Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(9) п=! п=о Функции й(1) можно придать определенный физический смысл, если ввести понятие о простейшем импульсном элементе. Просп!сй- 2!2 здесь $ =1 — пТ. Переменная и принимает только неотрицательные значения п=О, 1, 2, ..., а функция э(Т1) обращается в ноль при т1 О, поэтому интеграл (6) обращается в ноль при Ч«$(0, Для положительных значений $)0 получим $ 1 й (Е) = ~ »н 1в — Ч) э (Ч) !1Ч = ) йн й — Ч) э (Ч) !1Ч. (7) ший импульсный элемент описывается уравнением ус (1) ~Ч~~ ) '1пТ1 6 (1 — пТ», (1О) а=о где 6(с) — дельта-функция (см. э" 37).
это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение обычного импульсного элемента (1), хотя и не может быть точно воспроизведено никаким реальным устройством. В результате преобразования (1О) получаем последовательность дельта-импульсов, площадь которых равна значениям преобразуемого сигнала р(1) в дискретные моменты времени)=пТ (п=О, 1, ...). Реальный импульсный элемент, описываемый уравнением (1), можно представить в виде последовательного соединения простей- Г- с й(с) й„ гс) йрс) с асс) ЕрсинаиисийС уус) импупвений с — — — — — — -с ввеменнс ссвиЫиниеа ненреревнан наива Првипейший Сейсмируиисий иннупееннй впенемп внемьвп Рис.
157 Рос. 1йв щего импульсного элемента и непрерывного устройства с весовой функцией з(1) (рис. 157). Запишем уравнение такого соединения: с ав у ()) — ~ ус (т) з (1 — т) йт — ~ ~' ((пТ16 (т пТ)з (1 — т) йт~ о он=о = ~ ЯпТ1з(1 — пТ), а=о что совпадает с уравнением (1). Непрерывный элемент с весовой функцией з(1) называется формируюсс( м элементом. Разомкнутую импульсную систему можно теперь представить в виде последовательного соединения простейшего импульсного элемента, формирующего элемента и непрерывной части (рис. 158). Непрерывную часть и формирующий элемент обычно объединяют, называя их последовательное соединение приведенной непрерывной частью импульсной системы.
В соответствии с формулой (7) полученная выше функция )с(1) имеет смысл весовой функции или импульсной переходной функции (см. $ 1б) приведенной непрерывной части разомкнутой импульсной системы. Заметим, что в том случае, когда продолжительность импульса з(г) модулирующей последовательности мала, весовая функция приведенной непрерывной части й(1) приближенно может быть заменена весовой функцией непрерывной части )с„()), умноженной на постоянный коэффициент.
Действительно, если величина уТ достаточно мала, то при каждом фиксированном значении 5 функцию й„($ — с») можно приближенно заменить на интервале 213 0(о) (уТ постоянной величиной А„($ — О) =Ао(Ц (рис. 159). Тогда из равенства (7) получим тт й($) = ) й (Рз(Ч)~Ч=й,6)й. о (11) тг где А,= ~ з(п) Й) — постоянный коэффициент, равный площади о импульса. Вернемся к уравнению разомкнутой импульсной системы (9). Ради простоты будем рассматривать его при нулевых начальных условиях; тогда х(1) = У, й(лт)й(1 — пт). (12) а о 7 7 й, ~9) = $ й„(КТ- ят) и (йт) а (~т) = Т $ й„(1 — й) з (й) ~(тЬ (1б) о о где ймЯ=йЯТ), и Я=э(гт). (16) (17) Таким образом, функция Й,Я равна свертке функций А„Я и з,(1), умноженной на постоянный коэффициент Т.
Перейдем в этом уравнении к относительному масштабу времени — Введем обозначения зф й„(й-21 х,Я= ~гт), д,~Д)-а(тт), н$ А, (1) = А (гт). (13) ~н( С учетом этих обозначений уравнение (12) приобретает вид и 77т $ СО х,(1)= ~ч, 'д,(п)й,(1 — и). Рис. 159 и=о (14) Обратим внимание на выражение импульсной переходной функции приведенной непрерывной части в относительном масштабе времени. Гг При 1~0 получим й,Я=й(1Т)= ~ А„((т — п)з(п)й~. Введем о новую переменную 11 = †, тогда =Ч Уравнение разомкнутой импульсной системы (14) можно запнсать с помощью решетчатых функций. Полагая ! =и+в, получим: х,[п, е]* ~ д,[т]йт[п — т, е] (п=О, 1, 2, ...; О~ел-1).
(18) » Учитывая, что >гх[1)=0 прн [(О, можно заменить бесконечный предел суммы на конечный, равный и: л х,[п, е]=,У, дт[т])!х[п — т, е]. ж=е (19) В частности, прн е=О это уравнение связывает входную дх[т] н выходную х,[п] величины импульсной системы в дискретные моменты времени п =О, 1, 2, ...: х, [п] ~ч~ д» [т] (г, [п — т].
(20) »л а Пример!. Импульсная переходная функция непрерывной части системы (см. рис. 158) задана в виде дл (Г)=>»ле Рг (р ~ О). Импульсный злемент осуществляет модуляцию с помощью последовательности кратновременных импульсов. Будем считать, что выполнено приближенное равенство (11). Требуется определить реакцию системы на типовое воздействие в виде единичной ступенчатой функции д(!)=1(0. Начальные условия — нулевые.', Из формулы (1Ц найдем импульсную переходную функцию приведенной непрерывной части в относительном масштабе времени: >»»(г)> й»н(г)>»л=дл(»ее Р здесь л — площадь импульса модулирующей последовательности.
