Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 2 (952249), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Его расходимость следует на того, что все члены ряда аы и' Л положительны и неограниченно возрастают. Следовательно, абсцисса абсолютной сходимосги о, =О. По аналогии с определением, данным в 2 42, будем называть оригияалськ решетчатую функцию 1[п], которая равна нулю при п(0 и удовлетворяет при п~О условию ~) [п]~(Ме"", (9) где М)0 и па~О-некоторые постоянные величины. Величина о, называется показателел! роста решетчатой функ!1ии [[и]. Справедлива следующая теорема. Теорема 2.
Для всякого оригинала 1[п] изображение гп (у) определено в полуплоскости Ке д ава и является в этой полуплоскости аналитической функ!(ией и!. Доказательство. С учетом неравенства (9) имеем ! ~,' е-ел[[а]~ - у' е — перл)[[п]~(М у' е! — нее+о«!л (10) л=о п а «-.:е откуда следует, что ряд ~ ', е-т"[ [п] сходится абсолютно при л=о Ке д) о,. В соответствии с теоремой 1 этот ряд сходится равно- мерно в любой области Кедров!- о,. По теореме Вейерштрасса «О (см. й 28) сумма ряда ~ е-тпг" [п)=Ее (г)) является аналитичесл=в кой функцией в области Кед)ог- о„а следовательно, и в лю- бой внутренней точке области Кед) оа. ° Из определения ггт-преобразования по формуле (1) следует, что функция Еп(д) является периодической вдоль мнимой оси плоскости д с периодом 2п.
Действительно, Ее (д+2п)г) лл ~~ е-!чттп>'!«Цп]= ~ е-та[[а]= Ел (д), (11) п=а л=а где г — любое целое число. Поэтому достаточно изучить свойства фУнкции Еп (У) в любой полосе шиРиной 2п: б!е( 1гп в(б!а+2п. ю Заметим, что отсюда слцдует неравенство от~о«. 231 Наиболее удобна для этой цела полоса — п(1п!д(п, симметричная относительно действительной оси плоскости д (рис. 168, а), которую будем называть основной полосой. Мы видели, что Ы-преобразование определяет аналитическую функцию г* (9) в полуполосе Ке9) о,( — п(1п!д-=и). Обычно оказывается возможным распространить определение функции ге(д) на всю полосу — п(1п! 9== п с сохранением аналитично. сти этой функции всюду за исключением, может быть, конечного числа точек*>.
С учетом этого замечания можно сказать, что :и!-преобразование огределяет аналитическую функцию ге (д) в основной полосе за исключением конечного числа особых точек. В задачах, связанных с исследованием линейных систем автоматического регулирования, эти точки, как правило, являются полюсами. Если определены особые точки д, = о,+)а!,(т = 1, 2, ..., 1) Рис. !ба функции г*(д) в основной полосе, то все остальные особые точки определяются из соотношения д,т=о,+1(а!,+2пг), где г= + 1, .+ 2, ..., т=1, 2, ...
„й Рассмотрим, как связаны между собой области определения Ю'-преобразования в плоскости комплексного переменного д и Я-преобразования в плоскости комплексного переменного г. Преобразование комплексной переменной д по формуле г =ге переводит основную полосу плоскости д на всю расширенную плоскость комплексной переменной г. При этом отрезок мнимой оси — и( (!д ( и отображается в окружность единичного радиуса г = = е!" ( — и (а! = и). Левая полуполоса Ке д (О плоскости д отображается во внутренность единичного круга !г!(1 плоскости г, а правая полуполоса Кед) Π— во внешность этого круга.
Функция г",*(г), определяемая по формуле (3), является аналитической в области !г~)е", т. е. во внешности круга !г)(е (рис. 168, б), а после построения аналитического продолжения — во всей расширенной плоскости переменного г, " См., например: Лаврентьев М. А,, Шабат Б. В. Методы теории функинй комплексного переменного.
«Наука», !9ао, с. 92. (12) Ы-'-преобразование. определяется формулой с+ул 1'(п) = — 1 г ~ (д) е~" Й~ (и = О), 2п( 1 (13) где с) о,. Покажем справедливость формулы (13). Полагая в выражении (1) прямого Ы-преобразования ь=е-т, получим степенной ряд г р1 Я) ~ ~и~ (п) (14) п==О где г1(с)=Р*(д)~ ь,;.
Известно (см. 9 29), что разложение аналитической фуйкции в степенной ряд (!4) единственно и коэффициенты ряда определяются для данной функции г1(Д однозначно по формуле (15) где г1<"> (О) — производная порядка и функции Р7 (ь) в точке Ц = = — О. Функция РТЯ является аналитической в круге )~(~е-', поэтому для определения производной функции г1(ь) в центре круга ~=0 можно воспользоваться интегральной формулой Коши (см. 2 27).
Согласно этой формуле производная г7"'(О) равна р(ч )(0)= — "'. С"""1"', (15) э„) ~и+ ~ 1 где интеграл берется по окружности С„определяемой уравнением ~ й ~ =е-' в положительном направлении. Подставляя выражение (16) в равенство (15), найдем: 1[п)= —, (17) с, Перейдем к прежней переменной д, связанной с переменной ( соотношением ь=е-т. Заметим, что при обходе переменной ь за исключением конечного числа особых точек. Особые точки д,=о,+1(а,+2пг) (г= н1, + 2, ...) изображения Р*(д) при отображении с помощью функции а=ет перейдут в точки г,= =е +'(" +~ )=е'+~ (т=1, 2, ..., 1), лежащие внутри круга (г)(е ' 2.
