Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 17
Текст из файла (страница 17)
129)„а линейная часть является последовательным соединением интегрирующего и колебательного звеньев с передаточ- й нон Фупхцвей л(Р)= „(Тз„з ! 2йТр+!) ° причем й=!00 Цс, Т=0.6 с, Г,=0,4. Решение втой задачи проведем двумп способами, рассмотренными выше. В примере ! было установлено, что гармоничесхи линеаризованное уравнение идеального релейного звена 4с есть х,= — хп Уравнение линейной части системы имеет внд Р (ТэРэ+ хСТР+!) хг= — йхз, Исключив нч этих уравнений какую-либо иоординату, например хэ, найдем харахтеристический мпогочлен автоматической системы Р (Л): Р(Л)= Теда+.'ЯТЛэ+Л+ й —.
4с п4 ' Делая в этом многочлене подстановку Л=!аь отделяя вещественную и мнимую части и Рнс. 134. приравнивая их пулю, получаем систему уравнений для определения неизвестных значений А„и ю„: Р(Ап, в)= — Жып+Д вЂ” =О, Р(Ап. ю„)=-Т п+шв-о. 4с э и Из трех решений второго уравнения втой системы ыв= о, шп= ЦТ, ы„==- ЦТ лишь значение ы„ЦТ может соответствовать частоте физически возможного п еделыюго цикла. При ы„=ЦТ из первого уравнения найдем Ав=2йсТ/я$. ах хая параметры А и ы имеют действительные и положительные значения, чо в рассматриваелюй автоматичесхой системе существует предельный цикл Ап 2йТ 2 100.0,6 с относительной амплитудой —" = — = ' =95,5 и частотой ыа = с п4 ц04 1 1 — — =1,67 Цс. Т 0,6 Выполним теперь решение этой задачи графнчесии. На рис.
134 построена амплнтудно-фазовая характеристика 11', ()ы), а также характеристика — М„(А) = А = — Цд(А)= — нА!4с для различных значений относительной амплитуды —. с Тах иаи кривые и а (!тв) и -М„(А) пересехаются, то в автоматической системе существует предельйый цикл. Отметка точки пересечения на кривой -М„(А) А Ап равна значению относительной амплитуды предельного цикла, — †" 96,5, ' с с а отметив точви пересечения на кривой (р„(!ы) равна частоте предельного цикла ыс ма=1,67 Цс.
(05 3. Устойчивость предельных циклов. После того как в автоматической системе установлено наличие предельных циклов, необходимо исследовать их на устойчивость. В гл. Ъ' было отмечено, что в нелинейной системе могут существовать как неустойчивые, так и устойчивые предельные циклы. Во втором случае предельные циклы являются автоколебаниями, т. е. представляют собой устойчивые собственные периодические колебания нелинейной системы. Неустойчивые предельные циклы не являются отражением физически существующего и реально наблюдаемого периодического колебательного процесса в системе и в большинстве случаев характеризуют границу устойчивости автоматической системы в малом. Ниже рассмотрены два способа приближенного исследования устойчивости предельных циклов нелинейных систем. В основу этих способов положена, как 1т ПЦь1) и ранее, идея гармонической линеаризации нелипейностей. / ° — Первый способ удо/ г бен при аналитическом ана- лизе устойчивости предельь1 й ных циклов и требует знайе~1да~~ ния вещественной и мнимой частей (.1(А, в), У (А, ы) годографа Михайлова (34).
г Рассмотрим сущность этого способа. Предположим, что в системе возник предельный аале цикл с амплитудой А =А„и ч.. ° частотой ы = м„. Как пока- зано в п. 2, годограф В()еэ) Рис. 135 при изменении ы от 0 до со проходит при наличии предельного цикла через начало координат (см. рис. 132), причем для всей кривой значения А = А„ = сопя( и в начале координат отметка ы =ы„. Дадим амплитуде предельного цикла приращение ЛА, т. е.
положим А = А„+ ЛА. При этом первоначальное положение годографа В(~м) изменится (иа рнс. 135 новое положение кривой )О(!ы) показано лишь в окрестности начала координат). Пусть при ЛА) 0 кривая 0()о) занимает положение (, а при ЛА(О— положение 2. В соответствии с критерием Михайлова положение кривой 1 относится к устойчивой системе, а положение 2— к неустойчивой. Это означает, что в первом случае амплитуда колебаний уменьшается до значения А = А„, а во втором — увеличивается до значения А=А„. В обоих случаях приращение ЛА стремится к нулю, т. е. предельный цикл является устоячивым.
Если при ЛА(0 кривая занимает положение 1, а при ЛА)0— положение 2, то в первом случае амплитуда колебаний уменьшается до нуля, а во втором — увеличивается до бесконечности, т. е. ЛА не стремится к нулю и предельный цикл является неустойчивым. 106 Следовательно, для того чтобы предельный цикл был устойчивым, т. е. представлял собой автоколебання, необходимо, чтобы при ЛА ) О годограф Михайлова занимал положение 1, а при ЛА ) Π— положение 2. Другими слонами, если вектор г, характеризующий перемещение точки О кривой 17 (1в) при изменении А, расположен при ЛА) О справа по отношению к наблюдателю, смотрящему вдоль вектора 1, касательного к кривой в точке О (рис. !36), а при ЛА(О вектор г расположен слева, то предельный цикл будет устойчивым.
