Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(18) Иб Пример 4. Найти иэображеиве оригииила /(/), [ а!+Ь при Г<!я, /(!)=~ а/я+Ь при !з</</и, О при график иоторого иэйбражси на рис. 142. Пусть /(Г)=/э(Г)+/и(С), где О прн !</и, Г а/+Ь прн /и(/)-~ и /э(/)= а/и+Ь при /и < ! </я, О при /~ /я, О при Определим изображение функции /э(!). воспользовавшись формулой (!8). Дли втой функции а(/+т)=а(/+т)+Ь, следовательно, 6т (я) = Я [а (!+т) + Ь[= а/У+от/я+ Ь/и.
Так как т ! О и и !э, то 6 (я) а/яи+Ь/и, 6г (я) а/из+а!я/и+Ь/и. Рис. 142 Рнс. 141 По формуле (18) найдем Ж [/и (/)[= — + — + е аи (и/ив+а/я/и+ Ыя). Определим теперь изображение функции /и(!): е и" — е и*' ~[/ (и)[ ~[( г+Ь)(1(! — !я) — !(!-!))[=( Г +Ь) .Ф Просуммировав Я[/я(!)[ и Я[/э(!)), иэображение функции /(!) получим в виде Ж [/(!)[ — [ — + Ь+я я~я( — -1-2а!и+2Ь) — е и я (а!э+Ь)~.
Пример б. Определить изображение функции (рис. 143) ( ми ге! при О<!<— г1 Ю /(!) О при Имеем: и(1)=а)пса, 8=0, 1а=тца, т е о! (5)=Ж(ап!е!т!= — ! о! ае 1 е!а ! б! (а)=Х Б!П(О 1+ — =Я1 а)пни)= —— По формуле 118) найдем Г (а) — +е " — = — 1+е о ). на+с!а а" +оР на+ е!а ! Формула (18) позволяет построить изображение периодической функции.
Пусть ер(1) — периодическая функция с периодом Т, пусть, кроме того, функция 1(1) совпадает с функцией тр (1) в интервале (О, Т) и рарна нулю вне этого интервала. Изобра- Рис. 144 Рнс. 143 жение Е (а) функции 1" (1) определяет формула (18), причем в этом случае т,=О, 1,=Т, т. е. 6!, (а)=~(!р(1)1=Ф(а). 6, (а) =~И(1+Т))=Ф(а), так как из условия периодичности тр(1)=тр(1+Т).
Подставляя выражения 6с,(з) и 6!,(з) в формулу (18), найдем изображение Ф(а) периодической функции !р(1): Ф(з)= т . й (а) (19) 1 е ат ' пример 6. Найти наображение периодической с периодом — функции т О (рис. 144): Мпо!1 прн 0~1~— Ф ф(г)=! а)им! )- и ' 2 Б!и О!! при — ( 1'с. ° Иаобра!кение )е (а) функции м П й ~~ ~ о ~ прн Ос!< —, и и при !! Ф 123 4. Умножение в комплексной и действительной областях. Рассмотренные ниже теоремы позволяют находить оригинал, соответствующий произведению изображений, а также определять изображение произведения оригиналов. Теорема 7. Если (пункции 1,(!) и )з(г) являются оригиналами и их изображения есть соответственно Ех(в) и Гз(в), то справедливо равенство г л[')г, — ьг. +я, ° н.*. (25) -о Доказательство этой теоремы в общем совпадает с доказательством теоремы 8 3 36.
Однако необходимо установить, что интеграл свертки ))г(х — т)(з(т) г(т является оригиналом, т. е. о в преобразует по Лапласу. Покажем это. Условия ! и 2 существования оригинала применительно к свертке, очевидно, выполняклся. Убедимся в выполнении усло- виЯ 3. ВыбеРем числа М н се такие, что [(х (1) [ ( Ме'л и [)з (1) [ ( (Ме"'. Тогда получим оценку 1г з-ог (оь ~и 1 "г'-~а~-мт~ с о [о т. е. 1ы~-вьем+и, """', е где е — сколь угодно малое положительное число.
