Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пример 7. дана функция 1[л]=е а!л1, где и=О, -!- 1. ча2„..., "а~ 0 л — 1 Найти сумму Р [и1= ~ е й= — сю Выполним суммирование по отдельности для положительных и отрицательных значений аргумента л! и-1 Р [и] ~~) Ф"~ ~~ е "й й — 1 й-1 1 — е а" Рй [и] !) е ай 1-е" ' й о Для положительных значений л найдем 1 — е '"" е " 1+е "(1 — е»<и-и) Р[и)=У+[и]+Р [л]= ' + —, (20) Для отрицательных заачеций и имеем л-1 еа <И-1~ Р [л) 1) еай ~)~ е-ай— 1 — ел' Пример а. Для решетчатой функции 1[л)=п, где л принимает значения О, 1, 2, ..., найти первообразную Р [л].
Имеем л — 1 Р [и) = 7 й — и — л'з' (л — 1)л ! 2 а о (28) 173 Пример а. Задана функция )[и)=е "": а)0 (и=О, 1. 2, ...). Найти сумму Р[и). Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, получим л-1 г-сси Р 1л] ~~ е "" (25) й=е Пример 9. Пусть ([и)=из (л=О, 1, 2....) Найти первоабразную:. ч — ! с[ля нахождения суммы Г[и) ~ йз воспользуемся определением верное=а образной, в соответствии с которым имеем ЛГ[и)=[[и[=из. Будем искать функцию Г[и[, удовлетворяю!цую этому условию Вычислим разности: Лаз = (л+ 1)з — гР = из+ Зиз+ Зл+ 1 — и' = Зиз-[- Зп+ 1, ЛгР 2п+ 1, Лп = 1. Выразим из этих равенств функцию л' через первые разности! я 1 1 1 (1, !1 1 ла — Лиз — л — — — Ллз — ~ — Лиз — — ~ —— 3 3 3 '[й 2/ 3' !1 ! 1 1 Л [ — гР— — лз — — п+ — и '!3 2 3 +2 /' откуда определим 1 1 1 1 Г [п[= — лч — — гР— — п+ и+с.
3 2 3 2 Постоянную с найдем из условия Г [![=О: ! ! 1 ! О= — — -- — -- + --+с; с=о. 3 2 3 2 Искомая сумма определяется формулой 1 1 ! 1 Г [л[ — из — — пз †. — п+ — и = 3 2 3 ! ! 1 — (г!з — 1) и — — и (п — ! ! - — л (и — 1) (2л — 1). 3 2 6 Пример 1О. Найти двойную сумму и†!и†! и†! и — ! Г[ [= 1) У'1= ~~) '" ')~=-'- '[) (й — й). а=о(=о Воспользуемся результатами примеров В и 9: 1!1 1 Г [п) — !( — и (п — !) (2л — !) — — и (и — 1) 2 (6 2 ! 1 = — -и (п — 1) (и — 2)= — иса! 6 3! (32) 124 Выполнял аналогичные выкладки, можно получить формулу для суммы произвольной кратности и! и — ! е.— ! а;! а =о а,=о а =о Понятие разности и суммы вводятся без изменения и для смещенных решетчатых функций; в этом случае Ь[[п, е)=([п+1, е) — [[и, е1, и†! Р[п е)= )' [[А, е1. ' (33) а=о 5 49. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1.
Основные понятия и определения. Всякое соотношение, связывающее решетчатую функцию х[п] и ее разности до некоторого порядка й: Ф[п, х[п]„Лх[п], ..., Лех[пД=-О, (1) называется разноетным уравнением. Используя формулу (6) $ 48, соотношение (!) можно преобразовать к виду Ф,[п, х[п), х[а+ Ц, х[п+2), ..., х[п+йД = О. (2) Например, линейное разностное уравнение а,йех[п)+агй'х[п]+о Лх(п)+аех[п]=][п), (3) где 7[п) — заданнаЯ РешетчатаЯ фУнкциЯ; а„ам ае, а,— постоанные коэффициенты, можно преобразовать следующим образом: а,(х[п+3) — Зх[п+2]+Зх[п+ Ц вЂ” х[п])+а, (х[п+2]— — 2х[п+ Ц+х[п))+ах (х[п+ Ц вЂ” х[п])+аех[а]=7[а], или после группировки х[п+3)а,+х[п+2) (а,— За)+х[п+ Ц(Зае — 2а,+а )-1- +к [а) (аа — ах+ах — ао) =Цп).
