Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пример 1. Определить коэффициенты гармонической лннеарнэацни ала нелинейного звена релейного типа (рвс. !30, а). При подаче на вход релейного звена синусоидального сигнала лт. А з)п ыс (рнс. 131, а) на его выходе возникает сигнал, характер которого (рнс. !31, б) легко определять, рассматривая совместно рно. 130. а и рнс. 131, а. Если А ) ьЬ, переключение реле происходит прн значенняя и, равных иг, ыз, пз, на поэтому, принимая во внимание формулу (!8), будем иметь то искомые коэффициенты гармонической линеаризвции определяются равенствами д(А) — (~Т вЂ” Ьз/Аз+)' 1 — «РЬз/Аз), д'(А)~ — 2«6/лдз(1 — ю), (А ) Ь). 2« пА Рассмотрим частные случаи.
а) Релейное звено имеет идеальную статическую характеристику (см. рис. 129). В этом случае Ь=О и, следовательно, д(А) 4с/иА, Ч'(А)=0. Гармонически линеариаованное уравнение (1?) такого звена будет 4« хз — хг. пА Прн гармонической линеаризации идеаль- ное релейное звено заменяется линейным Рис.
130 Рис. 131 авеном, коэффициент усиления которого обратно пропорционален амплитуде А синусойдэльного сигнала хм б) Релейное звено имеет зону нечувствительности, но петля гистерезиса 4« / Ьз отсутствует (см. рис. 130, б). Полагая «г= 1, найдем Ч (А) — з/ 1 —— пА )/ Аз' д'(А)=0 (А ~ 6). Гармонически линеариаованное уравнение этого звенаимеет внд 4с / Ьз хз= — тт/ 1 — — хт (А~6). яА )/ А' в) Релейное звено с петлей гистерезиса (см. рис. 130, в).
Для такого звена 4с / Ьз, 4сЬ «г=1, поэтому 4 (А) = — "1/ 1- — Ч'(А)= — — (А) 6). В втои случае =А)/ А ° = цА гармонически линеаризованное уравнение есть з Г Ь' 4Ь!. хе = — 1гг ! — — Хт — — = аь пА Р Аз пАз ы Наличие в правой части этого уравнения производной «т ео знаком минуо свидетельствует об отставании по фазе сигнала на выходе нелинейного звена по отноюевию к сигналу на его входе. Введение в правую часть линеариэованного уравнения отрицательной производной позноляет учесть влияние петли гиетерезиеа статической характеристики нелинейного звена на его выходной сигнал Мы рассмотрели гармоническую линеаризацию нелинейности, когда аргументом нелинейной функции является входная координата нелинейной части х,.
Если уравнение нелинейной части имеет под знаком нелинейной функции выходную координату х„ то методика линеаризации не изменяется, однако следует полагать, что синусоидальным является выходной сигнал нелинейной части хз = А э)п от!. (21) Д,ня нелинейного уравнения, например, вида г (х„х,) = хт (22) получим гармонически линеаризованпое уравнение д' (А, гз) .
ха+ д(А, го) хе=хо (23) При этом коэффициенты гармонической линеаризации д и д' определяются по формулам (13) и (14), где А и от обозначают амплитуду и частоту выходного сигнала хя. В случаях, когда под знаком нелинейных функций находятся и входная и выходная координаты (см. уравнения (2)), методика гармонической линеаризации имеет некоторые особенности. Пусть, например, нелинейное уравнение имеет вид !я(хз, Х,) =рт(х,). (24) Полагаем, что хь=Ааз(п оМ, хт —— А,э1п(юр+тр), (25) т. е.
рассматриваем сигналы на входе и выходе нелинейной части имеющими разные амплитуды Ат и А„а фазовый сдвиг этих сигналов считаем равным <р. Поочередно гармонически линеаризуем нелинейности ра (хя, хя) и ~,(х). Имеем ~з(Уя, хэ) дз(Аэ, От) кэ+ ' ' хя; здесь коэффициенты д, и дх в соответствии с формулами (13) и (14) равны: д,(А„ю)= — „А л! ра(Аяэ(пи, Аветсози)к(пит(и, (26) ! Г о зя дв(Аа. от) = — „ )з(Азз(пи, Ааотсози)созиди. (27) ! Г ч~ (Ад Положив в (25) т1=со1+ср, найдем ~,(х,) =п,(Л,) х,+ч'~ ' Уп где 1'г д,(Л,)= — ~ ~, (Л,з(пи) з1пис1и, лА, л о тк 41 (Л )= — 1 ~,(А,з!и и) сох идти. " (29) 1.3 о Следовательно, гармонически линеаризованное уравнение (24) имеет вид д,(Ам а)х,+ * ' У,=дт(Аг)х,+ — 'х,.
(30) д,'(Ап а) ч,'(Ад . Амплитуды А, и Л, синусоидальных сигналов на входе и выходе нелинейной части, как следует из уравнения линейной части (3), связаны между собой функциональной зависимостью Ат=А,1В',(/м) ), а фазовый сдвиг ср=агд (Р,((м).
