следует из равенств (4) и (5) эта функция не зависит от воздействия, приложенного к системе, а зависит лишь от параметров системы.
Учитывая равенство (6), функцию Ф(а) можно записать следующим образом: 0) ( ) т (а) Х [х (0] (ьам+Ьтам ~+ ... +Ь та-(-Ь „ О (а) о (д(01 а«та+атал т+ ... +оа та+па Функция Ф (а) называется передаточной функцией системы. Из выражения (7) видно, что передаточная функция представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной координаты системы к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях е>.
Зная передаточную функцито системы Ф(з) и определив изображение 6(х) воздействия и((), приложенного к системе, можно найти по формуле (6) изображение Х(а) выходной координаты системы х((), затем, переходя от изображения Х(з) к оригиналу х(г) (см. з 44), получить процесс изменения выходной координаты системы при приложении к этой системе входного воздействия. Если начальные условия ненулевые, то вместо уравнения (3) получим уравнение (8) В (з) Х (з) = М (х) 6 (х) + М„ (а). Здесь многочлен М„(а) содержит члены, отражающие влияние ненулевых начальных условий на преобразование по Лапласу левой и правой частей уравнения (1).
Как известно (см, й 43), лишь при нулевых начальных условиях справедливы равенства Ж(рх(()]=зХ (з), Ж(рак(()]=а«Х (а), ..., Х)рлхЯ]=а"Х (з); ~Ьа(О]= 6(а), ~Фа(О]= '6(а), ", ~[р а(()]= 6(). При ненулевых начальных условиях имеем: ~~Рх (()] =хХ (х) — х (+ О), Х(р'х (()] = зеХ (з) — зх (-)- О) — х' ((- О), ..., Х~р"х(()]=э"Х (х) — ~', за 'х"-" (+ О), «=1 Х~рд(()]=х6(з) — д(+ О), ~(р'а(~)]= '6(з) — хй(+О) — а'(+О) "" т Х ~)рвй (()] ам6 (х) — ~Х,, "хм «в(«т> (+ О). «-1 *> Подобное определение передаточной функции не находится в противореин с определением, введенным в $ (8, так как при нулевых начальных уело.
виях комплексная переменная а может быть отождествлена с оператором дифференцирования и, 155 А(ногочлен М„(е) в правой части равенства (8) представляет собой сумму слагаемых„появляю!цихся в этом равенстве за счет ненулевых. начальных условий. Введя обозначение У„(е)=М„(е)/г7(е) и учитывая равенство (3), вместо уравнения (8) получим следующее: Х ( ) = Ф (е) б (е) + У„( ).
(9) Переходя от изображения Х (е) к оригиналу х (г), найдем процесс изменения х(г) при приложении к системе входного воздействия и ненулевых начальных условиях. Передаточная функция системы полностью характеризует динамические свойства системы и поэтому является важнейшей ее характеристикой. Зная передаточную функцию системы, всегда можно определить процесс изменения выходной координаты си- стемы при наличии вход- Рремент грабнения ие) ного воздействия и заг — — -- — — -! данных начальных усло! Гербеме- ! Рб гент виях.
'бенин ай Из равенства (5) регунире! Ъ дует, что полюсы перерегуеетр даточпой функции устойЯратная ебнее чивой системы должны быть расположены в леРис. !47 вой полуплоскости пло- скости е, так как знаменателем передаточной функции служит характеристический много- член системы В (е), корни которого в случае устойчивой системы должны иметь отрицательные вещественные части. Имея передаточную функцию системы, нетрудно получить амплитудно-фазовую частотную характеристику этой системы. Из сравнения формулы (7) с формулой (6) ~ 39 видно, что для этой цели достаточно в формуле (7) заменить е на у!а.
В этом случае амплитудно-фазовая характеристика системы определится равенством б,б У +Ь,(гйа) -+... +б,(И+э а (г<е)н 1 а (да)а-г4 ! а (Ре) 1 Рассмотрим обобщенную структурную схему САР, изображенную на рис. 147. В схеме выделены объект регулирования, сервомеханизм, элемент сравнения, прямые и обратная связи.
К системе приложено управляющее воздействие л(1) и возмущающее воздействие 1 (1). Регулируемая величина обозначена х (1), ошибка САР— е (1), выходная величина сервомеханизма — г (1). Пусть элементы САР характеризуются следующими дифференциальными уравнениями.
записанными в операторном виде: 0а (р) х Я = М, (р) ( Я+ С, (р) г Я (10) — уравнения объекта регулирования; В (р) г(1) = )У(р) е(1) (11) — уравнение сервомеханизма; е(() =д(1) — х(г) (12) (20) (22) 157 — уравнение элемента сравнения. В уравнениях (10) — (12) Ро(р), М,(р), С,(р), В(р), Ж(р)— соответствующие операторные многочлены. Используя обозначения ХИ=~1х((Н.
