Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Подобные соображения приводят к формуле (1). Из формулы (1) видно, что текущая спектральная характеристика зависит не только от частоты ы, но и от времени окончания наблюдения й Значение времени 1 может соответствовать также моменту окончания самого физического процесса. Факт зависимости г,(е!) как от е!, так и от ! позволяет наглядно устанавливать связь между изменением во времени физического процесса и ему соответствующим изменением характера разложения этого процесса на сумму гармонических составляющих. с Имеем гс (/в) =~ Ад з!и вд/е-/ддс с(С.
Проинтегрируем правую часть етого равенства по частям; тогда гс(/в) †А /дм — созвд/~ †/Ад — дд е / созвдсс//= 1 !с . в Г в ~о Ь ) о — Ад — е /™ сов вд/+ — /Ад — с /и ссявд/с/С= 1 Ад . в !.' вд «дд вд с 1 Ад в "1 с, 1с — Ад — е / сов вд/-(- — )А — — е /в зи в,/~ вд сзд вд вд (о с +) — а /вс а!п вд/ с// = — А,е /в — -)- —— в р с сов вд/ Ад вд одд вд -/Ад —, е /вс ап одд/+ —, в Ад з!п вд/е /всс(С, вд вд откуда Ад Г / А з!п вс/е /си с(/= с 1 — е /см с!соз вд/+/ — мп вд/Л— вд Л сед 1 —— вд и искомая текущая спектральная харантеристика Р~(/в)=Ад, 11 — е /дм !созвд/+/ — япвд/)~. вд Обозначим через л число полупериодов синусоиды, считая нх с момента иозникновения процесса, и рассмотрим гс[в) для дискретных моменъдв врем 2я меня /=л — =л —, причем Т вЂ” — период синусоиды дан как аппп=О 2 в,' вд при л=О, 1, 2, ....
то для дискретных моментов времени вместо (2) получим — /еи — д сс(/в)=А, д с ~1 — ( — !Усе Найдем модуль текущей спектральной характеристики: )Рс(/в)!= — ) 1 ( 1)л(созод/ — / з!ив/) ! Ад 1 " '-( —.")' — Р (1 — ( — 1)" сов в/)в+впав/ Ад 1 '-(=",)' — У'2 — 2 (- Цл соз в/. Ад 1 "' '-й)' х . Г! — созх х Г 1+созх Известно, что з(п -- = -~- 1ГС , соз — = -ю- "~~ , поэтому ! гс (Ссэ) ! = — ! мп л — — ! 2Ас1, ив! вс ~ 2 в ~ ! (в)з! если и — четное, и !Рс()в) )= — „' - "'!'-(=",)'!' (4) если л — нечетное.
При в=вс аначеиие )Рс(/в)! становится неопределенным Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. Если л — четвое, то 2Ас 1 л 1 и в Игп ! Рс Ов) ! 1йп — ) и — !сози — — ! = -" "'! — "! вэ ! 1 и и С Т =Ах — — =Ас — =А,л— 2 в, 2 4 Аналогично для и — нечетного: 2А, 1 л ! . л в 1 Т 1цп )Рс((в) (= Ит — ' — — и — ! — ип и — — !=Асо —. в и, в и,в, ! 2в 2в,~ .2вс~ 4' вэ г следовательно, мос(уль текущей спектральной характеристики ! гс (св) ! при в=вс нозрастает при увеличении числа полупериодов и по линейному закону. На рис. 113 приведено рельеф. / ное изображение модуля !Рс (Св) ! ! г'ОсоЯ ф | ' для различных значений и и полоl жительных в. Из рисунка видно, что с увеличением числа л все более увеличивается максимум модуля спектральной характеристики на частоте в=От.
