Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Знвчення начальных фез для всех гармоник и разложения р»= —. 2' Пусть функция /(1) задана на интервале ( — и, и) и допускает на этом интервале разложение в ряд Фурье. Это значит, что тригонометрический ряд (6) с коэффициентами ае, аю Ь», определенными по формулам (9) — (11), сходится к функции /(1). При бЯ этом функция / (1) может быть ! непериодической. Разложениее подобной функции в ряд г -=- Фурье на интервале ( — и, и) означает что функция / (1) !.
периодически продолжена вне интервала ( — и, п) (рис. 91) на всю ось 01. Функция, Рнс. 91 получившаяся в результате продолжения функции 1(1), будет периодической функцией с периодом 2тт; на интервале ( — и, п) эта новая функция совпадает с функцией 1(1). Гармоники полученной периодической функции, суммируясь в интервале ( — и, и), составляют значения заданной функции / (1). Таким образом, в виде суммы гармонических составляющих может быть представлена не только периодическая функция, допускающая разложение в ряд Фурье. Ряд Фурье для непериодической функции /(1), заданной в интервале ( — ц, п), совпадает с рядом Фурье для функции, периодически продолженной на всю ось 01. Очевидно, что при изучении вопроса о сходимости ряда Фурье для функции /(1) можно ограничиться рассмотрением сходимости ряда Фурье, составленного для периодической функции.
Рис. 92 Пример 2. Разложить в ряд Фурье в интервале ( — и, н) функцию /1/) = ) 1( (рис, 92). Заданная функция не является периодической, поэтому рвзложить ее в ряд Фурье нв всей осн 01 не предсгевляется возможным. Для рвзложения функции в интерввве ( — и, и) продолжим ее периодически с периодом 2п вне интервала ( — и, и) (пунктирнея помни»и линия не рис, 92). Представим в виде ряда Фурье образовавшуюся периодическую функцию, которая в интервале ( — и, и) совпадает с заданной фуннцией.
Заданная функция является четной, т. е. ба=о, и определению подлежат козффицненты а, и пз. Учитывая формулы (12) и (13), найдем: 2 Г "0= —,, о и и оз= — 1созМсЫ= — ( — а1пИ ~ — — з)пИог)' п)й !и 2( 1 1 ( 2 ( О при четном А, — ( — оси Ап — 1 = — 1- 1( — 1)з — 11= 4 п) йа йз 1 пй ~ — — при нечетном А.
Следовательно, в интервале ( — и, я) будет разложение и 4 /соз1 соззт созИ1 111= — — — 1 — + — + — ~ ( — я~1~я). 2 я 1 1з Зз йз ) Вне интервала ( — и, и) сумма ряда не будет совпадать с ааданной функцией. Отметим, что в формулах (12) — (14) интегрирование производится в пределах от 0 до и, поэтому при вычислениях коэффициентов а„аз, Ьа нет необходимости строить график периодически продолженной функции. При разложении периодических функций на сумму гармоник, необходимом при решении многих задач техники, обычно ограничиваются несколькими первыми гармониками, а остальные отбрасываются. В этом случае представление. функции с помощью гармонических составляющих производится с точностью, зависящей от числа отброшенных членов тригонометрического ряда.
Приближенно представляя функцию ((1) с помощью тригонометрического многочлена вида я в(1)= 2 +,'~ (а озМ+().к)пЮ а-з можно получить ббльшую или меньшую ошибку представления в зависимости от способа выбора коэффициентов многочлена и„, ад, рз. Оценить величину ошибки наиболее удобно с помощью средней квадратической погрешности 6„, определяемой для периодической с периодом 2п функции ((1) равенством я 1 л )з бп = 2 ~ 1 (г) 2 ~ ~(иа соз И+()ь зш И) Й. (16) — и а — 1 Ответ на вопрос, при каких условиях величина Ь„имеет минимальное значение, дает следующая теорема: Теорема 1.
Средняя квадратическая погрешность приближенного представления функции 1(1) с помощью тригонометрического 11 многочлена порядка и будет ниименвшей, если ковффициентами етого многгнлена являются коэффициенты Фурье функции 1(1). Доказательство. Возведем сумму членов, сгояших под знаком фигурных скобок в равенстве (16), в квадрат и проинтегрируем получившийся результат почленно: к л !!-2!я( — '--! л ( и-!-! ! !ь)-!- — н в=! и 1Ч + ~ з- + ~~ (ав соз И+ 1!в з!и И~~ ~ й = ь=! = — 1 1'(1) й — — 1 1 Т й — —,~ а.