Р(я)=2'У((Н, )~И=~( ((Н, Е(я)=~1а((Н, преобразуем уравнения САР по Лапласу с учетом начальных условий. После такого преобразования уравнения (1О) — (12) соответственно будут иметь следующий вид: РоИХ(я)=Мо(.)Е(я)+Со(я)й(я)+Моя(я)> (1З) В( Ю()=А'() Е()+Моя() (14) Е (я) = 6 (я) — Х (я). (15) В этих уравнениях многочлены М,н(я) и М„,(я) содержат члены, отражающие влияние ненулевых начальных условий на формирование иэображений производных от функиий х((), г(я), 1(я) и а(г), входящих в левые и правые части уравнений (10) и (11). Если начальные условия нулевые, то М,н(я)=0, Мдн(я) =О.
Найдем иэображения регулируемой величины К(я) и ошибки Е (я). Подставляя К(я) из уравнения (14) в уравнение (13) и учитывая равенство (15), получим (Ро (я) В (я)+ Со (я) Ад (я)1 Х (я) = =Со(я) )У(я) 6(я)+Мо(я) В(я)Е(я)+Со(я)Мян(я)+Мдн(я)В(я). (!6) Введем следующие обозначения: М„(я) =С,(я)Моя(я)+В (я) Мдн(я), (1Л Ц,(я) ' а(н (я) Юо(я) В(я) ' Разделив все члены уравнения (15) на Р,(я)В(я), найдем изображение регулируемой величины: йг (я) У (я) Ун (я) Х (я) ) )У ( ) 6 (я) + ( (У ( ) Е (я) + ( ) (21) Аналогичным образом определим изображение ошибки: (Я) Е н Рб Е (я) = „ ) 6 (я) — Е (я)— Используя обозначения д)до (я) ) )и 1 д (я) я (25) уравнения (21) и (22) перепишем в виде Х (я) = Ф(я) б(я)+ У(я) Р(я)+Ф, (я) У„(я), (26) Е(я)=Ф,(я)б(я) — У(я)Р(я) — Фе(я) )н(я).
(27) Зная выражения, входящие в правые части равенств (26) и (27), в частности, определив изображения управлшощего воздействия б(я) и возмущающего воздействия Р(я), нетрудно найти с помощью этих равенств изображения регулируемой величины Х (я) и ошибки Е(я), Затем, переходя от изображений к оригиналам, можно определить регулируемую величину к(!) и ошибку системы е((). Если начальные условия нулевые, т. е. У„(я) =О, то уравнения (26) и (27) имеют более простой внд: Х (я) = Ф (я) б (я) + У (я) Р (я), Е (я) = Ф, (я) б (я) — У (я) Р (я). (28) (29) ' Выясним, что представляют собой функции Ф(я), У(я), Ф,(я)„ ((7 (я), У(я). Пусть к системе не приложено возмущающее воздействие, т.
е. изображение Р(я) =О. В этом случае имеем Х (я) = Ф (я) б (я), Е()=Ф.() б(), (30) (31) откуда найдем Ф е ) Х (я) о (я (Е)! б (я) и (з (О! (32) 158 Следовательно, функция Ф(я) представляет собой передаточную функцию САР по отношению к управляющему воздействию. Из равенства (31) найдем, что й (я) в !е(е)! Ъ Фе(я)=с(я) =ге!д(е)! (33) поэтому функция Ф,(я) может быть названа передаточной функцией ошибки. Пусть теперь в уравнениях (27) и (28) изображение б (я) равно нулю, что будет справедливо, если к системе не приложено управляющее воздействие.
В этом случае вместо уравнения (27) получим: Х(я)= У(я)Р(я), откуда ~Х (5) Я !к (Е)! (34) я (5! я (г (е)! т. е. функция У(я) является передапючной функцией САР по отношению к возмущающему воздействию. Для выявления смысла функций ЯГ(я) и У(я) разорвем в САР (см. рис. 147) обратную связь. В этом случае сигнал с выхода системы не поступает на ее вход, поэтому входным воздействием для сервомеханизма будет служить не сигнал ошибки е(1), а упра- вляющее воздействие у(]). Такая разомкнутая система описывается следующими уравнениями; Во(р)хЯ=Мо(р)1Я+Со(р)г Я (35) — уравнение обыкта регулирования; В (р) г (1) = й[ (р) н (1) (36) (30) Последовательно полагая Р(з)=0, ()(з) О, получим, что отношение К(з) = — о Х(о) Я[х(0] 0(о) х [х(0[ (41) представляет собой передаточную функо[ию САР в разомкнутом состоянии по отношению к управляющему воздействшо, а отношение У('=р(.) =я[7())] Х (о) Х [х (0] (42) является передаточной' функо[ией САР в разомкнутом состоянии по отношению к всзмушрющему воздействию..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