2. Определение параметров предельных циклов. Амплитуда и частота собственных периодических колебаний нелинейной автоматической системы в общем случае являются неизвестными и подлежат определению. Рассмотрим некоторые способы приближенного определения параметров -предельных циклов, в основу которых положена идея гармонической линеаризации нелинейностей. Пусть уравнение нелинейной части системы имеет вид (4) х, =((х„х,), тогда ему соответствует гармонически линеаризованное уравнение (15). Подставив хт из (15) в уравнение линейной части (3), получим линейное дифференциальное уравнение замкнутой автоматической системы: (В„(Р)+М,(Р)~Ч(А, м)+ ' Р)х,=0, (31) коэффициенты которого зависят от коэффициентов гармонической линеаризации д (А, о) и д'(А, в). При постоянных значениях А и в уравнение (31) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Этому уравнению соответствует характеристический многочлен ' П(Л) =П,(ЛУ+М„(ф(А. )+'(" "1)1~. (32) Наличие в линейной автоматической системе собственных периодических колебаний с амплитудой А = Л„ и частотой м= га„, т. е. колебаний вида х, = А„з(п со„(, (33) означает, что характеристический многочлен В (Х) имеет на мнимой оси пару корней Х=~-ув„, т. е, автоматическая система находится на границе устойчивости.
Из критерия Михайлова следует, что система будет находиться на границе устойчивости, если годограф О(/в) проходит через начало координат (рис. 132), При этом отметка в на кривой П (1в), соответствующая началу координат, является частотой собственных периодических колебаний системы, т. е. ы=-ы„. Отсюда вытекает следующий способ определения амплитуды А„и частоты а„собственных периодических колебаний. Подставим в характеристический многочлен 11(Х) Х=-)в и выделим вещественную и мнимую части.
Из равенства (32) видно, что вещественная и мнимая части зависят от параметров А и в, т. е. В(/в) =0(А, а)+11'(А, ы). (34) Потребуем, чтобы годограф 11 фо) проходил через начало координат; при этом, положив А = А„, е = о„, получим систему уравнений (/(А„, в„)=О, $'(А„, в,)=О, (35) из которой можно аналитически определить амплитуду А„и ча- яйчФ) стоту ы„собственных периодических колебаний. В соответствии с основной идеей гармонической линеаризации таким образом найденные значения А„ и в„ могут рассматриваться Ф как параметры предельного цикла нелинейной автоматнче- Рнс. 132 ской системы.
Рассмотрим еще один из способов определения значений А„ и ь„, основывающийся на использовании критерия Найквиста. Пусть„как и выше, гармонически линеаризоваиное уравнение нелинейной части системы имеет вид (15). Тогда можно определить приближенную передаточную функцию К„(р; ы, А)=д(А, м)+ ' р, а сделав подстановку р=/гв, найти приближенную амплитуднофазовую характеристику нелинейной части В'„(ро, А) =д(А, м)+н)'(А, ь). (37) Эта характеристика зависит как от частоты в, так и от амплитуды А гармонического сигнала на входе нелинейной части автоматической системы. В соответствии с критерием Найквиста линеаризованная автоматическая система будет находиться на границе устойчивости, если амплитудно-фазовая характеристика (по первой гармонике) разомкнутой системы проходит через точку ( — 1, 10).
Следовательно, при выполнении равенства В' Цы) = В', Цгз) К„Цгз, А) = — 1 (38) в системе возникают собственные периодические колебания с амплитудой и частотой, равными тем значениям А„и гз„, при которых амплитудно-фазовая характеристика В' Цсо) проходит через точку ( — 1, )О). Условие (38) является приближенным условием возникновения в нелинейной автоматической йн системе предельных циклов. ц~Огп) Введем обозначение 1 М„Ца, А) = и' цм л) ке ° (39) д7 тогда условие (38) запишется ~п в виде -у,(л) ' А (Р, Цгз„) = — М„Цгз„, А„). А (40) ~я Здесь левая часть равенства зависит от частоты гз = гз„, а правая зависит от частоты гз = в„и от амплитуды А =А„.
Однако во многих практически важных случаях правая часть равенства (39) зависит только от амплитуды, при этом условие (40) будет иметь вид В', Цгз„) = — М„(А„). (4! ) Для определения неизвестных значений А„и ы„необходимо решить уравнение (40); решение наиболее удобно производить графически. Особенно просто определяются графическим путем значения А, и гз„, если условие появления в системе предельных циклов имеет вид (41).
В этом случае на комплексной плоскости следует построить кривые В',Цгз) и — М„(А), придавая гз и А значения от 0 до со (рис. 133). Если кривые К„Цы) и — М„(А) пересекаются, то это означает, что в автоматической системе существует предельный цикл. Наличие нескольких точек пересечения свидетельствует о существовании нескольких предельных циклов.
Частота предельного цикла равна значению отметки частоты гз = гз„ на кривой В'„ Цгэ), а амплитуда равна значению отметки амплитуды А = А„ на кривой — М„(А) в точке пересечения этих двух кривых. При графическом решении уравнения (40) приходится строить на плоскости К„ Цв) семейство кривых — М„ Ца, А), изменяя А от 0 до со и фиксируя для каждой кривой значение частоты а как параметра.
При этом искомые значения Ап и ю„определяются как соответствуюп(ие отметки точки пересечения кривой ))т„(!ш) с той кривой из семейства — А(„(!ан А), у которой значение параметра ш совпадает со значением отметки ш на кривой (р„()то) в точке их пересечения. Пример 2. Определить параметры А„н ю„предельных циклов в автоматической системе (см. рис. 128). нелинейная часть которой представляет собой идеальное релейное звено (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