~ '1 Я .И й+ г оь à — з з. 3 и — я и в л 3$ л к + — ~~ йь ') ~(1) ыпИй+ — — ' ~ й+ з — ~~ «4 ~ соз'Ий+ д ь=! — д + — ~~ 13ь ~ ып'И й+ — аь ~1~ аь ~ соз И й+ в=! в=! — л $ я в в к + — а, ~~ рь ~ ыпИй+ — ~ ~~ а„а, ~ созИ сов((й+ ь=! — н в=! 1=! -я ьф! + — ав ~ ~! аф, ~ соз И ып И й+ ь=! 1= ! — я н л я + — ~~ ~~ ~4~! ~ ыпИыпйй. в=! 1=! — к ьв:1~ Рассмотрим слагаемые в правой части этого равенства.
Учитывая формулы 19) — (11), найдем, что — ~ 1(1)й=ов, — „~ 1(1)созИй=а„; — „~ 1" (1)з(пИй=й„, 1 !' 1 Г г т. е. полученные выражения являются козффициентами Фурье для функции Г'(1). Имеем ~ соззИй=п, ~ зш'Ий=и. Принимая во внимание свойство ортогональности семейства функций(8) на интервале( — и, и), также получим ~ зшя(соз((д(=0; кроме того при АФ1 ~ созй1соз1гй=О, ) з1пЫз)п 1гй=О.
Следовательно, выражение для квадрата средней квадратической погрешности можно записать теперь в виде Я л М = — ~ !!д (Г) Ж вЂ” — — ~ (с!дед+ дгдЬд) + -л д=! Л + 2 + 2 ~~'„(адд+Рдд). В правой части этого равенства прибавим и вычтем сумму 4 + 2,~ (а'+Ьд): д=! н л 2я,) ~ () 4 2 л~~ (ед+Ьд)+ 4 (с~д ое) + П д=! + ~,~ Нсдд — е!д)'+Фд — Ьд)Ч ~ !г (1) !11~ 2 + ~, (ад+Ьд).
и д-! (17) Убедимся в справедливости этого соотношения. Наименьшая величина квадрата средней квадратической погрешности есть 6~ = — ) !д(1) й — — ' — — ~) (одд+Ьдд'), — и д=! поэтому при любом п имеем Я л 2,) ~'(~) !1'» 4 + 2 ~~1~ (а',+Ьд)! н д ! так как 6„')О. 13 От величин ад и рд зависят лишь три последних неотрицательных слагаемых правой части этого равенства, поэтому наименьшее значение величина 6„' будет иметь в том случае, когда указанные слагаемые обратятся в ноль, т. е. при ад=ад и рд=Ьд.
И Из доказанной теоремы можно получить соотношение, называемое неравенством Бесселя Во всех предыдущих рассуждениях предполагалось, что существуют интегралы, используемые при вычислениях коэффициентов Фурье, а также что существует интеграл от квадрата функции (((). При выполнении этих предположений левая часть последнего соотношения является определенным положительным числом и, следовательно, при и — «оо бесконечный ряд в правой части того же соотношения будет сходящимся. Отсюда вытекает справедливость неравенства Бесселя. А.
М. Ляпуновым было установлено, что для всякой функции )'(1) с интегрируемым квадратом средняя квадратическая погрешность Ьл-о О при и-«оо. Неравенство (17) в этом случае дает соотношение, называемое равенствол! Ляпунова: л со — ' ~ р()) й(= —' ;+ '~" (ае+Ьт) я е=! (18) э + ~~~~ (а созяЛот(+ЬазшяЛШ) а=! будет сходиться и его сумма будет равна функции )(О лишь в том случае, если наложить на эту функцию определенные ограничивающие условии.