При и со периодичность функции 1(С) проявляется наиболее полно; в этом случае график )Рс()в)! 10 представляет собой смещенную дельта- в /в функцнсо б — — 1) . Прн л ! Не- вс О % достаточно йризнаков, свидетельствуюбо щих о возможной периодичности функции 1(С), следствием этого является от(с!С сутствие на графике ! гс()в) ! максиму- мов, в том числе и на частоте в в,. Рис. 113 Таким образом, по характеру те- кущей спектральной характеристики гс ()в) можно сделать суждения о поведении функции 1(с) при изменении времени С. Рассмотрим еще один вид спектральной характеристики, зависящей от времени, — мелованную спектральную характеристику, которую определим с помощью формулы ст()в, ()= ~ )(1)е с 'Й (Т)0). с — т В этой формуле интегрирование производится в отличие от формулы (1) не во всем интервале наблюдения за процессом (О, (), а лишь начиная с момента времени à — Т.
Этот момент времени предшествует текущему моменту времени г и удален от него на время Т. Необходимость введения понятия мгновенной спектральной характеристики связана с целесообразностью иметь спектральную характеристику, которая отражала бы не всю историю процесса )(г) начиная с момента его возникновения, а учитывала бы лишь свойства этого процесса во временнбм интервале, непосредственно примыкающем к данному моменту наблюдения за процессом.
Так как значение Т может быть выбрано сколь угодно малым, то мгновенная спектральная характеристика позволяет выявить особенности процесса в данный момент времени г. Найдем связь между спектральными характеристиками Р~ (ро) и Рг(рз, 1). Формулу (6) перепишем в виде ~ — т гг(!в, () =~~(г)е дмй — ~ ((г) е ~"'пг. о о Правая часть этого равенства представляет собой разность двух текущих спектральных характеристик для функции 7(г). Обозначим этУ Разность чеРез ЛР~()в), тогда г"г()в, 1)=АР,()тв), или лгчм' '1 л~'(!'4 т = т Если выбрано значение Т достаточно малым, то будет справедлива приближенная формула Гг()ы, д)=т— дРс (!<о) (7) Глава ХП! ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ СПЕКТРАЛЪНОГО АНАЛИЗА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИИ й Зэ.
СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИС!ЕМАХ. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1. Преобразование линейной системой гармонического входного сигнала. Определение процесса регулирования. Рассмотрим линей- ную автоматическую систему, описываемую дифференциальцмм уравнением и-го порядка с постоянными коэффициентами: (аар" +ау"-'+...+а„во+а„) х(1) = =(Ь,Р-+Ь,Р-- ...+Ь„,Р+Ь.)Е(1). (1) Здесь х=х(!) — регулируемая величина; д=д(1) — управляющее л воздействие, приложенное к системе; р= — — оператор дифференш цирования.
Используя обозначения 17(р) =а,р" +а,р"-'+...+а„,р+а„, А4(р)=бр™'+б,р -'+...+б,р+б, (2) уравнение (1) удобно записать сокращенно в виде В(р) х(1) =М (р)л(!). (3) Передаточная функция автоматической системы (см. 3 15) по отношению к управляющему воздействию д(1) есть (4) Пусть воздействие д(1) = А, 91п м,! и требуется определить изменение х(1),в установившемся процессе. Заметим, что в результате приложения воздействия в системе возникаег переходный процесс, который с течением времени стре- мится к нулю, так как система предполагается устойчивой. Харак- тер протекания переходного процесса мы рассматривать не будем и предположим, что в интервале наблюдения ( — со, со) за уста- новившимся процессом переходная составляющая отклонения регулируемой величины пренебрежимо мала.