Процесс на выходе системы определим па формуле (19): л х ]л, е]= ~ 1 ]гл] й е Р» >л-ш+л> ш=е где й»=йлйл, (>»=]>Т. Производя суммирование, получим выражение, опнсывакицее реакцию системы на рассматриваемое воздействие: л и ]и, в]=й»е Рыл+а> ~' еа'"'=й,е "'(л+е> 1 — ер'(л+>> 1 — е"' ж е е Р»л — е"» Р, 1 — е Р»(л+ > 1 — е"' 1 — е (21) Придавая аргументу в нсевозможные значения от нуля до единицы, мы получим функцию х» (Г), график нагорай изображен на рис. 160.
Пример 2. Импульсная переходная функция непрерывной части системы (см. рис. 158) равна >>а(О=лага» ((>) О). Модуляция осуществляется с по- 215 Итак, мы получили уравнения (9), (19), (20) разомкнутой импульсной системы с постояннымн параметрами. Эгн уравнения позволяют определить процессы на выходе импульсной системы, если известно входное воздействие х»(!).
мощью последовательности прямоугольных импульсов шириной уТ (у ~ 1) (рис. 161). Определить реакцию системы на единичную ступенчатую функцию д(!)=! (!) при нулевых начальных условиях. 1-е Я! Рис. 160 М ,!' -1(г -х) Рис. !62 Рис. 16! В данном случае весовая функция формирующего элемента имеет вид зг(!)=1(Т) — 1(г — у), По формуле (!5) найдем импульсную переходную функцию приведенной непрерывной части: Т й, (!) = Т т)й,д-(ь(г-т'у (т) г(т.
о Здесь следует различать двз случая: а) пусть ! (у; тогда зт(г)=1(т) и мы получим Тле где й,= —, ()т ()Т! 6т ' б) пусть теперь !)у! поскольку з,(т)=0 при т~у, то в атом случае найдем, что й (!)=Т~)йча й'!у Чзг(т — йг — р г(аб !) о Импульсная переходная функция приведенной непрерывной части А,(!) образована двумя функциями, определенными на различных интервалах ивмю, 2)6 пения аргумента [ (рис.
162). Реакцию импульсной системы иа е)[иничное сгупенчатое воздействие найдем по формуле (14), и соответствии с которой искомая функция равна х)(1)= Я й,(! — л). Эта функция изображена на рнс. 163. а О Рис. 163 При вычислениях удобно пользовдться формулой (!9), с помощью которой в данном случае получим И л хд[л, е]= ~ ах [о — т, е[= ~~ й [т, е[.
т=о т=в Выполняя суммирование, найдем: а) при О ( в ( у х( [л, в)=й( (1 — е "'е)-]-!ге "'(1+а) (ер т — 1)-[- [ )( е — Р~(~ + ~) (ера !) [ [ 1, е — Р~(л р ) ( О т 1) е — рт =Ох(1 — е ""з)-[-й((е"'т — 1) е О'(е+1); 61 (22) Ф е 6)прну(е(! х [л, е]=(ер~т — 1)й, [е р~е-[-е 6~(1) е)-[- ..-[-е ре(л ! е)] — еч |в а( [л, в]= хт' Ай е(мте "'(" т+е) ~ Ай ет((ь+)м)е "'("+е) т О т=з (6~+13)(л+1) /и(л+1) рд(е+1) Ай е "'("+ в) Айх в Р~а, еФ| +! и) е)м е Рз 217 Полученные выражения (22), (23) определюот реакцию импульсяой си.
стены иа единичное ступенчатое воздействие. Пример 3. Для импульсной системы с кратковременными импульсами, рассмотренной в примере 1, найти реакцию на гармоническое воздействие н( (!) = А сов ы). Задача упрощается, если найти реакцию а,[л, в] па воздействие ! (1) = Ае!и(, а затем рассмотреть вещественную часть функции хх [л, е[ = Пе хх [л, е]. По формуле (19) йайдем Искомый процесс получим нак вещественную часть этого выражекия, т. е хс [л, е[=-Кекс [и, е[= стесал — е "'сазв(л+1)-(-е "'1"+с)(е "' — созв) р, Ай е ~е 1 — 2е Рс сазв+е Поскальну йс~О, то при достаточно больших значениях аргумента п выражение е, Р'1" +с) можно приблюкенно считать равным нулю. При этом получим )Й(л+ И х [л, а[воАД о Дсо, е(в — е Введем обозначения: — й,е)~е Рв (ро([в, е)= о) — г р' д,о- Рв М(в, е)=[(Р*(1'в, е) [= [/1 — а-Р спасо+о-ЯР* ф (в) = агй (Г ' ()в, е) = в — агс1й соз со — е Тогда выражение для функции хс [л, е[ примет вид я, [и, е[ — А(Ро ([в, е)е(""=АМ (со, е) оссвп+сггв)1, откуда найдем хс [л, в[=Рея, [л, е[ — АМ(в, е) соз (сол-[-ф (со)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