(4) Если соотношение (2) содержит в явном виде функции х[п) и х[п+й], то исходное разпостное уравнение (1) называется уравнением порядка й. В процессе приведения уравнения (1) к виду (2) функции х[п] могут взаимно уничтожиться; при этом получается разностное уравнение вида Фе[п, х[п+Ц, х[п+2), ..., к[а+АД=О. (5) Если заменить переменную и по формуле т=п+1, то получится Ф,[т — 1, х[т), ..., х[т+*и — 1Д=О. (6) Это уравнение является, согласно принятому определению, разносгным уравнением порядка й — 1.
При переходе от разностей решетчатых функций к самим решетчатым функциям могут взаимно уничтожиться не только функции х[п], но также и функции х[а+ Ц, ..., х[п+1] (1 (й). Если заменить переменную по формуле т=п+1+1, то в этом случае получится разностное уравнение порядка й — 1 в 1. Таким образом, порядок разностного уравнения может отличаться от порядка старшей разности. Рассмотрим в качестве примера уравнение Аех [и) + Кех [и]+ 2Ьх [и]+ 2х [и] = 7". [п]. (7) 175 В соответствии с формулой (б) З 48 его можно преобразовать к виду х[п+3] — 2х[п+2]+Зх[п+ Ц=Цп]. (8) Введем новую переменную т=п+1, тогда получим х[т+2] — 2х[т+ Ц+Зх[т]=[[т — Ц. (9) Таким образом, уравнение (7) является уравнением второго порядка, несмотря на то что оно содержит разность третьего порядка. Решетчатая функция х[п], которая обращает уравнение в тождество, называется решением разностного ураенения.
Решение определяется наиболее просто, если разностное уравнение порядка й можно разрешить относительно функции х[п+'и], т. е. представить в виде к[п+й]=Р[п, х[п], х[п+Ц, ..., х[п+й — Ц]. (10) Относительно функции Е[п, у„у„..., уе] будем предполагать, что она определена при всех вещественных значениях своих аргументов п, у,, у„:... уы ограничена и однозначна.
Зададим й начальных условий при некотором значении аргумента и= и;. к[па]=х„х[п,+ Ц=кз, .... к[не+А — Ц=хз ь Соотношение (10) определяет по заданным начальным условиям значение решения при п=пе+и. Используя значение х[п~+7г], вычислим последовательно х [по+ А+ Ц, х [по+ й+2] и все остальные значения решения х[п] при п)п,+А. Итак, решение х[п] разностного уравнения (10) определяется единственным образом в функции от й начальных условий: х[п]=$[п, хо. х„..., хк 1]. (11) Рассматривая всевозможные начальные условия, мы получим оби1ее решение уравнения (10) как функцию 7г произвольных постоянных см сз, ..., ск ~.' к[п]=$[и, см см ..., Сь 1]. (12) Решение (12) является общим решением в том же смысле, что и общее решение дифференциального уравнения.
Любое решение разностного уравнения (10) может быть получено по формуле (12) при соответствующем выборе постоянных см с„..., с„, Заметим, что число произвольных постоянных совпадает с порядком уравнения. Наряду с разностиыми уравнениями относительно решетчатых функций х[п], можно рассматривать разностиые уравнения относительно смещенных решегчатых функций х[п, е]: Ф[п+е, х[п, е], Лк[п, е], Л'х[п, е], ..., Мх[п, е]]=0, (13) где О~е(1.
