Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(41) 28 В формулах (34) н (40) суммирование производится как по положительным, так и по отрицательным значениям /е; таким образом, комплексная форма ряда Фурье допускает существование и положительных и отрицательных частот ее=й бее. Однако после суммирования комплексных слагаемых останутся только вещественные величины, так как комплексные коэффициенты се и с „являются сопряженными. 6. Понятие о спектрах. Введем определение, Совокупности коэффициентов ае, Ье (й = 1, 2, ...) разложения периодической функции /(1) в ряд Фурье наэывшотся частотными спе трали этой функции.
Из формул (13) и (14) видно, что а»=а»(й), Ь»=Ь»(й), если функция )' (1) имеет период 2п. Если же период функции равен Т, то а»=а» (йЛсо), Ь»=Ь» (йЬсо). Здесь частота первой гармоники 2»т Лсо= —. Следовательно, спектры являются функциями, зависящими от номера гармоники Ь как независимой переменной. Графически частотные спектры удобно изображать в виде отрезков длины а», Ьы проведенных перпендикулярно оси, на которую наносятся значения й или Лсой. Так как й=1, 2, ..., то очевидно, что частотные спектры имеют дискретный (разрывный) характер. Расстояние между отдельными линиями спектра в общем случае равно Ьсо.
Если период функции 1(1) равен 2п, то расстояние между линиями равно единице. Совокупность комплексных чисел С» = 2сы определяемая для функции )(г) с периодом Т формулой (38), а для функции 1(1) с периодом 2п — формулой (41), называется комплексным амплитудным частотным спектром; совокупности (15) величин А» = = А»(йбсо) и ср»=ср»(кЛса) (/г=1, 2, ...) называются соответственно амплитудным и фазсвым частотными спектрами периодической функции 1(т), Для четной функции )(1) Ь»=О„ а для нечетной функции а»=О. Следовательно, амплитудный и фазовый частотные спектры четной периодической функции А»=~а» ~, ~р»=О, а для нечетной периодической функции А»= ~Ь» ~, <р»=-2. Спектры А» и ~р» также удобно графически изображать в виде отдельных линий.
В п. 5 отмечалось, что число Ь может принимать как положительные, так и отрицательные значения,позтому графики спектров А» и ф» имеют смысл и при положительных, н при отрицательных частотах со=нЛсо. Из равенства (35) имеем ь» А»= 2 ~ с» ~, тр» = — агпс» = агс1п — ». а» Отсюда полУчим, что Аы»~=А 1»ь ~Р+~»~= — сР ~»ь т. е. амплитудный частотный спектр является четко-симметричной, а фазовый частотный спектр — нечетно-симметричной функцией частоты со. Таким образом, при определении спектров можно не строить тогда, когда в атом нет необходимости, графики спектров при1 .+.ЬЛсо, а достаточно изобразить лишь половину спектра при~ Ьбсо)О.
Пример 6, Определить частотные спектры периодической функции а при 0(т(п, Ю= — а при п(1(2п. Заданная функция имеет аначенир ко»ффициентов раэложения ев в ряд 4а Фурье (см. пример 1): Ь»=О при » четном, Ь»= — при » нечетном; а»=О. Так как функция /(11 является нечетной, то амплитудный частотный спектр Аа=Ьа, а фазовый частотный спектр <ра= —. На рис.
98, о, б изображены я 2' ляпин частотных спектров Ьа=Аа а фа. Рис. 98 Пример 7. Найти частотные спектры периодической последовательности импульсов высотой А„, длительностью т„и периодом Т (рис, 99) Функция г Аи прн 1(г) = 0 при — "~Г~Т вЂ” —" характеризующая заданную последовательность импульсов, яв. ляется функцией четной, йоэтому коэффициентов аа. Рис; 99 Ьа= О. Найдем значения ти т —— 2 ~г)т=т ~ А й т(г) ти 2'1и 2п ' 2~(э йптэ — А соз й — Г АГ= —" эю Ь вЂ” Г = —" оп —" т~" Т =нй Т 1о=Ы Т". 2п 2Аэ, й Ьытр Так как Лы — то аа= — "мп " (Ь=О, 1, 2, ...); имеем Т' нй 2 2Ая йытэ ' й Мыта Аи быти 2Аэти Цщяа 0 19пп Пю и эсоз и и и э и а с а о о и 2 2 и Т На рнс.
!00, а изображены линии частотного спектра аа аа (й йо), а на рнс. 100, б — линии амплитудного частотного спектра А» ) ад ). Так как функция ((1) четная, то фазовый частотный спектр <ра О, Рид Фурье дла рассматриваемой последовательности импульсов можно записать в комплексной форме так: слега аьи е а1п к аы аеи А м~ 1 . А а(от 2 Отметим, что между периодическими функциями и их частотными спектрами существует взаимно-однозначное соответствие: периодическая функция ~(г) полностью определяет ее частотные спектры, и, наоборот, зная частотные спектры, можно указать, какой периодической функции они принадлежат. Благодаря этому соответствию в ряде задач техники оказывается удобным операции над периодическими процессами заменять операциями над Рис.