При решении вопроса о сходимости ряда потребуется прежде всего интегральная формула, дающая выражение для частичной *' Фунипия 7(!) называется кусочно-лелрерывнлй а интервале (а, Ь), если она имеет в атом интервале конечное число точек разрыва непрерывности первого рода. (4 Следующая теорема устанавливает еще одно свойство коэффициентов ряда Фурье. Теорема 2. Коэффициенты Фурье асл Ь„для любой непрерывной или кусочно-непрерывной в инпмрвале ( — и, и) функции ((() стремятея к нулю при п-«оо, т. е. 1пп ил=О, 1пп Ьл=О. л со л со Дока з а те лье тв о.
По условию теоремы, функция 7 (г) в интервале ( — и, и) непрерывна или кусочно-непрерывна л>, поэтому квадрат этой функции интегрируем, т. е. существует интеграл ) (ч(()аг. При этом бесконечный ряд в правой части соотношения (17) будет сходящимся. Следовательно, общий член этого ряда (ае+ Ьа) будет стремиться к нулю при безграничном удалении от начала ряда. Однако это возможно лишь при 1пп а„= О, л со 1(ш Ьл=о. И л со 2. Сходимость ряда Фурье. Рассмотрим, какие периодические функции ~(О могут быть разложены на гармоники, т. е. представлены в виде ряда Фурье. Ряд Фурье в е / и з„(1) = — ~ 1(т) с]т+ — ~, ~ Г(!) созй] созйтс]т+ и а ! и и Г л + ~ )(т)з!пНз!пате]т = — ]'(т) — + ~' (созМсозйт+ и — и .
а=! Г л +е.е ! зч1! =-, ! !м~т!- ~ и -о]е. -л а=! Рассмотрим сумму, стоящую в квадратных скобках. Так как в 1 — -]. У соз й (т — 1) представляет собой действительную часть 2 л=! выражения '~)) а! -о 2 ч! ага!т-г! 2 лм 2 а=! 1 е/!л+и ~т-ь + ]! — еи.+и!с-!)] ]1 — е-д~ц!] ] 1 — е! 'т !' ]з 1 1 — е )!т-и+е)л!т !' — е!!"!о <с г' е)<т-г! — + 2 (1 — ам(т 1)]з ].апз(т 1 у 2 — + ~~ соз А (и — !) = Ке — + т' е!а!т-т! ~ 2 з ! и-! 1 1 — сов (т — Г)+гхв п(т — !) — сов (л-]- «(т-Г) 2 + 2 ]1 — соз (т — Г)] ч — ! соз л (т — !) — соз (л+ «(т — т) мп(2п+ «вЂ” 2 2]1 — сов (т-!)] 2 мп— 2 ч' В формулах для аа и Ьа взята в качестве переменной интегрирования е вместо й так как при использовании в качестве переменной ! после подстановки аа и Ьа в формулу для з„(!) ие будет различия между переменной интегрирования и аргументом ! как независимой координатой.
16 суммы ряда Фурье. Получим эту формулу. Пусть имеем периодическую с периодом 2п функцию Г(!). Для такой функции и-я е частичная сумма будет и„(!)= — + ~~) (аасозИ+Ьаз]пй!), прил ! 1 С" 1 С чем аа = — ~ Г (т) соз йт с]т, Ьа = — ~ ! (т) з]п йт с]т. Подставим выражения аа и Ьа в формулу для з„(1) е1: Теперь частичную сумму з„(1) можно записать в виде 1 Ип (2п+1)— з„(1)= — ~ 1(т) 2 2 2 в!и— Произведем в интеграле замену переменного, положив 1 — тоо и: в!и( + !)и з„(1) = — ~ ! (8+и) йи. -и-! 2нп 2 Подынтегральная функция (по переменной и) является периодической с периодом 2п, а интервал интегрирования ( — и — 1, +и — 1) имеет длину 2п, поэтому величина интеграла не изменится, если взять другой интервал интегрирования, например ( — и, и), имеющий длину 2н.
Тогда выражение для и-й чзстичной суммы можно представить в виде и Ип (и+ — ) и .(О=-„' ~~(1+ ) (19) 2 взс— Полученная формула называется интегральной форлулой Дирихле. Эта формула необходима для установления условий, при которых ряд Фурье для функции ~(1) будет сходящимся к этой функции. Пусть ~(4 в = 1 в интервале ( — л, и); в этом случае а,=2, ад=О, Ьв=О ()с=1, 2, ...)„т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
