Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Теорема 11. Если функции 1(1) и 7"'(1) являются оригиналаии и Р(я) — игображенгге оригинала 1(1), то при суи(гствоеании предела 1пп 1(1) справедливо равенство г +о !пи яр(я)= 1пп ~(1), (34) С со с +о причем в-О со по такому пути, что 1(ее=с неограниченно еозраспгает. До ка зательство. В соответствии с формулой (7) изображение производной 1' (1) дается раненством с СО 2'(7'(1)) = $1'(1) ггг(1 ОО р(в)-1(+ О). о Перейдем в этом равенстве к пределу по я; пусть в- оо таким образом, что Кев=с неограниченно возрастает. Так как всякое изображение (см.
равенство (5) $42), в том числе н изображение !35 производной, при укззанном предельном переходе стремится к нулю, то получим равенство1пп вР(в) — ) (+О) =О. Ко)'(+О) = в со = 1пп 1((), поэтому г +о 1пп вЕ (в) = 1пп 1 (!). И в оо в +о Пример 14. Найти начальное значение орнгиаала 7(т), если его изображе! ние Р(з)= По формуле (34) получим !!гп )(т)= !!гп з =О. Этот результат 1 -1- о в (в+а)' можно проверипв, непосредственно используя соответствие (сл!. равенство (23)) тз иг .'- ! (в+ а) Нгп / (0 !!гп 1 ог О.
г + о г + о Формула (34) может быть использована „ если известно, что 1пп ((1) существует (при этом само значение ((!) неизвестно). +о В большинстве задач теории автоматического регулирования существование предела Вгп вг (в) свидетельствует и о существовании предела 1пп 7 ((). Однако можно указать отдельные примеры, в +е когда подобное заключение будет неверным. Теорема !2. Если функции 1(г) и 1'(() являются оригиналами, Е(в) — изображение оригинала ! (1) и если вг(в) является аналитической функцией в правой полуплоскости и на мнимой оси, то справедливо равенство !ппзр(в)= 1нп((1).
(35) в Г со До к а з а т е л ь с т в о. Справедливо равенство (7): те!гс(!)1 ~ гс(() вгс(! Р() !(1 О) о Пусть в-м0, тогда )пп ) 7"' (!) е "й(=1!гпвЕ(в) — ! (+ О). Интеоо в о грал в левой части равенства сходится равномерно относительно в, поэтому возможен переход к пределу под знаком интеграла: ) 7'(!)г(г=1)швР(в) — г(+О). Из аналитичности функции вр(в) о в о при 1(е в=с)0 следует, что производная )'(1) является функцией, убывающей по показательному закону; при этом интеграл в левой части последнего равенства существует. Имеем оо с ~ 7'(1) с((= 1пп ~7"'(т) йт= В!ну" (() — ! (+0). о В сов г е- +о 136 Сравнивая последние два равенства, получим, что Ит зг (и) = 1пп 7" (1).
И а о о» г Пример 1Б. Определить с помощью формулы (35) предельное значение оригинала, если его ижзбраженне г" (з) = — (сс)0 — действительное число). (з+а)з Б Функция аг (з)= яаляегся аналитической и правой полуплоскости и на Мнимой оси, По формуле (35) найдем Пщ 1(()= 1йп а ц а о (з+ сг)з 7.
Вторая независимая переменная. При определении новых соответствий «оригинал — изображение» оказываются полезными следующие формулы: Ж, 1" Игп 7 ((, а)1= Ит г (з, а), (36) ~а а, 1 а аа Ж~ ~ — 7((. а)~ = — г(з, и), (37) га а Жг ~)г7(1, а) с(а~= ) г'(з, а)е(а. (38) Справа мы имеем неопределенность вида О/О. Раскрывая зту неопределенносгь по правилу Лопиталя, получим изображение дельта-функции Ж 16 (()1= и (39) !37 Здесь 7((, а) — функция, преобразуемая по Лапласу относительно переменной (; г'(з, а) — ее изображение; а — переменная, не зависящая от ( и з. Из формул (36) — (38) следует, что соответствие 7((, а).:-г (з, а) не нарушится, если в левой и правой его частях выполнять операции предельного перехода, дифференцирования и интегрирования относительно второй независимой переменной а.
При этом предполагается, что пределы, производные и интегралы, указанные в равенствах; существуют. Справедливость формул (36) — (38) вытекает из основного соотно-. шениа ог(7((, а)1=Г(з, а) в РезУльтате поочеРедного пРименения к нему операций предельного перехода, дифференцирования и интегрирования. Пример 16.
Найти изображение дельта-фуниции 6 (1) (импульсииной функции первого порядка, см. $37). Так как 6(1)= 1пп 1 (г) — 1 (( — а) , то по формуле (36) получим а о а я[6( ]=Я ГГ 1(1) 1(Г и) ~ 1, ~ 1(() — 1(1 — о)1 (а а Используя формулы (1) и (13), найдем 1 — е "а я 16(гц= пт а е с Изображение смещенной дельта.