176 Если, в частности, порялок разностного уравнения (13) совпадает с порялком старшей разности и уравнение (13) можно разрешить относительно х[п +Ь, е], то это уравнение прелставимо в виле х[п+й, е]=с [и+е, х[п, е], х[п+1, е], ..., к[я+И вЂ” 1, е]]. (14) Для того чтобы получить решение разноспюго уравнения порялка й лля произвольных значений е, следует задать в качестве начальных условий я функций переменной е: х [пе, е] = хе[в], к [и, + 1, е] = х,[е], ..., к[сц + Ь вЂ” 1, е] = хв д[в].
Тогда из рекуррентного соотношения (14) можно найти решение лля любого значения О(е(1, и) пм которое можно записать сяелующим образом: х[п, е]=$[п, е, х,[е], х,[е], ..., хе х[е]]. (15) Отсюда слелует, что общее решение разностного уравнения (14) зависит от Ь произвольных Функций, заланных при О~е(1, т. е. к [п, е] = в[п, е, с„ [е], с,[е], ..., с, ,[е]]. (1б) В дальнейшем мы булем рассматривать главным образом разностные уравнения относительно решетчатых функций при е=-О. Тем не менее все результаты, приведенные ниже, могут быть легко распространены иа уравнения типа (13), (!4) для смещенных решетчатых функций. Перейлем к более полробному изучению линейных разностиых уравнений, 2.
Линейные разностные уравнения. Однородные уравнения. Линейное разностное уравнение порядка А имеет следующий вид: а, [и] ст'х [п]+ аг [и] аь-хх [и]+... ...+а,,[п]Лх[п]+а,[п]х[п]=[[а] (г~й), (17) тле [[п], а,[п], а1[п], ..., а [и] — заланные решетчатые Функции. Булем предполагать, что эти функции опрелелеиы при всех положительных значениях аргумента п=О, 1, 2, ... и ограничены. Уравнение (17) называется неоднородным разностным уравнением, если правая часть 7" [п] не равна тожлественно нулю; в противном случае уравнение (17) называется однородным разностным уравнением. Уравнение (17) можно преобразовать к виду Ьв [п] к [и+ й]+ Ь, [и] к [и+ И вЂ” 1]+...
...-1- Ь„, [п]х [и+ 1]+ Ь, [п] х[п] =Цп], (18) используя формулу (6) 5 48. Пря этом коэффициенты Ь,[п] (1 = =О, 1, ..., й — 1) связаны с коэффициентами а~[а] соотношением Ь,[.]= ~ ( — Ц- ~. ),[.]. (19) ч=0 Š— т~ Заметим, что Ье[п], Ье[п]~О, так хак мы предположили, что разностное уравнение (17) имеет порядок я. Коэффициент Ь,[п] без ограничения общности можно считать постоянным и равным единице. Для линейных разностных уравнений мы рассмотрим несколько общих теорем, которые аналогичны соответствующим теоремам для линейных дифференциальных уравнений.
Теорема 1. Если реигетчатые функции а! [и], ... „5! [и] являются решениями линейного однородного разностного уравнения х[п+Ь]+Ьг[п]к[я+я — Ц+...+Ьв[п]х[п]=0, (20) яю функция 5[п]= „х', сДг[п], г=! (21) где с! (! = 1, 2, ... 1) — произвольные постоянные, также является его реигением. До к аз а тельство. Подставляя функцию 5[я] в левую часть уравнения (20), получим г г ~ сД~[п+я]+Ьг[п] ~ сДг[гг+й — Ц+...+Ьв[п] ~ сгЬг[п]= г=! г=! г=! = Я сг(аг[п+й]+Ьг[п]а![я+я — Ц+...+Ьв[п]фг[п]).
г=! Функции 5г[п] являются решениями однородного уравнения (20), поэтому справедливы равенства $! [и+ггг]+Ьг[и]$г[п+А — Ц+...+ Ьв[я]$г[п]= 0 (! =1, 2, ..., 1). Отсюда следует, что 5 [я] — решение уравнения (20). И В частности, выбирая 1=у, можно получить реп!ение разностного уравнения (20) в функции я произвольных постоянных: $ [п] =;У, 'сД! [п]. Ниже будут указаны условия, налагаемые на решения $г[п], ... ..., $в[п], при которых функция $[п] является общим решением однородного уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
