Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 32
Текст из файла (страница 32)
С учетом этих обозначений систему (4) можно переписать следующим образом: хм [и + 1] = хн [и] хц [л+ Ц=хм[п] (8) х„,, [а+ Ц= х,э,, [л] х,э [и+1]=ГДл, хы[п], ..., хгэ, ~[п], ... °" ° хм[в]» °" » хгэп-т[п]] (( 1,2,...,1). Мы получили систему разностных уравнений первого порядка, которая называется нормальной системой разностных уравнений.
Число уравнений нормальной системы совпадает с порядком исходной системы разностных уравнений (4). Если правые части системы (4) содержат все функции х![и] (1=1, 2, ..., 1), то число уравнений системы (8) равно й=А7+к,+ ... +й,. Если же какие-либо из функций х7[п] отсутствуют в правых частях системы (4), то число уравнений нормальной системы (8) уменьшится. Задавая начальные условия при п=п, в соответствии с равенствами «!в[по]=«![по]~ ха[по] «![пь+ Ц, .
° ., «7ь! т[пь]=«7[пь+й — Ц, можно последовательно определить из нормальной системы разностных уравнений (8) значения функций х7ь[п], ..., х,„,[п] (!=1, 2, ..., 1) при любом значении аргумента папе. В общем случае нормальная система разностных уравнений имеет вид х7[п+Ц=Г7[п„х![и], хь[п], ... „хь[п]] (!=1, 2, ..., Уг). (9) Порядком нормальной системы (9) называется число я ее уравнений. Система (8) является частным случаем системы (9) и ее порядок совпадает с порядком системы разностных уравнений (4), из которой она была получена.
Мы будем рассматривать системы линейных разностных уравнений, записанные в нормальном виде: «![а+ Ц= ~', а!7[п]«7[п]+7![а] (1=1, 2, ..., я). (10) 7=1 Здесь ау[п], 77[п] (!=1, 2, ..., й, 1=1, 2, ..., я) — заданные решетчатые функции, определенные при и'= О. Система (10) называется неоднородной, если функции 7! [и] тождественно не равны нулю. Если же 7'![п]=0 (! =1, 2, ..., й), то система (10) называется однородной.
Систему разностиых уравнений (10) можно записать в векторном виде. Введем квадратную матрицу А[а] и векторы х[а], у[п]! а„[п] а„[п] ... аы[п] ам[о] ам[а] " аьь[а] а„[п] ал,[п] ... аль [и] х,И 6[п] х[п]= хь[п] 7„[п] С учетом этих обозначений система разностных уравнений (10) примет вид х [и+ Ц = Я [и] х [п]+ у [п]. (11) !97 2. Однородные системы линейных разностных уравнений.
Прежде чем переходить к рассмотрению теорем о решениях систем разностных уравнений, введем понятие линейной зависимости для векторных решетча!ых функций. Векторные решетчатые функции х,[п], .... хе[и) называются линейыо зависимыми, если существуют такие постоянные с„с„..., сы среди которых по крайней мере одна отлична от нуля, что при всех п=О, 1, ... справедливо равенство ~ч~ с!х; [п) = О.
(12) Это равенство можно, очевидно, записать как систему равенств ,У, 'с!хц[п]=О (/=1, 2, ... „1), 1=! где хи[и] — компоненты 1-мерной векторной функции х![п] (! = = 1, 2, ..., й). Если равенство (12) удовлетворяется только при условии с,=с,= ...
=с„=О, то векторные функции х,[и], ... ..., х!,[п] называются линейно независимыии. Пусть размерность векторных решетчатых функций х! [п) (!=1, 2, ..., й) равна й. Для того чтобы проверить, являются ли эти функции линейно зависимыми, составим определитель, строками которого являются векторные функции х![и): х„ [и] х„ [п] ... х, [и] х„[п] х„[п) ... х,л [и) (1 3) (р'[х![п), ..., хд[п)]= х„,[п] хм [и] ... х„„[п) Из свойств определителей (см. $ 2) следует, что определитель К[х![п), ..., хл[п]] тождественно равен нулю, если решетчатые функции х,[п], ..., хл[п) линейно зависимы. Пусть теперь й,[п), ..., ф„[п) — различные решения однородной системы разностных уравнений порядка й х [п+ 1] = А [п) х [п). (14) Составим матрицу Х[п], столбцами которой являются решения $![п), ..., 5л[п) системы (14): $!т[п) $з![п) ...
$лт[п) Х.= -[ - "[ Б!.[пИ [п]" Бы[и] Нетрудно проверить, что матрица Х[п) удовлетворяет разностному уравнению (14), т. е. при всех п=О, 1, ... справедливо равенство Х[п+1] А[п]Х[п]. (15) !98 Из этого равенства получим разностное уравнение для определителей бе1 Х [и+ 1] = бе1 А [и) бе1 Х [и). (16) Заметим, что определитель матрицы Х[п] можно записать так: де1Х[п)= ЯУ[$, [и), ..., $»[пД. Выбирая начальное значение определителя (13) при п=О, най- дем решение разностного уравнения (16) в виде »-1 йГ[$,[п], ..., ~»[пД= П де1А[т)рг'[5,[0), ..., с»[ОД (17) ш=ь (п=1, 2, ...). Эта формула является аналогом формулы Лиувилля — Остроград- ского для систем линейных дифференциальных уравнений, Опре- делитель %'[В, [и), ..., $» [пД играет роль определителя Вронского.