Дадим этому необходимому условию математическое описание. Определим модуль векторного произведения векторов г и 1: ) и,оА /гх1)=г(з)п(г1)=~ ~=и,о« вЂ” и7о„ ()и7о7 ~ где и„о, и и„о,— проекции соответственно векторов г и 1 на оси (/ и )7; г и 1 — модули этих векторов. Следовательно, з)п(г1) "о7 иго м Если годограф Михайлова В(1м) при А =А„+ЛА занимает положение 1„то угол (г1) является положительным, так как вращение вектора г для кратчайшего совмещения с вектором 1 происходит против часовой стрелки. В этом случае и,о« вЂ” и7о„ ) О. (43) Если годограф 17(1«э) прн А =А„+ЛА занимает положение 2, то угол (г1) будет отрицательным, поскольку вращение вектора г для кратчайшего совмещения с вектором 1 должно быть по часовой стрелке.
При этом и,о« вЂ” иго«< О. (44) Дадим параметры А= А„и ы= «э«соответственно малые приращения ЛА и Ла. Тогда проекции векторов г и 1 на оси У и (7 можно приближенно записать в виде и,=( — А) ЛА, о,=( — „) ЛА, и« = ( д «) Л«э, о7 = ( ~ ) Лы. (46) Индекс «пэ здесь означает, что соотнетствующие частные производные находятся при значениях А =А„„««=«7„. Пусть Л«э) О, т. е. вектор 1 направлен по касательной к кривой Михайлова в сторону возрастания параметра «э. При ЛА ) О получим, подставляя (45) н (46) в (43), ( дА ) ЛА ( д,«) Лв — ( д, ) Лы ( дА ) ЛА ) О. 107 При ЬА ~0 аналогично найдем (дА ) ЛА~~, ) ттв — (д,в ) Лв (~~ ) ЛА с-О.
Разделив первое неравенство на положительную величину ЛА Лв„ а второе неравенство — на отрицательную величину ЛА Лв и изменив при этом во втором неравенстве его смысл, получим в обоих случаях (дА) ~Д~) — ~~ ) (дА ) )О. (47) Неравенство (47) устанавливает необходимое условие устойчивости предельного цикла. Это условие имеет аналитический характер; функции (I=(/(А, в) и )т = Ь'(А, в) легко определиются по виду характеристического многочлена (34). Пример 3. Исследовать аналитически устойчивость предельного цикла автоматической системы, рассмотренной в примере 2. Иа примера 2 получим: (I (А„в)= — 2;Тва+й —, )т (А, в) = — Тавр+в, 4с пА ' откуда и4 "=т ~ — ) = — 44Тв ~ = — 4$, — =О д)т дА Следовательно, учитывая условие (47), получаем . ~ — ®( — 2)~О, т.
е. предельный цикл с параметрами Аа=2йгТ!М., ва=))Т устойчив. Второй способ позволяет производить приближенное графическое исследование устойчивости предельных циклов и основан на использовании критерия Найквиста. В п. 2 было отмечено, что при выполнении равенства (38) в автоматической системе возникает по крайней мере один предельный цикл с амплитудой А„ и частотой в„. При значениях А=Аа и в=во амплитуднофазовая характеристика разомкнутой системы )р' (ув) проходит через точку ( — 1, )О). Как и прежде, дадим амплитуде предельного цикла А„приращение ЛА, т.
е. полагаем А =А„+ЛА. При этом характеристика ()7()в) сместится так, что она будет или не будет охватывать точку ( — 1, )0). Если при ЛА ) 0 характеристика В'(гв) не охватывает, а при ЛА с 0 охватывает указанную точку, то в соответствии с критерием Найквиста в первом случае амплитуда колебаний уменьшается до значения А =Аа, а во втором увеличивается до того же значения А =А„. В обоих случаях приращение ЛА стремится к нулю, т. е.
предельный цикл является устойчивым. Если при ЛА)0 характеристика В'()а) охватывает, а при ЛА (О не охватывает точку ( — 1, 10), то предельный цикл, как-легко убедиться, применив критерий Найквиста, будет неустойчивым. Определение параметров предельных циклов ранее производилось на основе условия (40) без построения амплитудно-фазовой характеристики йг()а), но с использованием характеристик Ю'„()а) и М„()а, А), поэтому целесообразно отмеченное выше условие устойчивости предельных циклов переформулировать применительно к этим функциям.
Охват характеристикой )Р(1а) при ЛА(0 точки ( — 1, 10) соответствует охвату характеристикой )(г„()а) точки на кривой — М„(А), для которой ЛА (О (точка Аи на рис. 133). Если В'()а) при ЛА 0 не охватывает точку ( — 1, 10), то йг„()а) не охватывает точ- Рис. 136. ку на кривой — М„(А), для которой ЛА ~ 0 (точка Аг на рис. 133). Следовательно, для того чтобы предельный цикл с амплитудой А, н частотой а„был устойчив, необходимо выполнение условия: изображающая точка при перемещении по кривой — М„(А) в направлении возрастания А должна подходить к точке пересечения кривых (р', ()а) и — М„(А) изнутри амплитудно-фазовой характеристики К, ()а). На рис.
136 изображены характеристики К,()а) и — М„(А), пересекающиеся в двух точках; при этом в системе существуют два предельных цикла с параметрами А„„а„, и А„„а„,. Из условия устойчивости ясно, что лишь предельный цикл с амплитудой Аи, и частотой а„, является устойчивым, т. е. представляет собой автоколебания. Часть пятая ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Глава ХФ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ й 42. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 1. Основные понятия. В настоящее время под операпиоииым исчислением понимается совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными н непосредственно ведущими к цели средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений, а также разностных и некоторых типов интегральных уравнений (7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