функция 6(1-а) определяется равенством Ж [6 (1 — а)[=е "*. (4О) Найдем изображение производной ст дельта-функцви 6'(7) — импульсивной фуннцин второго порядка. Твк как 6' (1) — 1!ш 1(Г)-2 ° 1(1 — а)+1(1 — 2а) а О ае то, учитывая формулы (1), (13) и (Зб), получаем 1(Г) — 2 1( — а)+1(1 — 2а) 1 1 — 2» а»+ееа» .й [6' (1)[аа 1пп '~г Игп а 0 ае а о аез После двукратного применения правила Лопиталя получим Ж [6'(г)[= Изображение импульсивной функции порядка л будет гл [6»а-и (г)[ — за-з (41) (42) — 2ем Так как — созш(= 1»!п ы(, а»6»ма дм ' 641 зе+оР (Р+оР)е ' то получим новое соответствие йюз (ып ю(+ -у+ ) -. (43) Пример 18. Применить формулу (38) к соответствию з с»н м1-1- — ет — -. Проинтегрируем вто соответствие спева и справа по переменной вн 3 Р з!пот ра Моют соз ыг Фо: — й», соз ю1»(ш Ф -[-оР [о з ы!и О 3 †-1- йоаа агс12 — ~ .
агс(й — агсс(й — . зе+ы з [о з Ю мп ю1 3 Получили соответствие — — '. аюс(2 —, известное также ив примера 13. 1 ю' Заметим, что функции Р(з)=1, з, ..., за е не стремятся к нулю при з -е со, но»тому их можно считать изображениями лишь условно. Эта условность является следствием той условности, которая отмечалась выше при введении понятия дельта-функции.
Пример 17. Применить формулу (37) к соответствию со» ю1 —:— зе+ ые Из формулы (37) следует, что соответствие не нарушится. если его про. дифференцировать слева и справа по независимой переменной ю: д а з — со» ю1 1-— 6 е[оР' Таблица 2 Таблица оригинилои ы га изображений Оригинал Иеображоено 1 е 1 и+а 1 1(1) е -а/- е а' — е (н [1 — а бе-и/ аб+ а[( -Р) I е)п в! ю (о+а) (е+ [)) 1 — Т— — (1 — сое в() 1 оР (и+а)ее~ 1 — е и/ни в! 1 в (е+ а)'+ в' е+а е "/спев! е о/+а/ — 1 (о+а)о+оР 1 ее (е+а) о+ по Ге+а)е 1 е(о+а)е и+ по е(о+а)е 1 (ее+во) ее 1 (У вЂ” оР) У (е' +в')' ео (Р+во)' ео — оР (сое в/ [(ао — а) /+це 'е 1 — (1+а/) е а/ ае — ",+(" "С вЂ” —,)е-~с/ 1 1 — 1 — — ап вг оР оР 1 1 — йЫ вЂ” — ! оР оР 1 — 1 8!Пв! 2в 1 — (е[п в/+ вг с<н в!) 2в е(о+а) о+6) У+оР Ф+ оР 1 е (Ф+оР) и! ееог п1 Продолжение егабл.
2 Изапрагнанна Оригинал (а+ а)а — нза Се «гсоннзС 21 ((а+а) +нза) нгс(ив (1' на+! — и) н1п нзС С з л П) (а ) 1) ргеа+ ! 1 Сг (б 1 (С вЂ” а) 24 '+1'"е'+1 1 — е "а е 1 е-аз еа 1 (е-и» е-Ьз) е при а(Ь (С вЂ” а) 1(С вЂ” а) 1 (С вЂ” а) — 1 (С вЂ” Ь) 5 44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ Рассмотрим некоторые способы определения оригинала по заданному изображению. В З 42 было показано, что оригинал С(С) может быть найден в результате обратного преобразования Лапласа над его изображением Р(з): а+ Саз 7(С) = о-'(Р(з)) = ~. ~ Р(з)е" с(з. 1 2щ а — С~ 140 Формула обращения (1) устанавливает однозначное соответствие между изображением и оригиналом в точках непрерывности оригинала.
Вычисление оригинала по формуле (1) удобно производить с помощью вычетов. Пусть функция Р(з) является изображением, т. е. удовлетворяет условиям теоремы 4 $ 42. Пусть, кроме того, эта функция при Ке з(сн имеет конечное число особых точек-полюсов. Функция Р (з) удовлетворяет условиям леммы Жордана (см. З 35), т. е. при Р(з), стремящейся на дуге Ся к нулю при Сс-а.оо равномерно относительно агнз, и любом положительном значении С имеем ~ Р(з)е" г(з-~-О, (2) сл где Ся-часть окружности (см. рнс, 87) с радиусом 1(, находящаяся в полуплоскости Ке з <по. Тогда интеграл (1) по прямой, параллельной мнимой оси, сводится к контурному интегралу, где контур интегрирования состоит из указанной прямой и дуги Ся()(-~со). Применяя теорему о вычетах, получим о ((г) =Х-'(Р(в)1= 'Я КевР(в)е*'(, (3) где Ся — часть окружности (см. рис.