Подобный подход позволяет считать воздействие д(Г) заданным на всей оси времени (ие рассматривается начальный момент приложения к системе управляющего воздействия) и использовать полученное в $ 37 выражение (35) для спектральной характеристики синусоиды. Для определения характера изменения х(1) в установившемся процессе преобразуем обе части уравнения (1) по Фурье, при этом используем теорему 2 9 36. Имея в виду, что Р (а(1)) = ~ д(1)е-~"~б(, Р (х(1)) = ~ х(1)е 7 'б1, 74 получаем [аэ(/в)" +а1 (/в)"-'+...+аь т/в+а„»Х(х(1)» = =[Ьь(/в) +Ь,(/в) -'+...+Ь г/в+Ь,,) У [д (/)». (5) Введем обозначение Ф ( ° Я (х (1)) Ьо(!в) +Ь| (/в) 1+" ° +абаз-г (/в)+ Ьт (ц Я (Е(1Ц ао(/в)"+а!(ув)" г+...+а„г(/в)+а„' а также заметим, что в ссютветствии с формулой (35) $ 37 У [д(1)» = T [Ага(п вг/»= ! [б(в — вд) — 6(в+в!)].
1 Тогда спектральная характеристика вынужденных колебаний регулируемой величины определится из выражения (6) в виде г (~(1)»=Ф(/' ) — '." [5( — ) — 8( + )1. (7) 1 Из этого выражения видно, что спектральная характеристика сигнала на выходе системы в общем случае не совпадает со спектральной характеристикой сигнала на ее выходе. Функциональный множитель Ф (/в) учитывает изменение спектральной характеристики при прохождении воздействия д(1) через линейную динамическую систему. Представим комплексную функцию Ф (/в) в показательной форме Ф (/в) = ~ Ф (/в)» е1 а в(ко! (8) и найдем х(/) по формуле обратного преобразования Фурье: х(1) = — ~ У' (х(1)» ег"'г/в= — ~ Ф (/в) — ' [б (в — вг) — 6 (в+ в1)) е!"' г/в. / Используя фильтр ующее свойство дельта-функции, будем иметь с учетом равенства (8) следующее выражение для установившегося процесса х(1) на выходе системы: х (1) — 1 Ц Ф (/в ) ! е1авв(/ьа! 1,!ь~! 21 — » Ф ( — 1в,)» е1 "ав(-1" > е-1"*!».
Так как справедливы равенства (см. ~ 35) ~ Ф ( — /в,)» = 1Ф (1вг)», агд Ф ( — /вг) = — ага Ф (/вг), то получим х(1) = А(Ф(/в))[е/!ью1+авв(!вш е-!иьг+авв(/ва!» 21 =А!УФ(/вг)»э!в[в,/+агпФ(/в )). (9) Отсюда следует, что в установившемся режиме реакпия х(г) линейной автоматической системы на сннусоидальное воздействие является также синусоидой. Угловые частоты входного и выходного сигналов совпадают. Амплитуда синусоиды на выходе системы равна А, ~Ф()ю!)), а ее начальная фаза равна агдФ((то!). Если на вход линейной системы поступает периодическое СО воздействие в виде 7(г) )', Ааз(пйгогг, то, используя принцип «-! суперпозиции, справедливый для линейной системы, найдем, что в этом случае вынужденное установившееся движение системы определяется равенством ! х(7)= ~ Аа1Ф(уго))зш(йгог(+агдФ()со)1, (10) а-! причем величине го здесь следует придавать дискретные значения, т.
е. полагать, что го = ютй. Зная частотные спектры сигнала на входе системы, можно легко определить частотные спектры сигнала на выходе системы. Если, например, известен амплитудный частотный спектр А„ входного сигнала д(1), то очевидно, что амплитудный частотный спектр выходного сигнала есть Аа)Ф(ро,й) ~.
В рассматриваемых выражениях функция Ф ()го) характеризует динамические свойства самой автоматической системы и не зависит от характера приложенных к системе воздействий. Она легко может быть получена из передаточной функции системы (4); для этого следует в передаточной функции заменить р на )ю. Функция Ф ()со) от непрерывного аргумента го называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой сисп!емы по отношению к управляющему воздействию д((), приложенному к системе. Проводя параллель с терминологией электрических цепей, функцию Ф(!го) можно также назвать комплексной прово- 1 димостью (адмитанцем) системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
