Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если рд(~) характеризует, например, мгновенное значение напряжения, а )д(д) — мгновенное значение тока в электрической цепи, то произведение )д(с) р',(с) есть мгновенная мощность, а интеграл ~ гд(с)~д(с) с(с — энергия. Таким образом, зная спектральные характеристики Рд(~о) и Рд()о) соответственно напряжения и тока, можно с помощью формулы (23) вычислить энергию, выделяемую током за время — оо((<оо.
Получим формулу (23) в несколько ином виде. Пусть Рдело)=(Рд(/о)~ест с">, Р,( — )о)=)Рд( — !о)1е"Р*с д, где с срд (о) = агдРд (!о), ср, ( — о) = агц Р, ( — )о); тогда 1 Р, ()о) Р, ( — )о) = ! Рд ()о) ) ( Р, ()'о) ~ [соз ср, (о) + р'з! и ср, (о)) х х [сох срд (о) — )здпсрд (оЦ, так как модуль !Рд(уо)/ является четной, а аргумент ср,(о) — нечетной функцией относительно переменной о.
Отсюда следует, что — 1 Р.(/о)Р,( — 1о) ( =~ 1 ~Рд(!оИ~Рд()о)!х Х [соз срд (е)) соз срд (о) + здп срд (о) здп срд (о)) с(се + + ~ ~ ! Рд (/оИ !Рд()о) ~[з(псрд(о)созсрд(о) — сох срд(о)здпсрд(о))с(о. 54 Второе слагаемое в правой части этого равенства обращается в ноль, так как под знаком интеграла находится нечетная функ- ция относительно в. Подынтегральная функция под знаком пер- вого интеграла, наоборот, четная. Следовательно, 1 — ~ г", Цв) го ( — (в) й 1 = — „~ ~Г,Цв) ~~Г, Цв) ~соз~~р,(в) — <р,(в)~йо и формулу (23) можно записать в вещественной форме: 1ин,(ож= —,~~по.о~по.)~ ы > — м о~, оп Если положить ~„(1) = Д, (1) = р Я, то Р, Цв) = Г, Цв) = г Цв) и соотношение (24) превращается в равенство, называемое формулой l?арсееаля, ~ )т(1) Ж= — ~ ~РЦв) 1ойв. ОО о (25) 1Я=- ~ 1' (1 — т)1'о(т) йт, 00 (26) Применительно к задачам электрических цепей )(1) можно рассматривать как функцию, характеризующую изменение тока.
Тогда интеграл ~ )тЦ)а( является энергией, выделяемой током за время — со<1(со в цепи с единичным сопротивлением. Формула (25) в некотором смысле аналогична формуле (45) э 34, определяющей среднюю мощность сигнала. Величина — ~ г Цв) !о йв является энергией, выделяемой гармониками функции 1 (1), частоты которых расположены в полосе частот йв, содержащей частоту в. Функция — 1 Г Ц1о)), как показано ранее, характеризует отно- 1 сительные амплитуды гармоник представления функции 1 (1) в виде интеграла Фурье. Функция (Р(ро) 1' характеризует распределение энергии по частотам этих гармоник и может быть названа энергетической спектральной характеристикой непериодической функции Г(1)." 5.
Умножение спектральных характеристик. Спектральная характеристика произведения двух функций. Пусть заданы две функции ~1 (1) и ~о(1), определещ1ые в интервале — со(1 С со. Введем новую функцию которую назовем сверткой функций ~,(() и )з(г). Символически свертка 7 (() обозначается 1(1)=)'з(1) йей(1) (27) и читаетсЯ так: фУнкциЯ ),(1), свеРнУтаЯ с фУнкцией (з(1). Для получения свертки следует, как видно из (26), в функциЯх ~,(1) и 7з(1) заменить пеРеменнУю 1 на т; затем в фУнкции 7,(т) аргумент т заменить на — т; сместить функцию ~, ( — т) на величину г, т. е.
образовать функцию )з (г — т); перемножить функции ),(1 — т) и )з(т), а затем проинтегрировать получившееся произведение в интервале ( — со ~т ( оо). Совокупность этих операций называется свертыванием функций 7,(1) и )з(г). Основные свойства свертки функций 1. Свертывание обладает свойством коммутптивнссти, т.