Таким образом, условие 3 также выполняется и свертка является оригиналом. С точки зрения обратного преобразования Лапласа вместо Формулы (26) получим 1~'(')~'()1=И(( — )й(т)(т ((~О). (26) о Правая часть этого равенства представляет собой оригинал, соответствующий изображению в виде произведения Е,(з) Ез(з). Пример !О.
Найти оригинал 1(1). изображение которого р(з) зз/(за+1)а. Представим заданное изображение в виде произведении сомножителей з 3 Г з и (з)= — и р (з)= —. так как я '1( — 1=сов! то по формуле (26) за+! з з=+! ' Ь'+!.)= найдем искомый оригинал с гв-л [ )-~ р-е (з +1) с 1 соз( ож тг(т+з)п! мнтсозтот= — (!соз1+мн1) (!)О). 2 Теорема 8. Если функции 1,(1) и ~,(1) являются оригиналами и Рс(в), Ре(в) — соответственно их изображения, то произведение ), (1) 1, (1) также является оригиналом и справедливо равенство с" + 1со Ж [[т (1) [е (1)] = — ~ Р,(в- св)Ре (1с) йо, (27) сс — 1со с +1со с" + в»с Р,(в-и1)Р,(1с) йв= 1пп ) Р, (в — и) Р,(1с) с(и»; с — 1со о»» '"' с" — 1о, с* — вещественное число, удовлетворянхцее неравенству ез(со ( ( с — с„причем с, и се- абсциссы абсолютной сходимости функций 1, (1) и 1, (1) соответственно; с = Ке в, кроме того, гпах (си с„с»+с») (с.
Доказательство. Функции 1"1(1) и 1,(1) являются оригиналами, поэтому, очевидно, условия 1 и 2 существования оригиналов удовлетворяются и для произведения )1(1) ~о (1). Условие 3 также выполняется, так как при тах(с,, см от+со)(с 1т(Ж(1) (М ". Следовательно, произведение ~, (1) 1е (1) является оригиналом, Найдем изображение функции ~1(1) 1е(1). Имеем л»'[1,(1)),(1))=$~,(1)1,(1) е-"а1. о Заменим в правой части этого равенства 1,(1) по форнуле обрашения: с" +10» 1е(1) —,. ~ Р,(и»)е'"Йс (со)с,), сс — 1со тогда со со+1о» ло,ПЬа-ЩМа 1 с.~ >с.санс о.
со-1со Благодаря равномерной сходимости внутреннего интеграла относительно параметра 1 можно изменить порядок интегрирования; в этом случае будем иметь с»+1со / со ое,(О1ЛВ=~ ) сл ~ ВЯ - с»~)». сс-1»о 131 Но справедливо равенство ~ гс(1) е ы Ы й = Р, (з-и) о Ке(з — ш)=с — Кеи.э.с„т. е. при Кев(с-см поэтому со+/оо ~У'(С)1'(1)) Ж ) Р'(' )Р'( )" ' 1 при ~Ь(06(1Н= Х К зР (з — ш)Ро( ))~,. (28) ь=! Здесь гл — число особых точек функции Рэ(ш). Во втором случае принимаются во внимание особые точки функции Рг(з-в)Р,(ш), расположенные правее прямой, параллельной мнимой осн н проходящей от нее на расстоянии с-с, (рнс.
145), прн этом формула (26) запишется в виде 1 Х[76(г)~з(г)1= — ~, КезР,(з — ии)Рэ(в)! и (29) ! ! Таким образом, получили формулу (27). Выполнение условия с, (со ( с — с, обеспечивает интегрированне по прямой, параллельной мнимой оси и расположенной в полосе (заштрихованная полоса на рис. 145), где подынтегральная функция Р,(з — я)Рс(в) является аналитической. Действительно, функция Р,(ш) аналитична при Кем~с„ а функция Р,(з — ш) является аналитической 1св к при Кев(с — с,. Отсюда ясно, что произведение Ро(ш) Рг(з — и) будет аналитической функцией при с, ( (с*(с — с,.