100 частотными спектрами, характеризующими эти процессы. Спектры полностью информируют о том, какого рода колебания имеют место в данном процессе, какова его структура. Предположим, например, что функция 1(1) характеризует собой ток, протекающий в электрической цепи, активное сопротивление которой равно 1 ому. Найдем среднюю мощность„выделяемую током в этой цепи за время 0(г(Т, выразив ее через коэффициенты разложения функции ((г) в ряд Фурье. Так как (а(1) является мгновенной мощностью, выделяемой током в момент времени 1, то средняя мощность будет (42) Для определения Р,в используем равенство Ляпунова (18), которое для интервала 0(1(Т имеет вид причем а„аы Ьэ могут быть определены в соответствии с ра- венствами (27) — (29).
Тогда р~='-4'-+ 2 ~~~ (о)+а е=! (44) или, учитывая равенство (15), )эсР— — А',+ 2 ~ А,'. э=! (45) Правая часть этого равенства дает представление о распределении составляющих средней мощности по гармоникам разложения функции 7(~) в интервале (О, Т) в ряд Фурье. Следовательно, средняя мощность тока, а в общем случае сигнала 7((), равна сумме средних значений мощностей всех частотных компонент. Совокупность значений Ай (й= О, 1, 2, ...) может быть названа энергетическим спектром периодической функции 7(г). График энергетического спектра также состоит из отдельных линий, длина которых зависит от номера л гармоник разложения функции )(1) в ряд Фурье.
'Из выражения (45) следует, что в образовании энергетического спектра участвуют лишь амплитуды Аэ гармоник и не участвуют начальные фазы «р„. й зв. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Пг)=2 Х~, ' 7г+о "" — г) аэ %~( 2а 2а е-1 1. Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье. Для разложения функции 7(г) в ряд Фурье на всей оси 0~ необходимо, чтобы эта функция была периодической. При представлении функции, заданной в некотором интервале ( — Т72, Т72), в виде ряда Фурье функция периодически продолжается с периодом Т за пределы интервала ( — Тй, Т/2).
В этом случае получающаяся периодическая функция представляется в виде бесконечной суммы гармонических составляющих — гармоник. Установим, как будет изменяться разложение периодической функции на сумму гармоник, если период Т функции увеличивать, устремляя его к бесконечности. Пусть дана непериодическая функция ) (1), удовлетворяющая в интервале ( — Т/2, Т/2) условиям Дирихле, т. е. разложение функции в ряд Фурье в этом интервале возможно. В точках интервала, где функция ) (() непрерывна, она может быть представлена в виде ряда Фурье причем коэффициенты разложения здесь Тв/2 «!о = / (т) «(та г о — т — /2 Т/2 а„=т ~ 1(т)со" т'"' ('='' ".) 2 Г 2«« — 1/2 Т/2 1/в=-т- ~ ~(т)21пй — т«(т (А- 1, 2, ...). 2 Г .
2«е т — Т/2 Предположим также, что заданная функция удовлетворяет на всей оси О! условию абсолютной интегрируемости, т. е. интеграл ! / (!) ( «1« = /И < со существует. Подставим в ряд (1) выражения для коэффициентов а„ад, Ьв: « Т/2 Т/2 т(/) = — 1 )(т) «1т+ — ~~1, 1 /(т) ~сот/2 — 1соз/« — т+ -22'/2 ° о - « — !'/2 Т/2 + 21п /« — « 21п /« — т1 «(т = — ~ / (т) «(т + гя . гя т 1 -У/2 / ео Т/2 +т ~~ ~ Г(т)соз йй«о(! — т)«(т.
(6) В=! — У/2 Оценим модуль первого слагаемого правой части равенства (6) при Т-е.оо. Так как Т/2 т(2 еа т ~ / (т) «~т ~ т ~ )) ('И ~т '- т ) !/ (т) !«'т т ~' /2 /2 ее то первое слагаемее правой части стремится к нулю. При Т-~со частота первой гармоники разложения функции гп ((/) в ряд Фурье «2«о= — -«О. Однако величина йо является прит Я в/р. Чевовввова В. К„е, 2 ращением частоты при переходе в сбвокупности частот гармоник 1бго, 26!о, Занге, ... от одной частоты к соседней. При Т-з.со .приращение частоты становится величиной бесконечно малой, и в атом случае приращение Йз можно отождествить с дифферен, циалом Йе. Обозначим через гз частоту А-й гармоники, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