е. 6 (О йЕ )з (() = 6 (1) йе )'г (1) (28) Доказательство. Требуется показать, что ~ 6 Р— т)Ь(т) с(т= ~ 6И вЂ” т)6(т)йт Сделаем в первом интеграле подстановку 1 в т=з1, тогда ~ 6(1 — т)Ь(т) йт= — ~ Ь(Ч)Ь(1 — з)) йЧ= ~ 1зР-з))6(Ч) йЧ. следовательно, равенство (28) справедливо. И Свойство коммутативности свертки имеет своим аналогом свойство коммутатнвности умножения двух чисел а и Ь, в силу которого аЬ=Ьа. Если имеются три числа а, Ь и с, то операция умножения этих чисел обладает, как известно, свойством ассоциативности, т.
е. (аЬ)с=а(Ьс). Аналогичное свойство имеет и операция свертывания. 2. Свертывание обладает свойством ассоциативности, т. е. ~Уз (1) йе ~з ((Н Ж-)з (1) = ~з (1) йе Уз (1) Ф)з (1)1. (29) Дока вате л ь ство. Положим ~ Ь(( — т)Ь(т)йт=аЯ, ~ Ь(( — т)Ь(т)йт=й(() Свойство (29) будет доказано, если удастся установить справедливость равенства м 1 ~ й'(( т))з(т)йт= ~ 6(1-т)Ь(т)йт, В правую часть очевидного равенства 1а~~-)ы)~-1[1ь(- -чь(в~~)ь и введем новую переменную у=1+с, тогда 1 и — 'и' ь)~-1 ! Гу Ф вЂ” вь(1 — ~а+()~- О) -сс1 — сп =Хь( — 7)[5 Р ( — )ьы 1А-1ье — )ьыь.
Так как значение интеграла не зависит от наименования переменной интегрирования, то правая часть этого равенства совпадает с правой частью равенства (ЗО). И 3. Свертывание обладает свойством дистрибутивности относительно сложения, т. е. [ (() +У Р)+[ У)]=),(() йь[ Р)+У~) йь[ (г), (ЗЦ Доказательство. Имеем ~1 (( т) [~е (т) + ~8 (т)] с(т = ~ )1(( — т)1е(т) «т+ ~ 6(( — т)~ь(т) йт. Следовательно, равенство (31) справедливо.
° Дистрибутивность свертки является аналогом дистрибутивно. сти произведения чисел, т. е. а(Ь+с) =аЬ+ас. Таким образом, свертка имеет те же свойства, что и произведение чисел. Если функции [,Я=О при ~(0, [,(0=0 при Е .-О, то [,(т)=0 при т(0, [,( — т) =0 при т~О и ),(~ — т) =0 при т В этом случае свертка функций ~, (~) и [, (~) определяется равенством [(() =~6(( — т)6(т) дт. (32) о Символическая запись (27) операции свертывания при этом не изменяется.
Следующая теорема позволяет найти спектральную характеристику свертки двух функций. Теорема 8. Если функции [,(1) и [,(() преобрпзуемы по Фурье и их спектральные хараюиеристики есть соответственно Г,((ы) и Р,(пь), то спектральная характеристика свертки определяется равенством е(1 я — )ьы+~ е ~ке.~. (ЗЗ) г(1///- /ь//а[-1[1/ь- /ы/ ~г "и- -1/.//[1//-)-" /(" Введем новую переменную 1 — т=т1, тогда ' / - (1 ы~- //.//~[=1/,//[1/,ы "~и] -" ~.. Так каи по условию теоремы ~ ~,(т)е-/"'/(т=Р,()ы), ) Яч) е-/мчг)т1=Р,Оы), ~(1 ье- //*/.и.[=к//./г,//./. ° Из доказанной теоремы, как следствие, получим, что обратное преобразование Фурье произведения Рг ((/ь) Р, ()/ь) спектральных характеристик определяется равенством г ~(Р/(у/ь)Р ((/ь))= ~ (/(г-т)й/(т)/(т. (34) Если ~/(г) = — О при /~О и ~5 (т) — = О при г с.О, то формулы (33) и (34) соответственно приобретают внд ;/ */'(1/ //- // (/~ [-Р // )к// ) о (зб) У '(Р/Оы)Р ОыИ=~Ь(~ — т)6(т) с(т о (3б) Докажем теперь теорему, позволяющую определять спектральную характеристику произведения двух функций.
Теорема 9. Если функции ),(/) и Гь(() преобразуемы по Фурье и ик спектралы(ые характеристики есть соответственно Р,((в) 58 Доказательство. По условию теоремы, функции ~, Щ и ~, (() преобразуемы по Фурье; поэтому интеграл г (1) = ~ ~/(1 — т) М х~ь(т) с(т также преобразуем по Фурье. Найдем спектральную характеристику У'(1(Г)). Имеем в соответствии с равенством ()) и Ре((ы), пю спектральная характеристика произеедения ~,(1)~я(1) дается равенством Р'У,(()~,(1)) =-'- ~ Р,(1( — ))Р,(1 )д .