° Интеграл в равенстве (27) представляет собой свертку функций Р,(з) и Р,(з). Таким образом, умнов ст с' с-с, ееж жение оригиналов соответствует операции свертывания изображений этих оригиналов. с*+/со Интеграл ~ Р, (з — в) Рз (ш) ды со — /со является несобственным интегралом и может быть вычислен с помощью вычетов (см. э" 32). Вычеты подынтегральной функции Р, (з — ш) Р, (ш) следует определять нлн относительно особых точек и = вь функции Ро(и), или относительно особых точек ю=нЧ функции Рг(з — и). В первом случае названные особые точки, являющиеся также особыми точками функции Р, (з — и) Ро(и), расположены на плоскости ы левее прямой, параллельной мнимой осн н проходящей от нее на расстоянии с, (рис. 145); при этом формула (27) прнннмаег внд Таким образом, операции дифференцирования изображения по в соответствует операция умножения оригинала на)с изменением знака на обратный.
Справедлива и общая формула вв (1л~ ())) ( 1)а Г (и) ,(31) Пример 12. Из соответствия совмв .—, мваиио получить с помощью формулы (30) всвое соответствие: в ва+ер — 2вв вв — ыв в соа мт в)- Лв вв ),мв (.в ) ыа)а (аа 1 ма)а в т. е Я (в'сси Ы)= (32) Теорема 10. Если функция 1(2) является оригиналом и Г (и)— его изображение и если интеграл ~ Г(в) с(з сходится, то справ ведлиео равенства Х ~+1(") 1 = ~дГ (и) дд. (33) $ Г(в) де = 1пп ) Г (в) дз в вв «Ов и контур интегрирования расположен в части плоскости, где функция Г (и) является аналитической.
До к а 3 а те л ь с т в о. Рассмотрим интеграл ) Г (в) дв, где путь интегрировании лежит в части плоскости комплексного переменного и, в которой функция Г(в) аналитична, т. е. при Вез=с)се. Принимая во внимание выражение (1) 2 42, получим ~Г(.) Ь=Ц~(1) д)д =~ПЯ~ д.де. в в 0 в вв вв ~ е™дз= 1пп ~с мс)з= Игп ~ — — ' в вв ~ вв вв вв ~Г(в)дз= ~ — е™д1, т, е, о,~ — '~= ~Г(з).с)в, ° в о в Здесь мы изменили порядок интегрирования, что возможно бла- годаря равномерной сходимости внутреннего интеграла относи- тельно и.
Так как Из теоремы следует, что операции деления оригинала на 1 соответствует операция интегрирования изображения по контуру в пределах от я до оо. Важным при этом является условие существования интеграла ~ Р(я)г(я. Если, например, 1(1)=1(1), т. е. СО СО сс газ газ Г(я) =1/в то ~ г" (в) г(я= г1 — = 11пт г1 —, = Нгп 1пвг=1пв. Так как Сс СО Сс ОР 6 с с Нгп 1пв,=со, то интеграл ~ Р(в) г(в в этом случае не существует, Сс со с 1 т. е. применять формулу (33) к функции — нельзя. Этот результат 1 совпадает со сделанным ранее заключением, что функция — не является оригиналом.
ип м Пример 13. Определить изображение функции —. Справедливо соогветствне мп ю( —. Првменвм и атому соответствию ' за+из ' формулу (33). СО сс з1н и а а Игп агс1К вЂ” ~ — агс1я — агсс1я — . со ю с 3 ГО Ю Получнлн новое тотнетствие мп юГ 3 .'- агсс1н —. ю' 6. Начальное и предельное значения оригинала. Следующие две теоремы позволяют по виду изображения судить о поведении оригинала при 1О О и при 1-моо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