Формула обращения. Перейдем к рассмотрению преобразования, обратного по отношению к дискретному прербразованию Лапласа (1). Это преобразование определяет решетчатую функцию ~(п) по заданному изображению Р*(д): Пусть абсцисса абсолютной сходимости Ы-преобразования (1) решетчатой функции [[и) отрицательна: о,(0. Тогда изображение гл (д) существует и является аналитической функцией в правой полуплоскости плоскости у и на мнимой оси. Полагая в формуле (1) д=)а, получим г"л ()а)= „У, 'е-~' [[п~. л О В этом случае формула обратного .У-преобразования (13) справедлива прн с=О: О+!л л [[п)= —. Рл (1СЬ) е'"'л сЧа=з- ~ сл (/а) ев"л йа.
(27) зк),> 2Л О вЂ” Вл — л Преобразование, определяемое формулой (26), является аналогом преобразования Фурье обычных функций действительного переменного. Это преобразование будем называть дискретным преобразованием Фурье решетчатых функций. Функцию г*(/а) можно назвать спектральной «арактсристикой решетчатой функции )' [п1. Выражение (27) определяет обратное дискретное преобразование Фурье.
Преобразование (26) можно представить следующим образом: Г* ()сь) = ) , ') [и) соэ Йп — /',У, [[п) з!и сап. (28) л=ь л-О Введем обозначения для вещественной и мнимой частей функции ллл ()сл): с Кег"л (/а) = 'У, "[[п) сов ап= Ьл (сь), (29) л О лл 1гп)лл()а) = — ", '7[п)з)пап=!сл(ы).
(30) л=ь Из выражений (29) и (30) видно, что вещественная часть функции Ел ([я) — четная, а мнимая — нечетная. Поэтому значения функции г л ()ы), соответствующие положительным и отрицательным значениям параметра Оь, являются комплексно-сопряженными, т. е. (с'ы) = г ( 1М. (31) Следовательно, функция Рл()а) полностью определяется своими значениями на отрезке 0(я~п.
Умножая левую и правую части равенства (29) на соэ ат и интегрируя зто равенство по переменной а от 0 до и, получаем л [[т1=- — ) (с'*(ж)созслтсЫ (т=О, 1, ...) (32) с (35) Умножим теперь левую и правую части равенства (30) на э!ппгпг и проинтегрируем в тех же пределах: Ъ /[т]= — -- ~ Г" (а)з!пгьтг(га (т=1, 2, ...). (33) Ь Формулы (32) и (ЗЗ) определяют коэффициенты ряда Фурье 8 34) вещественных периодических функций (/* (а) и )г* (я).
Таким образом, значения решетчатой функции /[п] играют роль коэффициентов ряда Фурье для вещественной или мнвмой части функции Р* (/а). 4. Дискретный ряд Фурье. Специального рассмотрения требует разложение периодических решетчатых функций в ряд, аналогичный ряду Фурье. Это разложение используется, например, при изучении периодических процессов в не- Щ линейных импульсных системах автоматического регулирования. Рассмотрим периодическую решетчатую функцию /[и] с периодом М, равным целому числу е г ее ге е ге и а в я гвв е /[п+/гМ]=/[и], (34) тлей=0, '+1, +2....
Пример такой функции с периодом М = 8 при- Рис. 169 веден на рис. 169. Вели- 2п чипа га = — - ггазывается частотой периодической решетчатой функции /[гг]. Для периодической решетчатой функции справедливо разложение, аналогичное ряду Фурье: / [и] = -~- + ~,~ ае со э йгап + Ье э го Имп. е=г Особенностью этого разложения является то, что в правой части разложения стоит конечная сумма гармонических решетчатых /н функций.
Число слагаемых /ч' равно целой части от числа - —, т. е. /у = М/2, если М четно, (36) (М вЂ” 1)/2, если М нечетко. Равенство (35) можно рассматривать как систему М алгебраических уравнений при п =О, 1, ..., М вЂ” 1 относительно 2/ч'+ 1 неизвестных а,, а„ ..., ак, Ьг, ..., Ьк. Если М вЂ” нечетно, то по условию (36) М = 2/У+ 1 и, следовательно, число уравнений совпадает с числом неизвестных. Если М вЂ” четно, то М =2Ь/ и число уравнений на единицу меньше числа неизвестных.
Однако в этом случае /в = 2п/М = и//у. Следовательно, э(п й//вп = = э)п У вЂ” п=О для всех п, поэтому система уравнений (35) /ч в данном случае не содержит неизвестного Ьк. Таким образом, в обоих случаях число уравнений совпадает с числом неизвестных, которые можно определить, если известны М последова. тельных значений решетчатой функции )[О], ..., / [М вЂ” 1]. Используя формулу (24) $ 25, можно записать разложение (35) в виде В /' [п] = Х с е/Аал, (37) гг= — и аь — /Ьг ао где се= (1=1, ..., й/), с,=- —, с «=ем Если М вЂ” четно, то ел=с-!ч= э ° (38) Для того чтобы найти коэффициенты разложения сы умножим обе части равенства (37) на функцию е — /""", где г — целое число, изменяющееся от — Ж до йг, и просуммируем по п в пределах отОдоМ вЂ” 1: ) [п]е — /"" = Я Я с„е/!е — """.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