Из полученной формулы (17) следует, что определитель»Р'[В, [и],... В»[пД равен нулю при всех п~п,+1, если определитель де1 А[п] обращается в ноль при п=п,~О. Если же де1 А[п] не обращается в ноль ни при одном значении п)0, то воз- можны два случая: а) )»'[в,[п), ..., $»[пД=О при всех п~О, если йГ[5,[О), ..., й,[ОД=О; б) (г [ь»[п] "~ в»[пДФ 0 ни при одном значении и) О, если йгЫО] °" $ [ОДчьО.
Докажем теперь теорему о линейно независимых решениях однородной системы разностных уравнений. Теорема 1. Если векторные решетчатые функции 5,[п], ... ..., в» [п] являются линейнонезависимыми решениями однородного векторного уравнения (14) и, кроме того, определитель де1А [п] не обращается в ноль ни при одном значении а~ О, то опреде- литель (Р [в,[п), ..., $»[пД также не обращается в ноль ни при одном значении а~О. Доказательство. Из условия теоремы и равенства (17) следует, что определитель К[ф,[п), ..., $»[пД не обращается в ноль ни при одном значении п)0, если он отдичен от нуля при п=О.
Докажем методом от противного, что последнее условие выпол. няется. Пусть определитель В'ф [и), ...$»[пД обращается в ноль при и = О. Составим систему уравнений относительно постоянных с„с„..., с».. сй»» [0)+ сД»» [О)+... + с»й»» [0) - О, с»ь,е [0)+ с»ь»» [0)+... + с»в»» [0] = О, с»йм [О)+с»й»» [0]+...+с»й»» [О] =О. ~ с!в![п)=0 1=! (18) выполняется при всех значениях и:» О. Это противоречит принятому предположению о линейной независимости функций Ь [и] ве[п] " в![и].
Полученное противоречие доказывает теорему. ° Заметим, что в том случае, когда определитель )Р'[й![и), ... ..., $„[п]] отличен от нули при всех значениях п.= О, система решений однородного разностного уравнения (14) 5![п), $,[п), ...
..., $„[п) линейно независима. Действительно, в этом случае система уравнений (18) при каждом и '= 0 имеет только тривиальное решение с, =с,=...=се=О. Отсюда и следует линейная независимость решений $~[п] (!=1, 2, ..., А). Таким образом, условие К[В![п],... оп]]чь0 при п»0 является необходимым и достаточным условием линейной независимости решений в![и) (! =1, 2, ..., А) уравнения (!4).
Учитывая равенство (17), признак линеййой независимости решений уравнения (14) можно сформулировать следующим образом: если йе1 А [п] Ф 0 при всех значениях п ~ 0 и определитель (е'1в![0], ..., Ке[0]] огпличен от пуля, то решения й![и], ф,[п), ... ..., Ъв [и) линейно независимы. Совокупность А линейно независимых решений системы однородных разностных уравнений (14) порядка А называется фундаментальной системой решений. Покажем, что фундаментальные системы решений существуют.
Пусть выполнено условие де1 А [п)ФО при всех п~О. Выберем начальные условия при п=О таким образом, чтобы выполнялось неравенство (е Ц![О], ..., фе[0]]чьО. С помощью рекуррентного соотношения (14) можно построить по этим начальным значениям решения 5![п], ..., $е[и]. Эти решения будут линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Если определитель йе(А[п) обращается в ноль при п=п!~0, то, как показано выше, Р[5![и], ..., $„[п]]=0 при п)п,+! н, следовательно, не существует фундаментальной системы рЕшений, 200 Определитель этой системы равен нулю.
Следовательно, система имеет нетривиальное решение. Таким образом, существуют постоянные с„с,„..., сы не все равные нулю, для которых справед-,/ ливы равенства ~Ч', с!$й[0)=0 () =1. 2, .... А), или в векторной к-! записи ~ сД![0)=0. Теперь воспользуемся разностным уравнеЕ=! нием (14), из которого при п=О будем иметь В![1]=А[0)$![0) и, следовательно, ~Ч , 'сД! [1] = А [0] ~', сД! [0) = О. Полагая в уран!=! !=- ! ненни (14) п=1, 2, ..., получим, что равенство 5[п]= ~Ч~ сД![п], (19) где с! (!=1, 2, ..., к) — произвольные псстоянные.
Доказательство. Заметим прежде всего, чтолинейная комбинация решений (19) системы (14) также является ее решением. Это проверяется непосредственной подстановкой функции (19) в систему разностных уравнений (14). Покажем, что любое решение системы (14) можно представить в виде (19). Пусть !р [и] — произвольное решение системы (14), определенное при и )О. Найдем постоянные с! (!=-1, 2, ..., я) из системы уравнений ср;[0]=.5; сД!г[0] ((=1, 2, ..., й). (20) Постоянные с! определяются единственным образом, так как определитель, системы (20) (ч'[в![0], ..., 5ь[0]] отличен от нуля. Из уравнения (14) получим при п=1: !р[1]= А[0]!у[0]=А [0] ~ сД![0]= ~~! с А [ОД![О]=,'г', сД![1].
! — ! ! — 1 Полагая п=2, 3, ..., найдем, что для любых и~О справедливо равенство !р[п]= '5', сД,[п]. И !=! 3. Неоднородные системы линейных разностных уравнений. Для неоднородных систем разностных уравнений (11) справедлива следующая теорема, аналогичная теореме 5 3 49 о решении неоднородного разностного уравнения. ! Теорема 3. Общее решение зс [п] линейной неоднородной системы разностных уравнений (11) равно сумме ее частного решения ф[п] определенных при всех значениях п=»О. Однако, если известно, что определитель де1А[п] не обращается в ноль ни при одном значении и =- и, + 1, то можно построить фундаментальную систему решений, определенных при и ~ и, +1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