88) с радиусом )с — о оо, находящаяся в полуплоскости Ке в)ео, поэтому при 1(0 с+ ~ао о Г (() = —. ~ Р(в) ео'па = ~~)„КевР(в) е'~~. с — сао 4-1 где во — особые точки функции Р(в)е", расположенные в полу- плоскости Кев)со. Однако в укаэанной полуплоскости изображение Р(в) является аналитической функцией, т. е, сумма вычетов равна нулю, откуда получим, что ) (с) = 0 при ((О. Рассмотрим случай, когда изображение является рациональной функцией, т. е. представляет собой отношение двух много- членов Р А (в) Ьоо" +Ьооос о+...+Ьс,,о+Ьт (5) Н(в) аоо" +аоо" '+...+а оо+ао ' причем гиа: и и коэффициенты а и Ь вЂ” действительные.
Вычислив корни знаменателя вс (1=1, 2, ..., 1), представим зто изображе- ние в виде (5) А(о) Ьоо~+Ьоь'о о+...+Ьм ов+Ь,о и ($) ао( — 1) 1( — о) '... ( — Зс) с Здесь й,— кратность корня вь причем К,+до+...+И, п. Для определения оригинала, соответствующего изображению (6), используем формулу (3). Тогда, принимая во внимание формулу (5) $ 32 нахождения вычета относительно полюса, получим при () 0 141 где в=в„— полюсы функции Р(в)е". Так как изображение Р(в) является аналитической функцией при Кев.~с„то указанные полюсы расположены левее прямой, параллельной мнимой оси и проходящей от нее на расстоянии с, (см. рис.
137). Прн ( 0 следует положить ((() =О. В самом деле, из леммы Жордана следует, что прн ((О имеем ~ Р(в)е" дв-о О, (4) са Пусть теперь все корни з, знаменателя изображения Р (з) будут простыми, т. е. ссс = 1 (с = 1, 2, ..., и). Так как ао (зс зс) (зс зз) " (зс — зс-с) (зс зсс-с) " ° (зс зи) =' = †;; В (з) ~, , = В' (зс), сс то вместо (7) в этом случае получим более простую формулу Ж) = ~~~~ в,(",) з"' (1)0). с Если знаменатель В(з) имеет один корень при з=О, т. е. (8) В (з) = зВ, (з), где В, (з) = а, (з — дс) (з - з,) ... (з — з„), то формула (8) примет вид: л с 2 При наличии у многочлесср В(з) пары мнимых корней зс=)асс, з, = — )сзс имеем В (з) = (з — )сзс) (з+ )ос) В, (з) = (з'+ сз1) Вс (з), где Вс (з) = асс(з — зз) (з — зс) . (з — зсс). Формула (8) запишется в этом случае следующим образом; г(с) = ."(') ! зс и+ "(') ! з-) а+ = (з+смс)В,(с) (, с, (с — !ссс) Вс (с) 1 =-С ь л сс (с) ! *сс 4 Ов,) + с~с Ф+сс1)В1()!' 'с ЗсссВ 0'ос) + с-з 4 ( — )ссс) е-)а,с+ у Л (сс) с;с , — з),в ( — свч)' ' с (,1) „))в,(„) ' Первые два слагаемых в правой части этого равенства являются комплексными сопряженными величинами, при сложении их вещественные части удвоятся, а мнимые части взаимно уничтожаются, поэтому получим В равенстве (5) мы полагали, что гп(п.
Если гпмнп, т. е. рациональная функция г (з) является неправильной алгебраичесиой дробью, то следует предварительно разделить числитель этой дроби на знаменатель до получения остатка в виде правильной дроби. Если, например, т =и+ 1, то Р (з) = — = йгз+ йз+ —. А (з) Аг (5) В (5) В(8) ' (11) Здесь й» /г,-постоянные коэффициенты, — — правильная А (х) В (8) дробь.
В этом случае )(1) =~ 'Г('П=~ '(й ~]+~ 'И ]+~ '~ — ',~,'~~ Принимая во внимание формулу (42) $ 43 для изображения импульсивных функций различных порядков, получаем Иг) = й.б'(1)+М(1)+~-'["— ,*", ~. (12) Третье слагаемое в правой части этого равенства может быть найдено с помощью формулы (8). В некоторых случаях можно найти оригинал г(1), соответствующий изображению г (з), если разложить Е(з) в ряд по сте! пеням —: Г(з) = (13) Формальность процесса определения оригинала с использованием равенств (13) и (15) состоит в том, что не была установлена сходимость указанных рядов.
Покажем, что если изображение Г(з) является аналитической функцией в бесионечно удаленной точке, то оригинал 1(1) может быть определен с помощью 1 формулы (15). Введем новую комплекснуЮ переменную д= —. Тогда функция г1 — !=Ф(д) может быть представлена в виде /11 14! степенного ряда Ф (д) = ~) пад~; Ь=1 (16) Учитывая равенство (см. формулу (8) 3 42) ~Р") = —,".!„ (14) формально будем иметь оригинал 1(1) в виде суммы степенного ряда Н1) =,'() „"„, 1-' (и~ О) .. (15) Ь=1 этот ряд сходится в круге сходимости ! !7( ц.Л, где )с — радиус сходимости. Функция Ф(д) в указанном круге будет аналитической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