(ЗУ) Доказательство. По теореме Парсеваля имеем ~ ~,(1)д(1) й= — „~ Г,(~в) 6( — 1го) д1о; здесь 6()1о) = ~ д(1)е-/"'д1. СО $ Пусть функция а (() определена в виде д(() =), (() е-~"'. Тогда 'в соответствии с равенством (20) имеем 6(в)=Р,(у(в-(-ы)); сле- довательио, 1 г 2 3 '(Ро) ( Ро) "а'=з„~ "е((и)Р1(1(ы — й)) 1а, 1 или ) (ь(1)Ы(1)а(= '1 6(1)1е Яен "с((=Х(1, (1) г,(1)) г = Ы ~ Р.((( — )) Р.(!ю) д .
а Интеграл в правой части равенства (37) является сверткой спектральиых характеристик Р, (1м) и Р,(/а)„ Из последних двух теорем следует, что спектральная характеристика свертки равна произведению спектральных характеристик р,(/ы)Р,(1в) свертываемых функций, а свертка спектральиых характеристик соответствует произведеиию функций 11 (1) ~, (1). й ат. спиктвдльнык хлвдктввистики нвкоторых функций 1. Единичная ступеичатая фуикция. Дельта-функция. В ~ 16 в качестве воздействия, прикладываемого к автоматической .системе, рассматривалось воздействие вида ( 0 при 1СО, 11 1 при (~0. Функция 1 (1) называется единичной ступенчатой функцией, а функция ( 0 при 8<т, ~1 при 1> (2) — смещенной еоинпчной ступенчатой функ!(ней (рис.
106, а, б). Из представления (1) следует, что единичная ступенчатая функция имеет при 1=0 разрыв непрерывности первого рода, причем значение функции в точке разрыва не определено. Однако еди- йу Рис 106 ничиым ступенчатым функциям в ряде случаев приписывают при (=0 вполне определенные значения; наиболее часто встречаются функции следующего вида: 1 при 1»0„ ! при 1= О, 0 при 1<0, 1 (1) = (3) ( 1 при 1)0, (4) ( 1 при 1)0, (5) 1„ Выбор того или иного значения единичной ступенчатой функ- ции при ! =0 связан с особенностями решаемой задачи.
Напри- мер, представление (3) (рис. 107, а) удобно в том случае, когда Рис. 107 рассматривают функцию' 1(1) как предел при Х-~со последовательности непрерывных функций 1 ((~ е) = з + — агс(й е,е, 1 1 (6) где Л является параметром (рис. 107, б), т. е.
1(1)=!пп 7'(1, Л). ь с» При этом следует принимать во внимание лишь главные значения многозначной функции (6), т. е. значения, принадлежащие интервалу — — ( агс1д Л»' (--. Последовательность непрерывных функций Г(1, Л) =— 1 1+с-и (7) при Л вЂ” » со также имеет своим пределом функцию (3).
Если в качестве последовательности непрерывных функций принять последовательность Г(1, Л)=а (0(а(1), то предел этой последовательности / 1 при 1)0, 1 0 при 1(0. 1пп 1(1, Л) = (0 при (чьО, б(1) =~ 1со при 1=0, (9) причем б (1) с(1 = 1. (10) Условия (9) и (10) оказываются несовместимыми, если рассматривать их с позиций классического математического анализа, и поэтому дельта-функция не является «функцией» в обычном смысле. Однако в классе обобщенных функций «) дельта-функция занимает равноправное место. Дельта-функция обычно рассматривается как предел последовательностей дельта-образных гладких (нмекацих производные *) См., например: Гельфанд И. М., Шилов Г.
Ц. Обобщенные функции и действия над ними. Фнаматгиа, 1%6, а также Роаенфел ьд А.С., и хин«он Б. И. Переходные процессы и обобщенные функции. «Наука», 1966. При 1=0 предел последовательности (8) равен а, т. е. значение функции 1(1) при 1=-0 может быть любым, принадлежащим интервалу 0<а<1. Таким образом, различные аппроксимирующие последовательности непрерывных функций приводят к различным значениям функции 1 (1) при 1 =- О. К категории особых функций относится дельта-функ»)ия Дирана, называемая также импульсивной 4уннг(ией первого порядка. Дельта-функция определяется равенством любого порядка) функций. Например, последовательность функций Л 16 ((~ Ц = п(1 ! УР) (11) являющихся производными по 1 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
